[高二数学]必修五232等差数列前n 项和性质4课时演示文稿

1、等差数列的性质综合应用1.等差数列前n项和Sn公式的推导方法倒序相加法和首尾相加法2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；一：复习引入3. 数列 为等差数列 前n项和Sn=An2+Bn 1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？当d0时,Sn是常数项为零的二次函数则 Sn=An2+Bn令常用性质：若数列an是公差为d的等差数列1、d0， an是递增数列；d0， an是递减数列；d=0， an是常数列2、d=(an-a1)/(n-1)=(am-an)/(m-n)3、an=am+(n-m)d4、若m+n=p+q则am+an=ap+aq5、m+n=2k，则am+an

2、=2ak6、an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两 项之和都相等，且等于首末两项之和 即a1+an=a2+an-1=ai+ai-1=7、数列kan+b(k、b是常数)是公差为kd的等差数列8、下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m, 组成公差为md的等差数列9、bn也成等差数列，则an+bn，kan+bn (k为非零常数)也是等差数列例1、若等差数列an前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。，解之得：解：设首项为a1，公差为d，则有： 设 Sn= an2 + bn，依题意得：S4=2, S9= 6,即解之得：另解：等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an

3、中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得 d=2当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=20当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=2当n=7时,Sn取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由得a7+a8=0等差数列的前n项的最值

4、问题例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=20a70,a8 0, 前n项和为Sn，Sm= Sl ,问: n为何值时，Sn最大？例1的变式题一：等差数列an中，首项a1，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？例2：已知数列an是等差数列，且a1= 21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。的前n项和为 ,当n为何值时， 最大，数列 的通项公式 已知 求：例3设等差数列 对等差数列前项和的最值问题有

5、两种方法:(1) 利用：由(2)利用:当0，d0，前n项和有最大值。可由，求得n的值。，求得n的值。当0，前n项和有最小值。可由利用二次函数配方法求得最值时n的值 2.等差数列an前n项和的性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也成等差数列,公差为在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=n2d0- (m+p)性质4: 为等差数列.3.等差数列an前n项和的性质 性质5:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),此时有:S偶S

6、奇= ,nd (2)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S偶S奇= ,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则an1、已知an为等差数列,前10项的和为S10=100前100项的和S100=10,求前110项的和S110 4.在项数为2n项的等差数列中，各奇数项的和 为75，偶数项的和为90，末项与首项的差为27，求n例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a

7、1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列an前n项和的性质的应用例3.两等差数列an 、bn的前n项和分别是Sn和Tn,且求 和 . 等差数列an前n项和的性质的应用例6.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .10153等差数列an前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S13013a1+136d0；当n7 时，a

8、n0.(1)|a1|a2|a3|a1a2a3S31233227；课外思考：等差数列 共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则中间项为_.等差数列前 n 项和的实际应用例 3：一个等差数列的前 10 项之和 100，前 100 项之和为10，求前 110 项之和解法一：设等差数列an的公差为d，前n 项和Sn，则解法二：设等差数列的前n 项和为SnAn2Bn，解法三：设等差数列的首项为a1，公差为d，S110110.1、求和公式的性质： 性质1、若数列an的前n项和为Sn=an2+bn(a,b为常数)，则数列an是等差数列。an是等差数列Sn=an2+bn(a,b为常数)性

9、质2、等差数列an的前n项和为Sn,则(n为奇数)(n为偶数)如：两个等差数列an,bn的前n项和为Sn,Tn则 性质3、等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列如：an是等差数列，(1)a1+a2+a3=5，a4+a5+a6=10,则a7+a8+a9=_a19+a20+a21=_(2)Sn=25,S2n=100,则S3n=_1535225反之呢？性质4、若等差数列an共有2n-1项， 若等差数列an共有2n项，则S偶-S奇=nd, 如an为等差数列，项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数。性质5、an为等差数列，求Sn的

10、最值。则Sn最大。则Sn最小。或利用二次函数求最值。2、常用数列的求和方法：(3)裂项法：设an是等差数列，公差d0 (4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。随堂练习1、在等差数列an中,已知S15=90,那么a8等于 A、3 B、4 C、6 D、12 2、等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为 A、130 B、170 C、210 D，260 3、设数列an是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和，则 A、S4S5 B、S4=S5 C、S6S5 D、S6=S5CCB4、设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它

11、的首项是 A、1 B，2 C、4 D、65、数列an中，an=26-2n,当前n项和Sn最大时，n=_6、在等差数列an中,已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于_7、已知在等差数列an中，a10,公差d0,S130.1)求公差d的取值范围 2)指出S1,S2,Sn,中哪一个值最大，并说明理由 。解1)：由题意2)由于a70,所以S6最大。 例4、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需要24小时，但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦割完，如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完

12、这片土地上的小麦需用多少时间？解：设有n台收割机，第k台所用时间为ak,则a1=5an它们每台每小时的收割量为Sn=24n所以用这种方法收割完小麦需要40小时。 例5、在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。解：由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0所以a13=0因为a10,a13=0,所以d0而n14时an0, 前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时， Sn取得最大值。 知能迁移3 在等差数列an中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn. （1）求Sn的最小值，并求出

13、Sn取最小值时n的值； （2）求Tn=|a1|+|a2|+|an|. 解 （1）设等差数列an的首项为a1,公差为d, a16+a17+a18=3a17=-36,a17=-12, d= =3, an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60, an=3n-630 an+1=3n-600 S20=S21= 当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.令,得20n21,（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数.当n21时，Tn=-Sn=当n21时，Tn=Sn-2S21=综上，Tn=（n21，nN*）（n21,nN*）.充分利用等差数列和Sn的二次函数性要点梳

14、理1.等比数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示.2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an= .6.3 等比数列及其前n项和从第二项起，后项与相邻前项的比是一个确定的常数（不为零）公比qa1qn-1基础知识 自主学习3.等比中项 若 ，那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am ,(n，mN*).（2）若an为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，nN*），则 .（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则 an（ 0）， ， ，anbn， 仍是等比数列.G

15、2=abqn-makal=aman基础自测1.设a1=2,数列an+1是以3为公比的等比数列，则a4的值为（） A.80B.81C.54D.53 解析 由已知得an+1=(a1+1)qn-1, 即an+1=33n-1=3n, an=3n-1，a4=34-1=80.A2.等比数列an中，a4=4,则a2a4a6等于（） A.4 B.8 C.32 D.64 解析 a4是a2与a6的等比中项， a2a6= =16.a2a4a6=64.D3.（2009广东文，5）已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2 ,a2=1,则a1=（） A.2 B. C. D. 解析 设公比为q,由已知得a1q2a1q8

16、=2(a1q4)2,即q2=2.因为等比数列an的公比为正数,所以q= ,故a1=C题型一 等比数列的基本运算【例1】已知an为等比数列，a3=2，a2+a4= ，求an的通项公式. 根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项,公比的方程组. 解 方法一 设等比数列an的公比为q，则q0， a2= a4=a3q=2q， +2q= 解得q1= ，q2=3.思维启迪题型分类 深度剖析当q= 时，a1=18，an=18（ ）n-1= =233-n.当q=3时，a1= ，an= 3n-1=23n-3.综上所述，an=233-n或an=23n-3.方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4= ，则

17、a2，a4为方程x2- x+4=0的两根，a2= a2=6a4=6 a4=解得或.当a2= 时,q=3,an=a3qn-3=23n-3.当a2=6时，q= ,an=233-nan=23n-3或an=233-n. （1）等比数列an中，an=a1qn-1, Sn= 中有五个量，可以知三求五；（2）注意分类讨论的应用.探究提高知能迁移1 已知等比数列an中，a1=2,a3+2是a2和a4的等差中项. （1）求数列an的通项公式； （2）记bn=anlog2an,求数列bn的前n项和Sn. 解 （1）设数列an的公比为q, 由题意知：2(a3+2)=a2+a4, q3-2q2+q-2=0，即(q-2

18、)(q2+1)=0. q=2，即an=22n-1=2n.（2）bn=anlog2an=n2n,Sn=12+222+323+n2n. 2Sn=122+223+324+（n-1）2n+n2n+1.-得-Sn=21+22+23+24+2n-n2n+1=-2-(n-1)2n+1.Sn=2+（n-1）2n+1.结论：等差数列前n项和的最值问题有两种方法：(1) 由 数配方法求得最值时n的值.利用二次函(2) 当a10，d0，前n项和有最大值. 可由an0，且an1 0，求得n的值； 当a10，d0，前n项和有最小值. 可由an0，且an1 0，求得n的值. 3.等差数列前n项和的性质（2）二.巩固练习3

19、. 已知数列an是正数数列，且(1)求证an是等差数列 ；4.等差数列前n项和的性质（3）课堂练习1：见课堂作业第13页第9题5.等差数列前n项和的性质（4）等差数列性质应用1.已知 求2.证明数列是等差数列已知数列的前 n 项的和为回答下列问题在数列中，已知求它的前n项的和Sn;并求出它的最小值.等差数列前n项和的最值问题变式：设数列 是等差数列， 是前n项的和，且 ，则下列结论错误的是( ) 已知数列 满足求这个数列的前10项和.求这个数列的前n项和.在数列中,(1)求证：是等差数列(2)设求数列 的前n项和根据下列条件,求相应的等差数列an的有关未知数:(2)S15=90,求a8(1)S10=120,求a2+a9设Sn是等差数列的前 n 项和，若则已知两个等差数列的前n项和分别为 和 且则在等差数列中，则 n =等差数列的前 n 项和为Sn,已知求m的值.等差数列中的等差数列在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，偶数项的和为150，则 n 的值为已知等差数列 的首项为3