2013-计算力学7插值函数的构造

1、1七月 221计算力学 插值函数的构造2七月 222本章要点C0型单元插值函数构造Hermite单元插值函数构造*阶谱单元插值函数构造3七月 223目录1 几点说明 2 Lagrange单元簇 3 Serendipity单元簇 4 三角形单元簇 5 三维单元的插值函数 6 Hermite单元簇 7 阶谱单元4七月 224.1 几点说明主要讨论C0型单元包括三角形单元系，矩形单元系（Lagrange和Serendipity单元族），不考虑C1型单元（梁除外）；对等参元（等参数单元）而言，插值函数等同于形函数位移函数的完全多项式构造参照：Pascal三角形1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4

2、x3yx2y2xy3y4完全二次完全三次完全一次Pascal三角形5七月 225.1 几点说明对协调元而言，构造插值函数的原则性要求：1. Ni(xj,yj,zj)=ij2.保证连续性，即协调性3.完备性，对C0单元，要求包含任意线性项4.Ni=1 保证刚体平动，但不保证能描述常应变状态6C0型单元簇插值函数构造72 Lagrange单元簇82 .1 一维Lagrange多项式012nn次多项式在n+1个点上都等于1Kronecker dalta9 单元的节点参数中只包含场函数的节点值的0型单元称为Lagrange单元 对于具有n个节点的一维单元，如果他的包含场函数的节点值，则单元的场函数可插

3、值表示为:2.1 Lagrange单元012n10七月 22102.2 二维Lagrange多项式对所有的点沿着两个编号，设第i个点对应的编号为(I,J)，其对应的插值函数为：(0,0)(n,0)(0,m)(I,J)(n,m)1111七月 22112.2 二维Lagrange多项式线性二次三次几种常用的Lagrange单元：若m=n，其对应的Pascal三角形为菱形：1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4x3y3x2y3x3y2x4yx5y5xy4三次完全多项式很多寄生项12七月 22122.3 三维Lagrange多项式(0,0,0)(m,n,p)(0,n,p)(

4、n,0,0)132.4 Lagrange单元的特点优点：满足协调性，形式统一，使用简单缺点：二维、三维情形有大量内部节点，增加自由度高阶多项式拟合性差14令由形函数性质4123(-1,-1)1111(1,-1)(1,1)(-1 ,1)正则(基准)坐标系划线法(试凑法):采用经过除了本节点外的其他节点的直线方程的左部的函数积来构造插值函数N，这个方法的本质还是Lagerange插值法。矩形单元的形函数矩阵构造2.5 划线法1234(x1 , y1)aabb(x2 , y2)(x3 , y3)(x4 , y4)15同理,有4123(-1,-1)1111(1,-1)(1,1)(-1 ,1)正则(自然

5、)坐标系2.5 划线法对于点可设:16 三角单元中特殊部位的面积坐标值L1=0L2=0L3=0PL2=bL3=cL1=a1）三角形顶点1相似的L1=1，其余的L2=L3=0；2）三角形所对底边上的L1=0; (1,2,3)3)平行于1所对底边的n-n直线,其L1=kn/k=常量.4)三角形中某点P的面积坐标可由通过P点平行于三角形底边直线的面积坐标来决定.L1=1(a,b,c)213yx2 六节点三角形单元的形函数构造L3-1/2=0L1-1/2=0L2-1/2=0(1/2,0,1/2)(1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)213yx465L1-

6、1/2=0L2-1/2=0(1/2,0,1/2)(1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)(1,0,0)(0,0,1)213yx4652.5 划线法17对于点可设:L3-1/2=0L1-1/2=0L2-1/2=0(1/2,0,1/2)(1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)213yx465对于4点可设:2.5 划线法183 Serendipity单元簇193.1 一些Serendipity单元的插值函数线性1 (-1,-1)4 (-1,1)3 (1,1)2 (1,-1)20二次123456783.1 一些Serendipity单元的插值函数21三

7、次1234567891011123.1 一些Serendipity单元的插值函数22使之有完全四次多项式四次12345678910111213141516插值函数的构造：凑 or 有规律3.1 一些Serendipity单元的插值函数233.2 Serendipity单元插值函数的构造变节点数法12345678 (1) 构造角节点的插值函数：双线性乘积，暂时保证在本节点处为1,在其余角节点处为024(2) 构造边中节点的插值函数：某个方向的一次项与另一个方向的Lagrange多项式的乘积。保证在本节点处为1,在其余所有节点处为0，但在单元内部不为0。若没有中心点(单元内），由此构造的插值函数为

8、最终的结果。如有单元中心点，则需对边中节点修正.?3.2 Serendipity单元插值函数的构造变节点数法25(3) 使角节点的插值函数在边中点处等于0123456781234567812345678123456781.01.0123456781.00.50.51.01.03.2 Serendipity单元插值函数的构造变节点数法26七月 2226位移函数的特点(边上节点为p+1个)：一个方向一次乘以另一个方向的p次Lagrange多项式在Pascal三角形中的分布12222p4p4最多只能形成三次完全多项式增加完全多项式阶次的方法：增加内部节点3.2 Serendipity单元插值函数的构

9、造变节点数法27若单元包含内部节点，插值函数的构造方法： 1) 构造角节点的插值函数（不考虑其它节点）2) 构造边节点的插值函数（不考虑内部节点）3) 构造内部节点的插值函数6) 修正角节点插值函数，使之在边节点等于0这种方法适用于缺少内部节点和任意边节点的单元，缺少某个节点时，只需将相应的插值函数置0.4) 修正边节点插值函数，使之在内部节点等于05) 修正角节点插值函数，使之在内部节点等于03.2 Serendipity单元插值函数的构造变节点数法283.3 例：带内部节点的三次平面单元的插值函数12345678910111213(1) 构造角节点的插值函数29(2) 构造边节点的插值函数

10、例：带内部节点的三次平面单元的插值函数1234567891011121330(3) 构造内部节点的插值函数内部节点最终的插值函数求解方法： 1）Lagrange插值公式 ） 划线/面法例：带内部节点的三次平面单元的插值函数1234567891011121331(4) 修正边节点插值函数?例：带内部节点的三次平面单元的插值函数32(5) 修正角节点插值函数比较划线法与变节点数法结果?例：带内部节点的三次平面单元的插值函数33附：49节点平面单元的插值函数表123456789插值函数存在节点i才包含下列各项i=5i=6i=7i=8i=9N1=(1-)(1-)/4-N5/2-N8/2-N9/4N2

11、=(1+)(1-)/4-N5/2-N6/2-N9/4N3 =(1+)(1+)/4-N6/2-N7/2-N9/4N4 =(1-)(1+)/4-N7/2-N8/2-N9/4N5 =(1-2)(1-)/2-N9/2N6 =(1-2)(1+)/2-N9/2N7 =(1-2)(1+)/2-N9/2N8 =(1-2)(1-)/2-N9/2N9 =(1-2)(1-2)344 三角形单元簇35七月 22354. 1. 一般公式123线性123456二次12345678910三次显然 N1=L1 N2=L2 N3=L3361 (M,0,0)2 (0,M,0)3 (0,0,M)i (I,J,K)4. 1 一般公式

12、374. 1 一般公式384. 2 例：三次三角形单元的插值函数12345678910三次39例：三次三角形单元的插值函数12345678910三次401xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4对应的Pascal三角形这种形式的三角形单元的插值多项式总是完备的，并且插值多项式之和共有10个系数，而它却在10个节点处等于1，故可推出它恒等于1例：三次三角形单元的插值函数415 三维单元的插值函数425 .1 六面体的Serendipity簇5123467891011121314151617181920218-21节点的六面体单元（线性二次）43(1) 不考虑边中节点和内部

13、节点的角节点插值函数(2) 不考虑内部节点的边中节点插值函数5 .1 六面体的Serendipity簇51234678910111213141516171819202144(3) 内部节点的插值函数(4) 修正边中节点的插值函数5 .1 六面体的Serendipity簇51234678910111213141516171819202145(5) 修正角节点的插值函数若某个节点不存在，则去掉相应的项5 .1 六面体的Serendipity簇465 .2 六面体的Lagrange簇3节曾经介绍475 .3 四面体单元对M次单元，一节点有四个与之对应的编号(I, J, K, P)1 (3,0,0,0)2 (0,3,0,0)3 (0,3,0,0)4 (0,0,0,4)(0,2,1,0)(0,1,1,1)(1,0,0,2)其原理与平面的三角形单元完全类似，最后得到的仍是完全m次多项式485 .4 三棱柱单元方法：平面内用面