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1、2016 初中数学竞赛班讲义-03不定方程主讲教师:Update on 2015 年 11 月 19 日目录1重要定理2基本例题223课堂练习312016 初中数学竞赛班讲义数学竞赛班群1重要定理1.整系数一元 n 次方程an xn + an1xn1 + + a1x + a0 = 0的整数解必为 a0 的因数.如果 a 和 b 是两个互质的正整数, 则一定存在有两个整数 x, y 使得2.ax + by = 1如果 a 和 b 是两个互质的正整数, 而 c 是一个整数, 则一定存在有两个整数 x, y 使得ax + by = c成立.3.设二元一次不定方程4.ax + by = c(其中 a,

2、 b, c 都是正整数而 (a, b) = 1) 有一组整数解 x = x0, y = y0, 则该不定方程的一切正整数解可以表示成x = x0 bt , y = y0 + at其中 t = 0, 1, 2, 3, .不定方程x2 + y 2 = z2的适合条件5.?x 0, y 0, z 0, (x, y ) = 1, 2 x的一切正整数解可以用下列公式表示出来x = 2ab, y = a2 b2, z = a2 + b2这里 a 和 b 都是正整数, 且 a b, (a, b) = 1, 2 (a + b).2基本例题1. 求不定方程的整数解:36x + 83y = 122016 初中数学

3、竞赛班讲义数学竞赛班群求不定方程的整数解:2.72x + 157y = 1求不定方程的一切整数解:3.111x 321y = 75求不定方程的一切整数解:4.2x + y = 20, 鸡雏三, 值钱一. 百钱买百鸡. 问鸡鸡翁一, 值钱五, 鸡母一, 值雏各几何?5.6.求不定方程的一切整数解:4x 9y + 5z = 87.求不定方程的一切整数解:xy = x2 + 63课堂练习1.判断下列方程有无整数解(a) x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0(b) x9 + x5 x4 2x2 + 3x 37 = 0(c) x7 + 3x5 + 3x求下列不定方程的整数解:= 02.(a)(b)(c)(d)(e)7x + 15y = 09x 11y = 117x + 40y = 280133x 105y = 21749x 56y + 14z = 35求下列不定方程的整数解:3.(a) 14021xy = 426539(b) 20746x 63581y = 323求 5x + 7y + 2z = 24

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