椭圆的几何性)

1、叫做椭圆的标准方程也把形如)0( 1. 22222babxay叫做椭圆的标准方程我们把形如01. 12222babyax它表示焦点在它表示焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆它表示焦点在它表示焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆1oFyx2FM1 12 2yoFFMx椭圆的标准方程有哪些特征呢？椭圆的标准方程的特征：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是的平方和，右边是1;（3）椭圆的标准方程中）椭圆的标准方程中a、b、c满足满足a2=b2+c2（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上则焦点

2、在哪一个轴上;0 12222babyax0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的之间的关系关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM最后回忆一下本节课的主要内容最后回忆一下本节课的主要内容一、椭圆的范围一、椭圆的范围 oxy由由12222byax即即byax和说明：椭圆位于直说明：椭圆位于直线线X=X=a a和和y=y=b b所所围成的矩形之中。围成的矩形之中。112222byax和方程方程：22221(0)yxabab3 3、对称

3、性：、对称性：从图形上看，椭圆关于从图形上看，椭圆关于x x轴、轴、y y轴、原点轴、原点对称。对称。从方程上看：从方程上看：（1 1）把）把x x换成换成-x-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y y轴对称；轴对称；（2 2）把）把y y换成换成-y-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x x轴对称；轴对称；（3 3）把）把x x换成换成-x-x，同时把，同时把y y换成换成-y-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于原点成中心对称。原点成中心对称。二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性 oxy三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点)0(12222babyax在在中，令中，令 x=0 x=0，得，得

4、y=y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y y轴的交（轴的交（ ， ），）， 令令 y=0y=0，得，得 x=x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x x轴的交点（轴的交点（ ， ）* *顶点：椭圆与它的对称顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。的顶点。* *长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a a、b b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2 F1 F2 0 ba 0动画演示动画演示四、椭圆的离

5、心率四、椭圆的离心率 oxyace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1 1、离心率的取值范围：、离心率的取值范围：因为因为 a c 0a c 0，所以，所以1 e 01 e 02 2、离心率对椭圆形状的影响：、离心率对椭圆形状的影响：1 1）e e 越接近越接近 1 1，c c 就越接近就越接近 a a，从而，从而 b b就越小（？），椭圆就越小（？），椭圆就越扁（？）就越扁（？）2 2）e e 越接近越接近 0 0，c c 就越接近就越接近 0 0，从而，从而 b b就越大（？），椭就越大（？），椭圆就越圆（？）圆就越圆（？

6、）3 3）特例：）特例：e =0e =0，则，则 a = ba = b，则，则 c=0c=0，两个焦点重合，椭，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）圆方程变为（？）方程：22221(0)yxababXY4 4、单调性：、单调性：从图形上看不出单调性。从图形上看不出单调性。从方程上看，由于椭圆不是函数，是一对多从方程上看，由于椭圆不是函数，是一对多对应，不具有单调性。对应，不具有单调性。 oxy方程方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率12222byax12222bxay xyB1B2A1A2 F1 F2YXF1OF2 0bybaxa,ayabxb, bbaaBBAA, 0, 0),0

7、 ,(,0 ,2121 0 ,0 ,), 0 (, 02121bbaaBBAA) 10(eace) 10(eace关于关于x x轴，轴，y y轴，原轴，原点对称。点对称。关于关于x x轴，轴，y y轴，原点轴，原点对称。对称。例例1 1 求椭圆求椭圆 16 x16 x2 2 + 25y+ 25y2 2 =400 =400的长轴和短轴的长、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标离心率、焦点和顶点坐标解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程1452222yx这里，这里，31625,4,5cba因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba离心率离心率

8、6.053ace焦点坐标分别是焦点坐标分别是)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA例例1 1这种题型是由椭圆标准方程求基本这种题型是由椭圆标准方程求基本元素元素说明：例说明：例1 1是一种常见的题型，在以后的有关圆是一种常见的题型，在以后的有关圆锥曲线的问题中，经常要用到这种题型，说它锥曲线的问题中，经常要用到这种题型，说它是一种题型不如说它是一种要经常用到的是一种题型不如说它是一种要经常用到的“基基本计算本计算”练习：练习： 教科书教科书5353页，页，A A组组4 4题题例例2 2：已知椭圆：已知椭圆x x2

9、 2+(m+3)y+(m+3)y2 2=m(m=m(m0)0)的离心率的离心率e=0.5e=0.5，求，求mm的值及椭圆的长轴与短轴的长，焦的值及椭圆的长轴与短轴的长，焦点坐标、顶点坐标。点坐标、顶点坐标。例例3 3：椭圆：椭圆 (ab0)(ab0)的左焦点为的左焦点为F F1 1(-c,0)(-c,0)，A(-a,0)A(-a,0)、B(0,b)B(0,b)是两个顶点，如果是两个顶点，如果F F1 1到到直线直线ABAB的距离为的距离为 , ,则椭圆的离心率则椭圆的离心率=( )=( ) 7b1byax2222例例4 4：设：设MM为椭圆为椭圆 上的一点上的一点,F,F1 1 ,F ,F2

10、2 为椭圆的焦点为椭圆的焦点, ,如果如果MFMF1 1F F2 2 =75 =75， MFMF2 2F F1 1 =15=15，求椭圆的离心率。，求椭圆的离心率。1byax2222425x 例例6 6：设：设M(x,yM(x,y) )与定点与定点F(4,0)F(4,0)的距离和它到直线的距离和它到直线l l： 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点MM的轨迹。的轨迹。54MMd dF FH Hx xy yo o目标：目标：1、进一步掌握椭圆的几何性质，能根据条件、进一步掌握椭圆的几何性质，能根据条件求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程；例例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下

11、列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为）长轴长为6,中心中心O,焦点焦点F,顶点顶点A构成的角构成的角OFA的余弦值为的余弦值为2/3.2222119559xyxy或解：由题知解：由题知a=3 cosOFA=caoFAc=2，b2=a2-c2=5因此所求椭圆的标准方程为因此所求椭圆的标准方程为 例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 分析一：设方程为mx2ny21(mn0且mn)，将点的坐标代入方程，求出m1/9,n1/4。 二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故

12、a3，b2，所以椭圆的标准方程为x2/9y2/41。 长轴长等于20，离心率3/5。 x2/100y2/641或x2/64y2/1001（1）过点（）过点（2，0）、（）、（1， ）33222149xy练习、求适合下列条件的椭圆的标准方程：练习、求适合下列条件的椭圆的标准方程：解：设所求椭圆的方程为解：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=132 0132（ ， ） 、 （，）椭圆过点椭圆过点4 m12 7mn14有解得：解得：m=1/4 n=1/9所求椭圆的标准方程为：所求椭圆的标准方程为：与椭圆与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离有相同的焦距，且离心率为心率为5522221125202

13、025xyxy或例例3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程：解：由已知得所求椭圆解：由已知得所求椭圆2c=25c5ea5又a=5a=5，b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=20=20故所求椭圆的标准方程为：故所求椭圆的标准方程为：若将题设中的若将题设中的“焦距焦距”改为改为“焦焦点点”，结结论又如，结结论又如何？何？例例4、已知、已知F1是椭圆的左焦点，是椭圆的左焦点，A、B分别是椭圆的分别是椭圆的右顶点和上顶点，右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。OBA

14、PF1解：设椭圆的方程为：解：设椭圆的方程为：2222xy1abpxc 2222p22cbyb(1)aa又又KOP=KAB2bbaca因此因此b=c22acc即c2ea2例例5. 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位上，片门位于别一个焦点于别一个焦点F2上。由椭圆一个焦点上。由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转发出的光线，经过旋

15、转椭圆面反射后集中到另一个焦点椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知。已知BC垂直于垂直于F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截试建立适当的坐标系，求截口口BAC所在椭圆的方程（精确到所在椭圆的方程（精确到0.1cm）例例5. 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）地心（地球的中心）F2 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面（离地面最近的点）距地面439 km，远地点，远地点B（离地面最远的（离地面最远的点）距地面点

16、）距地面2384 km，并且，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径在同一直线上，地球半径约为约为6371 km.求卫星的轨道方程（精确到求卫星的轨道方程（精确到1 km）。）。xyAB.F1F2解：解：建系如图，以建系如图，以AB所在直线为所在直线为x轴，轴，AB中点为原点中点为原点可设椭圆方程为：可设椭圆方程为：12222byax0 ba则Oca|2OFOA |2AF43963716810.ca|2OFOB |2BF238463718755解得.5 .9725 .7782ca，22cab.7722故卫星的轨道方程是.1772277832222yx练习练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则

17、其离心率、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为为 。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为形，则其离心率为 。3、若椭圆的、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为离心率为 。22189xym4、已知椭圆、已知椭圆 的离心率为的离心率为1/2，则则m= .221/34或或5/41/21、用待定系数法求椭圆标准方程的步骤、用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）先定位：确定焦点的位置）先定位：确定焦点的位置 （2）再定形：求）再定形：求a,b的值。的值。2、求椭圆的离心率、求椭圆的离心

18、率 （1）求出）求出a,b,c，再求其离心率，再求其离心率 （2）得）得a,c的齐次方程，化为的齐次方程，化为e的方程求的方程求作业作业1、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准方程。方程。2、已知椭圆在已知椭圆在x轴和轴和y轴正半轴上两顶点分别为轴正半轴上两顶点分别为A，B，原点到直线，原点到直线AB的距离等于的距离等于 ，又该椭圆，又该椭圆的离心率为的离心率为 ，求该椭圆的标准方程。，求该椭圆的标准方程。105532e 3、点点M（x,y）到定点（）到定点（2，0）的距离与到定直线）的距离与到定直线x=8的距离之比为的距离之比为 的点的轨迹方程是什么？轨的点的轨迹方