概率论与数理统计概率统计ch5极限定理

1、1第五章 大数定律及中心极限定理1 大数定律2 中心极限定理2第五章 大数定律及中心极限定理1 大数定律大数定律的定义切比雪夫大数定律贝努里大数定律3实例：测量一个工件，由于测量具有误差，以各次的平均值作为测量结果，只要仪器准确且测量的次数足够多，总可以达到要求的精度。此问题的数学表达：反映了什么统计规律？如果工件的测量值真值为a, 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律4即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律的反映。测量的经验就是： 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律5 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律定义1若对任意考虑：数列的收敛性定义，比较数列与随

2、机变量序列 收敛性的区别。一、定义6定义2 对任意 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律随机变量的平均值依概率趋向于它们数学期望的平均值.78定理1.马尔可夫大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律设随机变量满足证明：9定理2.切比雪夫大数定律（独立同分布 ） 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律设随机变量独立同分布，10证： 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律由马尔可夫大数定律11定理3. 贝努里大数定律证：令 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律则 独立同分布， 12由定理2. 有该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。 第五章 大数定律及

3、中心极限定理 1 大数定律1314第五章 大数定律及中心极限定理2 中心极限定理定义独立同分布的中心极限定理拉普拉斯中心极限定理用频率估计概率时误差的估计15中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它是统计学中处理大样本时的重要工具。 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理161718一、定义 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理若对任意 x ： 表示Zn的极限分布为标准正态分布19定理1 （独立同分布的中心极限定理）二、中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理20本质是： 的极限分布是正态分布.从而的极限分布是标准正态分布中心极限 定理21例. 一接

4、收器同时收到20个信号电压设它们互相独立均服从U(0,10)，求电压之和大于105的概率。 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理记22 某产品装箱，每箱重量是随机的。假设每箱平均重50kg，标准差为5kg。若用最大载重量为5吨的汽车承运，问每车最多可装多少箱，才能以0.977以上的概率保证不超载。例.解：设最多可装 n 箱，由中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理总重量23因此最多可装 98 箱。 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理242526由定理1有结论成立。定理2 贝努里情形的中心极限定理（拉普拉斯）证明：由二项分布和0-1分布的关系知其

5、中 相互独立且都服从于0-1分布，且 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理设n是 n 重贝努里试验中A发生的次数，p=P(A).则对27从而的极限分布是标准正态分布拉普拉斯中心极限 定理本质是： 服从二项分布，则 的极限分布是正态分布.28推论：说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理设n B ( n, p ),29例. 车间有200台独立工作的车床，每台工作的概率为0.6, 工作时每台耗电1千瓦, 问至少供电多少千瓦才能以99.9%的概率保证正常生产。设至少要供给s 千瓦电，则解：记同时工作的车床数为 X，则 X

6、B(200,0.6). 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理EX=120, DX=48, 由中心极限定理, X N(120,48)近似30 需要至少供给141千瓦电。 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理31用频率估计概率时误差的估计：由上面的定理知用这个关系式可解决许多计算问题。 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理32例. 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？解：EX=1000, DX=5000/6, 由中心极限定理, X N(10

7、00, 5000/6) 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理近似33 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理34良种粒数X的范围为 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理35例. 系统由100个相互独立的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。至少有85个部件正常工作，系统才能运行，求系统能运行的概率。解：由拉普拉斯中心极限定理有则 XB(100, 0.1)，EX=10, DX=9.设X是损坏的部件数， 第五章 大数定律及中心极限定理 2 中心极限定理系统能运行，则361）了解大数定律的意义和内容，理解切比雪夫大 数定律、贝努里大数定律。第五章 小 结要求：1)大数定律的定义，切比雪夫大数定律、贝努里大 数定律；