第4章_无限长脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计2

1、第第4章章 无限脉冲响应（无限脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计数字滤波器的设计4.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 4.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 4.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 4.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 4.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计4.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 数字滤波器数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或

2、者滤除某算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的些频率成分的线性移不变系统线性移不变系统、数字器件或程序。、数字器件或程序。 数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。现滤波方法不同。 因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。 如果要处理的是模拟

3、信号，可通过如果要处理的是模拟信号，可通过A/DC和和D/AC，同样，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。 数字滤波器是对信号数字滤波器是对信号实现滤波实现滤波的的线性时不变系统线性时不变系统（数字（数字系统或时域离散系统）。系统或时域离散系统）。 x(n)y(n)h(n)1. 数字滤波器的滤波原理数字滤波器的滤波原理 输入序列输入序列x(n)，通过单位抽样响应为，通过单位抽样响应为h(n)的线性时不变的线性时不变系统（数字滤波器）后，其输出响应系统（数字滤波器）后，其输出响应y(n)为为 ：nmnxmhnhnxny)()()()()(将上式两边经过

4、傅里叶变换，可得：将上式两边经过傅里叶变换，可得： )()()(jjjeHeXeY 式中，式中，Y(ej)、X(ej)分别为分别为输出序列和输入序列的频谱输出序列和输入序列的频谱， H(ej)是系统的频率响应是系统的频率响应。 如果如果|H(ej)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号的值在某些频率上是比较小的，则输入信号经过滤波后在这些频率点上的幅值被抑制。经过滤波后在这些频率点上的幅值被抑制。 因此，可以按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，因此，可以按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择适当选择H(ej)，使得滤波后的，使得滤波后的X(ej)H(ej)符合要求，这是符合要求

5、，这是滤滤波器的滤波原理波器的滤波原理。)()()(jjjeHeXeY 上式可以理解为：输入序列原频谱为上式可以理解为：输入序列原频谱为X(ej)，经过数字滤，经过数字滤波器（频率响应为波器（频率响应为 H(ej) ）滤波后，频谱变为）滤波后，频谱变为X(ej) H(ej)。2. 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 经典滤波器经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波

6、的目的。（1）数字滤波器总体上可分为两大类：）数字滤波器总体上可分为两大类： 经典滤波器经典滤波器和和现代滤波器现代滤波器。用经典滤波器从噪声中提取信号用经典滤波器从噪声中提取信号输入信号输入信号x(t)中含有中含有干扰，其时域波形。干扰，其时域波形。x(t)频谱图，可见频谱图，可见信号信号和干扰的频带互不重叠和干扰的频带互不重叠低通滤波器低通滤波器滤除干扰滤除干扰, 得到纯信号得到纯信号 但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，为了最大限度地恢复信号，这时就需不能有效地滤除干扰，为了最大限度地恢复信号，这时就需要要现

7、代滤波器现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。波器等最佳滤波器。 现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。从而达到最佳滤波的目的。 本课程仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，而现本课程仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，而现代滤波器属于随机信号处理范畴。代滤波器属于随机信号处理范畴。 （2）经典数字滤波器经典数字滤波器从幅度特性上分类，

8、可以分成从幅度特性上分类，可以分成低通、低通、高通、带通和带阻等滤波器（选频滤波器）高通、带通和带阻等滤波器（选频滤波器） 。理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性 )(ejHo 22)(ejHo 22)(ejHo 22)(ejHo 22(a)(b)(c)(d )低 通高 通带 通带 阻|c|c保留介于低频和高频保留介于低频和高频之间的频率分量之间的频率分量滤除介于低频和高频滤除介于低频和高频之间的频率分量之间的频率分量 数字滤波器的频率响应函数数字滤波器的频率响应函数H(ej)都是以都是以2为周期的，为周期的，低通滤波器的通频带中心位于低通滤波器的通

9、频带中心位于2的整数倍处的整数倍处，而，而高通滤波高通滤波器的通频带中心位于器的通频带中心位于的奇数倍处的奇数倍处，与模拟滤波器不同。，与模拟滤波器不同。一般在数字频率的一般在数字频率的主值区主值区-, 描述数字滤波器的频率响描述数字滤波器的频率响应特性。应特性。 这种幅度特性为理想矩形的滤波器是这种幅度特性为理想矩形的滤波器是不可能实现不可能实现的，的，因为它们的因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的单位脉冲响应均是非因果且无限长的。只能在。只能在误差容限内逼近理想滤波器，即按照某些逼近指标来设计误差容限内逼近理想滤波器，即按照某些逼近指标来设计滤波器。滤波器。（3）数字滤波器从单位脉冲

10、响应长度或者从实现的网络结）数字滤波器从单位脉冲响应长度或者从实现的网络结构分类，可以分成构分类，可以分成无限长单位脉冲响应无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器滤波器和和有限有限长单位脉冲响应长单位脉冲响应(FIR)滤波器滤波器。它们的系统函数分别为：它们的系统函数分别为： 两式分别是两式分别是N阶阶IIR数字滤波器系统函数数字滤波器系统函数和和N-1阶阶FIR数数字滤波器系统函数字滤波器系统函数。 这两种数字滤波器的设计方法有很大区别，分成两章分这两种数字滤波器的设计方法有很大区别，分成两章分别进行学习。别进行学习。01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh

11、n z（4）根据滤波器对信号的处理作用又将其分为）根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤波器选频滤波器和和其他滤波器其他滤波器。 上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等器，其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器。滤波器。 滤波器可用于信号过滤、信号分离、信道均衡、信号滤波器可用于信号过滤、信号分离、信道均衡、信号检测、参数估计、波形形成和调制解调等。所以学习滤波检测、参数估计、波形形成和调制解调等。所以学习滤波器的设计与实现是必需的。器的设计与实现是必需的。3. 数字滤波器

12、的技术指标数字滤波器的技术指标 常用的数字滤波器一般属于常用的数字滤波器一般属于选频滤波器选频滤波器。 设数字滤波器的设数字滤波器的频率响应函数频率响应函数H(ej) 表示为：表示为： H(ej) =|H(ej)|e j()式中，式中， |H(ej)|称为幅频特性函数称为幅频特性函数; ()称为相频特性函数称为相频特性函数。 幅频特性幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而情况，而相频特性相频特性反映信号通过该滤波器后各频率成分的延反映信号通过该滤波器后各频率成分的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性时情况。因此，即使两

13、个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。一般选频滤波器可以根据幅频特性指标来设计，后面一般选频滤波器可以根据幅频特性指标来设计，后面介绍的几种典型滤波器（如巴特沃斯滤波器），都是根据介绍的几种典型滤波器（如巴特沃斯滤波器），都是根据幅频特性指标来设计的。幅频特性指标来设计的。 但如果对输出波形的相位有要求，则需要考虑相频特但如果对输出波形的相位有要求，则需要考虑相频特性技术指标，例如波形传输、图像信号处理等。性技术指标，例如波形传输、图像信号处理等。 下面下面介绍的介绍的IIR数字滤波器的设计中

14、主要研究根据幅频数字滤波器的设计中主要研究根据幅频特性指标来设计选频滤波器特性指标来设计选频滤波器。如果对输出波形有严格要求。如果对输出波形有严格要求（有相位要求），则需要设计线性相位数字滤波器（有相位要求），则需要设计线性相位数字滤波器（FIR数字滤波器）。数字滤波器）。 对于各种理想选频滤波器，因为它们的对于各种理想选频滤波器，因为它们的单位脉冲响应单位脉冲响应均是非因果且无限长的均是非因果且无限长的，所以是，所以是不可能实现不可能实现的，我们必须的，我们必须设计一个因果稳定的滤波器去近似实现，同时也要考虑复设计一个因果稳定的滤波器去近似实现，同时也要考虑复杂性与成本问题。杂性与成本问题。

15、低通滤波器的幅频特性指标示意图低通滤波器的幅频特性指标示意图 1-1)(ejH通通带带过过渡渡带带阻阻带带o1pstc0.7072 因此实际的选频滤波器的通带和阻带中都允许一定的因此实际的选频滤波器的通带和阻带中都允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到误差容限，即通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零，而且在通带与阻带之间还存在一定宽度的过渡带。零，而且在通带与阻带之间还存在一定宽度的过渡带。p和和s分别称为分别称为通带截止频率通带截止频率和和阻带截止频率阻带截止频率；通带频率范围为通带频率范围为0|p，在通带中要求，在通带中要求 (1-1)|H(ej)|1；阻带频率范

16、围为阻带频率范围为s|，在阻带中要求，在阻带中要求 |H(ej)|2；从从p到到s称为称为过渡带过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。，过渡带上的频响一般是单调下降的。1-1)(ejH通通带带过过渡渡带带阻阻带带o1pstc0.7072低通滤波器的幅频特性低通滤波器的幅频特性 通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减通带内允许的最大衰减用用 p表示，表示，阻带内允许的最小衰减阻带内允许的最小衰减用用 s表示。表示。1-1)(ejH通通带带过过渡渡带带阻阻带带o1pstc0.7072低通滤波器的幅频特性低通滤波器的幅频

17、特性对低通滤波器，对低通滤波器， 通带最大衰减通带最大衰减 p和和阻带最小衰减阻带最小衰减 s分别定义为：分别定义为：1-1)(ejH通通带带过过渡渡带带阻阻带带o1pstc0.7072低通滤波器的幅频特性低通滤波器的幅频特性jppjmax |(e )|20lgdB , 0min |(e )|HH通带中通带中jsjmax |(e )|20lgdBmax |(e )|HH通带中阻带中1-1)(ejH通通带带过过渡渡带带阻阻带带o1pstc0.7072低通滤波器的幅频特性低通滤波器的幅频特性 显然，显然， p 越小越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小；通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s 越

18、大越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小； p与与s间距越小间距越小, 过渡带就越窄。过渡带就越窄。 所以低通滤波器的设计指标完全由所以低通滤波器的设计指标完全由通带截止频率通带截止频率p 、通通带最大衰减带最大衰减 p 、阻带截止频率阻带截止频率s和和阻带最小衰减阻带最小衰减 s确定。确定。低通滤波器的低通滤波器的幅频特性指标幅频特性指标示意图示意图若幅频特性单调下降幅频特性，若幅频特性单调下降幅频特性， p和和 s可以分别表示为：可以分别表示为：dB| )e (| )e (|lg20pj0 jpHHdB| )e (| )e (|lg20sj0 jsHH

19、对其他类型的滤波器，对其他类型的滤波器，H(ej0)应改成应改成 ，0为滤波器通为滤波器通带中心频率。带中心频率。)(0jeH低通滤波器的低通滤波器的幅频特性指标幅频特性指标示意图示意图如果将如果将|H(ej0)|归一化为归一化为1， p和和 s可以分别表示为：可以分别表示为：dB| )e (|lg20pjpHdB| )e (|lg20sjsH低通滤波器的低通滤波器的幅频特性指标幅频特性指标示意图示意图 当幅度下降到当幅度下降到 时，标记时，标记=c，此时此时 ，称，称c为为3 dB通带截止频率。通带截止频率。 2/2cj20lg|(e)| 3dBH p、c和和s统称为截止频率，它们是滤波器设

20、计中的重统称为截止频率，它们是滤波器设计中的重要的参数。要的参数。片段常数特性片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和阻对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性片段常数特性”。 所谓所谓片段片段，是指，是指“通带通带”和和“阻带阻带”，常数常数是指是指“通通带波纹幅度带波纹幅度1”和和“阻带波纹幅度阻带波纹幅度2”。 而而通带最大衰减通带最大衰减 p和阻带最小衰减和阻带最小衰减 s是与是与1和和2完全完全等价的两个常

21、数等价的两个常数。 片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想。数字滤波器的双线性变换设计思想。（1）按照实际任务要求，）按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标确定滤波器的性能指标。（2 2）用一个用一个因果稳定的线性移不变系统去逼近这一因果稳定的线性移不变系统去逼近这一性能要求性能要求。根据不同要求可以用。根据不同要求可以用IIRIIR系统函数，也可系统函数，也可以用以用FIRFIR系统函数去逼近。系统函数去逼近。 （3）利用有限精度算法来实现这个系统函数利用有限精度算法来实现这个系

22、统函数。包括：选择运。包括：选择运算结构，选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间算结构，选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。截尾）等。 （4）实际的技术实现，包括：用通用计算机软、专用数字滤）实际的技术实现，包括：用通用计算机软、专用数字滤波器硬件、或用专业的或通用的数字信号处理器来实现。波器硬件、或用专业的或通用的数字信号处理器来实现。 本章只研究第二步骤。本章只研究第二步骤。4. 数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和滤波器和FIR滤波器的设

23、计方法完全不同。滤波器的设计方法完全不同。vIIR滤波器设计方法有滤波器设计方法有间接法间接法和和直接法直接法。 间接法间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。设计是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后，然后将将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。采。采用间接法设计用间接法设计IIR滤波器是因为模拟滤波器的设计方法已经滤波器是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表和曲线很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完

24、善的图表和曲线供查阅；还有一些典型的优良滤波器类型可供使用。供查阅；还有一些典型的优良滤波器类型可供使用。 直接法直接法是直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由是直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。vFIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法窗函数法、频率采样法频率采样法和和切比雪夫等波纹逼近法切比雪夫等波纹逼近法。 对于对于线性相位滤波器线性相位滤波器，经常采用，经常采用FIR滤波器滤波器。可以证。可以证明，明，FIR滤波器的单位脉冲响应满足一定条件时，其相位

25、滤波器的单位脉冲响应满足一定条件时，其相位特性在整个频带是严格线性的，这是模拟滤波器无法达到特性在整个频带是严格线性的，这是模拟滤波器无法达到的。当然，也可以采用的。当然，也可以采用IIR滤波器，但必须使用全通网络对滤波器，但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行校正，这样增加了设计与实现的复其非线性相位特性进行校正，这样增加了设计与实现的复杂性。杂性。 本章只介绍本章只介绍IIR滤波器的间接设计方法滤波器的间接设计方法。所以先介绍。所以先介绍模模拟低通滤波器的设计拟低通滤波器的设计，再介绍，再介绍模拟滤波器映射成数字滤波模拟滤波器映射成数字滤波器的方法器的方法。4.2 模拟滤波器的设计模拟滤

26、波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器滤波器、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器、椭椭圆圆(Ellipse)滤波器滤波器、贝塞尔贝塞尔(Bessel)滤波器滤波器等。这些滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。这些典型的滤波器各有特点

27、：这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重相位特性的非线性也稍严重。设计时，根据具体要求选择。设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。滤波器的类型。选频型模拟

28、滤波器按幅频特性可分成低通、高通、带选频型模拟滤波器按幅频特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器。但设计滤波器时，总是先设计低通滤波通和带阻滤波器。但设计滤波器时，总是先设计低通滤波器。器。例如模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是：例如模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是： 先先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器，最后采用频率转换术指标，然后设计相应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。 下面先介绍下面先介绍低通滤波器的技

29、术指标和逼近方法低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后主，然后主要介绍要介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法，及，及其其MATLAB设计函数。设计函数。各种理想模拟滤波器的幅频特性各种理想模拟滤波器的幅频特性 o低通o带通o带阻o高通)j (aH)j(aH)j (aH)j (aH4.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 分别用分别用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模拟滤波器的单位冲表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下：激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下： 可以用

30、可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)中任一个描述模拟滤波器，中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。 但是设计模拟的选频滤波器时，设计指标一般由幅频但是设计模拟的选频滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数响应函数|Ha(j)|给出，而给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数标，求系统函数Ha(s)。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt工程实际中通常用所谓的工程实际中通常用所谓的衰减函数衰减函数（也称为损耗函数）（也称为

31、损耗函数）A()来描述滤波器的幅频响应特性，来描述滤波器的幅频响应特性， 对对归一化幅频响应函归一化幅频响应函数数（后续课程都是针对该情况，特别说明的除外），（后续课程都是针对该情况，特别说明的除外），2aa()20lg(j)10lg(j) dB AHH衰减函数衰减函数A()定义如下（其单位是定义如下（其单位是分贝分贝，用，用dB表示）：表示）： 衰减函数衰减函数A()和幅频特性函数和幅频特性函数|Ha(j)|只是滤波器幅频只是滤波器幅频响应特性的两种描述方法。响应特性的两种描述方法。 衰减函数的优点衰减函数的优点是对幅频响应是对幅频响应|Ha(j)|的取值非线性压的取值非线性压缩，放大了小的

32、幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。特性的变化情况。幅度平方幅度平方函数函数1. 模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标 幅频响应函数完全看不清阻带内取值较小（幅频响应函数完全看不清阻带内取值较小（0.001以下）以下）的波纹，而衰减函数则能很清楚地显示出阻带的波纹，而衰减函数则能很清楚地显示出阻带-60 dB以下的以下的波纹变化曲线。波纹变化曲线。 另外习惯直接画出的另外习惯直接画出的衰减函数曲线衰减函数曲线（-A()）。）。幅频响应与衰减函数曲线的比较幅频响应与衰减函数曲线的比较2aa()20lg(j)10lg(j

33、) dBAHH-模拟低通滤波器的设计指标参数有模拟低通滤波器的设计指标参数有 p、p、 s和和s。其中其中p和和s分别称为分别称为通带截止频率通带截止频率和和阻带截止频率阻带截止频率， p称称为为通带最大衰减通带最大衰减， s称为称为阻带最小衰减阻带最小衰减， p和和 s的单位为的单位为dB。模拟低通滤波器的设计指标参数示意图模拟低通滤波器的设计指标参数示意图 02papap20lg|(j)|10lg|(j)|HH 2sasas20lg|(j)|10lg|(j)|HH 对于单调下降的幅度特性，对于单调下降的幅度特性， p和和 s可表示成：可表示成：模拟低通滤波器的设计指标参数示意图模拟低通滤波

34、器的设计指标参数示意图 0因为因为 ，所以所以c称为称为3 dB截止频率。截止频率。2/1| )j (|caHac20lg|()| 3dBHj)1lg(201p2slg20模拟低通滤波器的设计指标参数示意图模拟低通滤波器的设计指标参数示意图 01和和2分别称为分别称为通带和阻带波纹幅度通带和阻带波纹幅度，容易得到关系式：，容易得到关系式： 所以，如果能由所以，如果能由 p、p、 s和和s求出求出|Ha(j)|2，那么就，那么就可以求出可以求出Ha(s)Ha(-s)，由此可求出所需要的，由此可求出所需要的Ha(s)。2*|()|()()aaaHjHjHj滤波器的技术指标给定后，需要设计系统函数滤

35、波器的技术指标给定后，需要设计系统函数Ha(s) 。一般滤波器的单位冲激响应为实函数，频谱满足共轭对称。一般滤波器的单位冲激响应为实函数，频谱满足共轭对称。首先，可以得到首先，可以得到系统函数和幅度平方函数的关系系统函数和幅度平方函数的关系：( )()|aasjHs Hs *()()aaHjHj 得：得：2|()|()()aaaHjHjHj 2. 模拟低通滤波器的逼近方法模拟低通滤波器的逼近方法（2）确定极点确定极点 设设Ha(s)有一个有一个极点极点（或（或零点零点）位于）位于s=s0处，则在处，则在s=s0*处也一定有一处也一定有一极点极点（或（或零点零点）。）。(由于由于ha(t)为实数

36、，为实数，Ha(s)为实系数，则极点（或零点）必以共为实系数，则极点（或零点）必以共轭对形式出现轭对形式出现) Ha(-s)在在s=-s0和和-s0*处必有极点（或零点）；处必有极点（或零点）； Ha(s)Ha(-s)的的极点、零点分布是成象限对称极点、零点分布是成象限对称的。的。 如果如果Ha(s)Ha(-s)在在虚轴上的零点虚轴上的零点（或极点）（对临界稳定情况，才会出（或极点）（对临界稳定情况，才会出现虚轴的极点）一定是现虚轴的极点）一定是二阶二阶的，的， 222|()| |( )()aaasHjHs Hs 2|()|( )()|aaasjHjHs Hs 这样可以由这样可以由|Ha(j)

37、|2求得求得Ha(s)：（1）系统函数和幅度平方函数的关系：系统函数和幅度平方函数的关系：Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布是成象限对称的极点、零点分布是成象限对称 我们需要得到因果稳定的滤波器，所以，其系统函数我们需要得到因果稳定的滤波器，所以，其系统函数Ha(s)的极点一定落在的极点一定落在s的左半平面，所以的左半平面，所以左半平面的极点一定左半平面的极点一定属于属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于，则右半平面的极点必属于Ha(-s)。 （3）确定零点）确定零点 零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特征有关。零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特征有关。如果要求最小相位延时滤波器

38、，则如果要求最小相位延时滤波器，则Ha(s)应取左半平面零点；应取左半平面零点；如无特殊要求，则如无特殊要求，则可将对称零点的任一半（应为共轭对）取可将对称零点的任一半（应为共轭对）取为为Ha(s)的零点的零点。 （4）确定增益常数）确定增益常数 最后最后, 按照按照Ha(j)与与a(s)的低频特性或高频特性的对比确的低频特性或高频特性的对比确定出增益常数定出增益常数。 由求出的由求出的Ha(s)的零点、极点及增益常数，则可完全确定的零点、极点及增益常数，则可完全确定系统函数系统函数Ha(s)。 2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函数：，求系统函数例：例

39、：解：解：222( )()()aaasHs HsHj 7, 6ss 极点：极点：零点：零点： （二阶）（二阶）5sj 零点：零点：5sj 7, 6ss 的极点：的极点：( )aHs设增益常数为设增益常数为K020(25)( )(7)(6)aKsHsss00( )()asaHsHj由2224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss222216(25)(49)(36)sss4 257 6=04K 因此因此幅度平方函数幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。的作用。 对于五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达对于五种典型滤波器，其幅度平

40、方函数都有确知表达式，可以直接引用。式，可以直接引用。 Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的平面的左半平面，相应的左半平面，相应的Ha(-s)的极点必然落在右半平面。这样的极点必然落在右半平面。这样可由可由Ha(s)Ha(-s)求所需要的求所需要的Ha(s) ，即模拟低通滤波器的逼，即模拟低通滤波器的逼近方法。近方法。 因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。对于五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知的作用。对于五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。表达式，可以直

41、接引用。 2|()|( )()|aaasjHjHs Hs 系统函数和幅度平方函数的关系：系统函数和幅度平方函数的关系：4.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃思逼近又称最平幅度逼近。巴特沃思逼近又称最平幅度逼近。巴特沃思低通滤波器巴特沃思低通滤波器幅度平方函数幅度平方函数定义为：定义为： 式中：式中：N为滤波器的阶数为滤波器的阶数（正整数）（正整数）221|()|1aNcHj1. 巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数：巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数：巴特沃思低通滤波器巴特沃思低通滤波器的幅度特性的幅度特性（2）当）当=c，|Ha(jc)|=1/ =0.707，2（1）

42、当）当=0，|Ha(j0)|=1，无衰减；，无衰减；所以所以c是是3dB衰减频率、衰减频率、 3dB截止频率截止频率；当当=c时，不管时，不管N为多少，都衰减为为多少，都衰减为 3 dB，这是，这是3dB不变性。不变性。 衰减衰减 c =20lg| 1 /Ha(jc)|=3 dB。221|()|1aNcHj（3）在）在通带内通带内c ： |Ha(j)|2也随也随增加单调减小，但是增加单调减小，但是/c1，故比通带内衰减的速度，故比通带内衰减的速度要快得多；要快得多； N越大，衰减速度越大。越大，衰减速度越大。 当当=st（阻带截止频率），此时衰减为（阻带截止频率），此时衰减为 st=-20lg

43、|Ha(jst)|。（5）阶数）阶数N值越大值越大，通带和阻带的近似性越好通带和阻带的近似性越好，过渡带越窄过渡带越窄，st距距c越近。越近。221|()|1aNcHj在幅度平方函数式中，代入在幅度平方函数式中，代入=s/j，可得：，可得： NcaajssHsH211)()( 巴特沃思滤波器在有限巴特沃思滤波器在有限s平面内只有极点，属于所谓平面内只有极点，属于所谓“全全极点型极点型”滤波器。滤波器。 Ha(s)Ha(-s)的极点为的极点为 ：12( 1)()Nkcsj 1(21)2()jkNcej2. 求巴特沃思低通滤波器的系统函数：求巴特沃思低通滤波器的系统函数：221|()|1aNcHj

44、12( 1)()Nkcsj k=0 , 1, 2, , 2N-1 1(21)2()jkNcej1(21)22()jjkNcee121()22kjNce (21)22kjjNceeooc / 3jjc / 4(a) N3(b) N4N3和和N4时时Ha(s)Ha(-s)极点分布极点分布 N为为奇数奇数时，实轴上有极点；时，实轴上有极点；N为为偶数偶数时，实轴上没有极点。时，实轴上没有极点。但但极点决不会落在虚轴极点决不会落在虚轴上，这样滤波器才有可能是稳定。上，这样滤波器才有可能是稳定。Ha(s)Ha(-s)的的2N个极点等间隔分布在半径为个极点等间隔分布在半径为c的圆的圆（称巴特沃思圆）上，（

45、称巴特沃思圆）上，呈象限对称，呈象限对称，k=0,1,2,N-1的极点在左半平面，的极点在左半平面，极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为/N rad。12122kjNkcse 为形成稳定的滤波器，为形成稳定的滤波器，Ha(s)Ha(-s)的的2N个极点中只取个极点中只取S左半左半平面的平面的N个极点为个极点为Ha(s)的极点，而右半平面的的极点，而右半平面的N个极点构成个极点构成Ha(-s)的极点。的极点。Ha(s)的表示式为：的表示式为：10( )()NcaNkkHsss 分子系数为分子系数为cN，可由，可由Ha(s)的低频特性决定，的低频特性决定，12122kjNkcse k=0,1, 2

46、, , N-1 v Ha(s)的求解方法一的求解方法一（代入（代入 可求得分子系数为可求得分子系数为cN）;00( )|()|1asaHsHj 由于不同的技术指标对应的截止频率和滤波器的幅频特由于不同的技术指标对应的截止频率和滤波器的幅频特性不同，为使设计公式和图表统一，将巴特沃斯滤波器的性不同，为使设计公式和图表统一，将巴特沃斯滤波器的3dB截止频率截止频率c归一化为归一化为1rad/s。v Ha(s)的求解方法二的求解方法二10( )()NcaNkkHsss101( )()aNkkccHsss 令令 p=+j =s/c，=/c， p称为称为归一化复变量归一化复变量， 称为称为归一化频率归一

47、化频率， 这样可得到巴特沃斯滤波器的归一化系统函数。这样可得到巴特沃斯滤波器的归一化系统函数。系统函数变形为：系统函数变形为：101( )()aNkkGppp12122kjNkpek=0,1, 2, , N-1 因此只要知道阶数因此只要知道阶数N，根据上式就可求得归一化系统函，根据上式就可求得归一化系统函数，此外归一化后巴特沃思滤波器的数，此外归一化后巴特沃思滤波器的系统函数系统函数Ga(p)的极点分的极点分布、分母多项式的系数以及分母的因式分解都有现成的表格布、分母多项式的系数以及分母的因式分解都有现成的表格可查（书可查（书P100）。）。归一化的系统函数归一化的系统函数为：为：101( )

48、()aNkkccHssscsp kkcsp 令：令：其中其中归一化极点归一化极点为：为： 再把再把归一化后的巴特沃斯系统函数归一化后的巴特沃斯系统函数Ga(p)中的中的p用用s/c代代替替后（此时的后（此时的c为需要设计的为需要设计的巴特沃斯滤波器的实际的巴特沃斯滤波器的实际的3dB截止频率截止频率），就可），就可得到得到截止频率为截止频率为c的的巴特沃思系统函数巴特沃思系统函数；( )caacspsHsG表表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 例：设计一个例：设计一个c=2 rad/s的三阶巴特沃思模拟低通滤波器。的三阶巴特沃思模拟低通滤波器。 221|()

49、|1 (/)NcH j 令令2=-s2即即=s/j，则有：，则有： )2/(11)()(66ssHsHaa各极点为：各极点为：12122kjNkcse k=0, 1,2, , 5 解：解：方法一代公式方法一代公式幅度平方函数是：幅度平方函数是：10( )()NcaNkkHsss系统函数为：系统函数为：611 (/2) 121262kje3202()kkss所给出的六个所给出的六个sk为：为：2301432533041352132221321322213jjjjjjsejsesejsejsesej 由由s1, s2, s3三个极点构三个极点构成的系统函数为：成的系统函数为：312332( )()

50、()()8488caHssssssssss前面三个前面三个sk（k=0, 1, 2）就是）就是Ha(s)的极点。的极点。v 方法二查表方法方法二查表方法查表查表P100得得N=3的归一化的巴特沃思滤波器分母多项式系数：的归一化的巴特沃思滤波器分母多项式系数： b0=1, b1=2, b2=2频率归一化后的系统函数为：频率归一化后的系统函数为：323221011( )221aGppb pb pbppp323218( )488221acccHsssssss频率反归一化，即用频率反归一化，即用s/c代替代替p后，就得到所需滤波器的后，就得到所需滤波器的系统函数系统函数Ha(s)无论是用公式法还是表格

51、法无论是用公式法还是表格法, 只要求出巴特沃斯滤波器只要求出巴特沃斯滤波器的阶数的阶数N和和3 dB截止频率截止频率c，就可以求出滤波器的系统函数，就可以求出滤波器的系统函数Ha(s)。所以，。所以，巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指标求阶数标求阶数N和和3 dB截止频率截止频率c的过程的过程。3. 根据技术指标确定巴特沃思低通滤波器的阶数根据技术指标确定巴特沃思低通滤波器的阶数和和3dB截止频率截止频率 先介绍阶数先介绍阶数N的确定方法。由于阶数的确定方法。由于阶数N的大小主要影响的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带、阻带的幅度下降速度，

52、通带幅频特性的平坦程度和过渡带、阻带的幅度下降速度，它由技术指标它由技术指标p、 p、s和和 s确定。确定。221|()|1/aNcHj 因为：因为：2pap10lg|( )|Hj 2ss10lg|( )|aHj 221|()|1/aNcHj 2pap10lg|( )|Hj 2ss10lg|( )|aHj p210ap|( )|10Hjs210as|( )|10Hj2p11 /Nc2s11 /Nc得到：得到： s2/10sc110Nsp2/10s/10p101101Np2/10pc110N得到：得到：sp/10/10sp101lg1012lgN得到：得到： 用上式求出的用上式求出的N可能有小数

53、部分，应取大于或等于可能有小数部分，应取大于或等于N的的最小整数。最小整数。 再介绍于再介绍于3 dB截止频率截止频率c的求法，如果技术指标中没有的求法，如果技术指标中没有给出，可以按照下述方法求出。给出，可以按照下述方法求出。 p10.12cp(101)N 得到：得到：s10.12cs(101)N s2/10sc110Np2/10pc110N因为：因为：或：或：注意：注意： 如果采用上式确定如果采用上式确定c，则通带指标刚好满足要求，阻，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余；带指标有富余； 如果采用下式确定如果采用下式确定c，则阻带指标刚好满足要求，通，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富

54、余。带指标有富余。p10.12cp(101)N s10.12cs(101)N (1) 根据技术指标根据技术指标p、 p、s和和 s，总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： 12122kjNkpe(2) 求出归一化极点求出归一化极点 ，k=0,1, 2, , N-1，也可以根据阶数也可以根据阶数N直接查表得到直接查表得到pk和和Ga(p)。 sp/10s/10p101lg2lg101N利用：利用：求出滤波器的阶数求出滤波器的阶数N。11( )()aNkkGppp将将pk代入：代入：得到归一化低通原型系统函数得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。(

55、3) 将将Ga(p)反归一化。反归一化。将将p=s/c代入代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数，得到实际的滤波器系统函数Ha(s)：ca( )( )|aspHsGpp10.12cp(101)N s10.12cs(101)N 这里这里c为为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出截止频率，如果技术指标没有给出c，可以按照下两式求出：可以按照下两式求出：例：已知通带截止频率例：已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大衰减，通带最大衰减 p =2 dB，阻带截止频率阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=30 dB，按照以，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。上技术指

56、标设计巴特沃斯低通滤波器。解：解： (1) 确定阶数确定阶数N。取取N=5sp22.42spffsp/10/101011708.0101sp/10s/10p101lg2lg101Nlg1708.04.252lg2.4上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在一上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解式。起，形成因式分解式。3455012675534 jjjjjpepepepepe，401( )()akkGppp12122kjNkpe(2) 按照式按照式 ， k=0,1, 2, , N-1，其极点为：，其极点为：101( )()aNkkGppp按照式按照式 ，得归

57、一化低通原型系统函数为：，得归一化低通原型系统函数为：5432432101( )aGppb pb pb pb pb221(0.61801)(1.61801)(1)ppppp通常通常直接查表直接查表6.2.1得到归一化低通原型系统函数，得到归一化低通原型系统函数，查表得查表得N=5时的极点为：时的极点为：0.3090j0.9511，0.8090j0.5878, 1.0000分母多项式的系数为：分母多项式的系数为：式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361所以归一化低通原型系统函数为：所以归一化低通原型系统函数为：分母多项式的因式

58、分解形式为：分母多项式的因式分解形式为：22(0.61801)(1.61801)(1)ppppp543213.23615.23615.23613.23611ppppp(3) 为将为将Ga(p)反归一化，先求反归一化，先求3 dB截止频率截止频率c。p10.12cp(101)2 5.2755 krad/sN s10.12sc (101)2 10.525 krad/sN根据通带指标求得根据通带指标求得c为：为：再利用再利用c求阻带截止频率为：求阻带截止频率为：此时算出的此时算出的比题目中给的比题目中给的s小，因此，过渡带小小，因此，过渡带小于指标要求。或者说，在于指标要求。或者说，在s=212 k

59、rad/s时衰减大于时衰减大于30 dB，所以说阻带指标有富余量。，所以说阻带指标有富余量。s5c542332454c3c2c1c0c( )aHssbsbsbsbsb将将p=s/c代入代入 中中, 得到：得到： 5432432101( )aGppb pb pb pb pb MATLAB信号处理工具箱函数信号处理工具箱函数buttap, buttord和和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其是巴特沃斯滤波器设计函数。其5种调用格式如下。种调用格式如下。（1） Z，P, K=buttap(N)该格式用于计算该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频率截止频率c=1）模拟

60、低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为返回长度为N的零点列向量的零点列向量Z和极点列向量和极点列向量P，K表示滤波器表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式增益。得到的系统函数为如下形式: a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)4. 用用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 如果要从计算得到的零、极点得到系统函数的分子和如果要从计算得到的零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量分母多项式系数向量B和和A，可以调用：，可以调用： 结构转换函数结构转