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1、第四章无穷级数三-七(函数项级数-幂级数收敛半径)4.3 幂级数4.3.1函数项级数函数项级数的定义收敛点与收敛域4.3.2 幂级数及其收敛性 幂级数的定义 阿贝尔(Abel)定理 收敛半径与收敛域 标准幂级数收敛半径的求法 标准幂级数收敛域的求法1 一般幂级数收敛域的求法 一般幂级数收敛域的求法2-3 内容小结与思考 注解演练例题幂 级 数一、函数项级数 1.定义 2.收敛点与收敛域 函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意:3.和函数 (定义域是?)函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.的收敛域.例如, 等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如, 级数级数发散 ;所

2、以级数的收敛域仅为有和函数 二、幂级数及其收敛性 1.定义 注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下面主要讨论形式(1)的幂级数.类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。例 1 解2. 阿贝尔(Abel)定理 证由结论(1),注意:Abel定理对标准幂级数给出.几何说明收敛区域发散区域发散区域推论3. 收敛半径与收敛域、收敛区间 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛区间 是开区间规定问题如何求幂级数的收敛半径?幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法 定理2证则比值审敛法得：1定理证毕.例 2 求下列幂级数的收敛半径和收

3、敛域标准幂级数收敛域的求法习例解收敛.绝对收敛.解发散.发散.解解5. 一般幂级数收敛域的求法方法 1.(2)由标准幂级数收敛域的求法可得：方法 2.(用比值法讨论)例 3 一般幂级数收敛域的求法习例例 3解方法一 方法二 由比值法得，注意:(3)求一般函数项级数的收敛域时, 可直接用比值法讨论.解缺少偶次幂的项级数绝对收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为注解 我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是如对标准幂级数而言的;但形非标准幂级数,下步骤求收敛半径和收敛区域:直接用上述方法求收敛半径和收敛区间,却不能而只能是采用如第一步:用变量代换把它们化为标准幂级数 如令变量代

4、换 第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及收敛区间; 第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域.或用达朗贝尔判断方法去判断 。演练例题 求下列幂级数的收敛半径及收敛域:例 求下列幂级数的收敛半径及收敛域:则原级数变为则此幂级数的收敛区间为(-1,1).而当t =-1时, 级数 收敛;而当t =1时, 级数 发散.故当-12x+11时,即-1x0时,级数收敛.解即原级数收敛域为-1,0), 收敛半径为则原级数变为由(1)知,则此幂级数的收敛区间为-1,1).时, 原幂级数收敛.即原级数收敛区间为-2,2), 收敛半径为R=2.内容小结与思考求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)

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