天津大学机械振动振动系统的运动微分方程实用教案

1、 第第3 3章章 振动振动(zhndng)(zhndng)系统的运动微分系统的运动微分方程方程目录(ml)Mechanical and Structural Vibration第1页/共24页第一页，共25页。 3.3 刚度影响(yngxing)系数 作用力方程Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振动系统的运动振动系统的运动(yndng)(yndng)微分微分方程方程第2页/共24页第二页，共25页。 m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xk xkxm xm xm xk xkxk xnnnnnnnnnnnnnnnnnn1

2、11122111112212112222211222211221122000TnTnxxxxxx 2121xx，一般情况一般情况(qngkung)下，下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式动微分方程具有以下形式若用矩阵若用矩阵(j zhn)表示，则表示，则可写成可写成式中分别是系统的式中分别是系统的坐标矢量坐标矢量和和加速度矢量加速度矢量 KxxM 0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。Mechanical and Structural Vibration第3页/共24页第三页，共

3、25页。 M mmmmmmmmmnnnnn n111212122212K kkkkkkkkknnnnn n111212122212质量(zhling)矩阵刚度(n d)矩阵Mechanical and Structural Vibration第4页/共24页第四页，共25页。 刚度刚度(n d)矩阵中的元素称刚度矩阵中的元素称刚度(n d)影响系数影响系数(在单自由度系在单自由度系统中，简称统中，简称弹性常数弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，如果使第如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的个质量沿其坐标方向产生单位位

4、移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标个质量坐标方向施加的力，定义为刚度方向施加的力，定义为刚度(n d)影响系数影响系数kij；在第；在第j个质量坐标个质量坐标方方向上施加的力称刚度向上施加的力称刚度(n d)影响系数影响系数kjj 。由刚度。由刚度(n d)影响系影响系数的物理意数的物理意义，可直接写出刚度义，可直接写出刚度(n d)矩阵，从而建立作用力方程，这种方矩阵，从而建立作用力方程，这种方法法称为影响系数法。称为影响系数法。K kkkkkkkkknnnnn n111212122212刚度(n d)矩阵Mech

5、anical and Structural Vibration第5页/共24页第五页，共25页。 现分析求出图所示的三自由度系统的刚度现分析求出图所示的三自由度系统的刚度(n d)矩阵。矩阵。 x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，画出各物块的受力图画出各物块的受力图(lt)根据平衡条件，有根据平衡条件，有首先首先(shuxin)令令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力Mechanical and Structural Vibration第6页/共24页第六页，共25页。 画出受力图(lt)，则有xxx12

6、3010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令画出受力图(lt)，有xxx12301，kkkkk132333330 ，最后(zuhu)令Mechanical and Structural Vibration第7页/共24页第七页，共25页。 因此因此(ync)刚度矩阵为刚度矩阵为K kkkkkkkkk12221333300刚度刚度(n d)矩阵一般是对称的。矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即kkijjiKKTMechanical and Structural Vibration第8页/共24页第八页，共25页。

7、3.4 柔度影响(yngxing)系数 位移方程 Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振动系统的运动振动系统的运动(yndng)(yndng)微分微分方程方程第9页/共24页第九页，共25页。 在单自由度的弹簧在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是质量系统中，若弹簧常数是k，则，则 就是物块上作就是物块上作用用(zuyng)单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。表示。1k具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。 ijn自由度系统的

8、柔度矩阵 为n阶方阵，其元素 称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。ijMechanical and Structural Vibration第10页/共24页第十页，共25页。 现分析求出图所示的三自由度系统现分析求出图所示的三自由度系统(xtng)的柔度影响系数。的柔度影响系数。 当受到当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹，第二和第三个弹簧的变形为零。簧的变形为零。11k111211311111kkk,01321FFF，首先施加单位力首先施加单位力112131、这时三物块所产生的静位移分别是这时三物块所产生的静位移分别是所以所以(suy)三物块

9、的位移都是三物块的位移都是F1Mechanical and Structural Vibration第11页/共24页第十一页，共25页。 第三个弹簧不受力，故其变形第三个弹簧不受力，故其变形(bin xng)为零。因此有为零。因此有1112kk,1212212321211111kkkkk,01312FFF，令F2第一和第二弹簧均受单位第一和第二弹簧均受单位(dnwi)拉力，其变形分别为拉力，其变形分别为Mechanical and Structural Vibration第12页/共24页第十二页，共25页。 F3再令再令1, 0321FFF131231233123111111kkkkkk,

10、可得到可得到(d do) 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkk系统系统(xtng)的柔度矩阵为的柔度矩阵为Mechanical and Structural Vibration第13页/共24页第十三页，共25页。 柔度矩阵一般也是对称的。柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个实际上任何多自由度线性系统都具有这个(zh ge)性质。即性质。即 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkkijji T系统系统(xtn

11、g)的柔度矩阵为的柔度矩阵为Mechanical and Structural Vibration第14页/共24页第十四页，共25页。 用柔度影响系数用柔度影响系数(xsh)(xsh)来建立其运动微分方程来建立其运动微分方程系统运动系统运动(yndng)时，质量的惯性力使弹簧产生时，质量的惯性力使弹簧产生变形变形xm xm xm xxm xm xm xxm xm xm x111112212331321121222233233113122323333 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )333322311323322221121331221111)()()()()()()()

12、()(FFFxFFFxFFFx应用叠加原理应用叠加原理(yunl)可得可得到到Mechanical and Structural Vibration第15页/共24页第十五页，共25页。 写成矩阵写成矩阵(j zhn)形式形式xxxmmmxxx123111213212223313233123123000000 xMx Mxx0位移位移(wiy)方程方程KxMx xKMx1()是非奇异的，即 的逆矩阵存在K1K与作用力方程与作用力方程(fngchng)比比较较 K1Mechanical and Structural Vibration第16页/共24页第十六页，共25页。即当刚度矩阵即当刚度矩阵

13、(j zhn)是非奇异时，刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵(j zhn)与柔度矩阵与柔度矩阵(j zhn)互为逆矩阵互为逆矩阵(j zhn)；当刚度矩阵当刚度矩阵(j zhn)是奇异时，不存在逆矩阵是奇异时，不存在逆矩阵(j zhn)即无柔度矩阵即无柔度矩阵(j zhn)。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵(j zhn)不存在。不存在。 K1柔度矩阵与刚度柔度矩阵与刚度(n d)矩阵之间的关系矩阵之间的关系Mechanical and Structural Vibration第

14、17页/共24页第十七页，共25页。 例例 试写出图所示刚体试写出图所示刚体AB的刚度的刚度矩阵并建立矩阵并建立(jinl)系统的运动微系统的运动微分方程。分方程。解：刚体解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心在图面内的位置可以由其质心C的坐标的坐标yC(以水平以水平位置位置O为坐标原点，且水平运动不计为坐标原点，且水平运动不计)和绕和绕C转角转角 确定。确定。Mechanical and Structural Vibration第18页/共24页第十八页，共25页。 图为 时的受力图， 分别表示保持系统在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩yC10,kk1121,kkkkk lk l11122

15、11 12 2,由刚体(gngt)AB的平衡条件得到Mechanical and Structural Vibration第19页/共24页第十九页，共25页。 图为 时的受力图， 分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。yC01,kk2212,kk lk lkk lk l222 221 12121 12 2,由平衡条件得K kkk lk lk lk lk lk l122 21 12 21 11 122 22()()刚度(n d)矩阵Mechanical and Structural Vibration第20页/共24页第二十页，共25页。 例 试求图示悬臂梁的柔

16、度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度(n d)为EI，其质量不计)解：取y1 、 y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义， 表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。1111332324( )lEIlEI 表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有222233lEI按材料力学的挠度(nod)公式，则有Mechanical and Structural Vibration第21页/共24页第二十一页，共25页。 表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移等于在m1处施加单位力在m1处产生的位移。有12211221323242 42548lEIllEIlEIym ym yym ym y111111222221112222( )( )( )( )yMy0 1112212233181161161lEI柔度矩阵(j zhn)为得系统的位移(wiy)方程Mechanical and Structural Vibration第22页/共24页第二十二页，共25页。第23页/共24页第二十三页，共25页。谢谢大家(dji)观赏！