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1、2022/7/71矩阵论及其应用 计算机科学与技术系 赵金熙89686058(O） 第三讲 赋范线性空间与范数2022/7/722022/7/733.1.赋范线性空间2022/7/74-(1)-(2)-(3)-(4)常用的向量x的范数有2022/7/752022/7/762022/7/772022/7/78下述范数的几何意义是:2022/7/79例3.2 求下列向量的各种常用范数2022/7/7102022/7/7112022/7/7132022/7/7142022/7/7152022/7/7162022/7/7172022/7/7182022/7/7192022/7/7202022/7/72

2、13.2矩阵范数.定义3.4 设A为m*n矩阵，是以n阶方阵为变量的实值函数,且满足条件: (1)非负性：A0 ,且A=0当且仅当A=0 (2)齐次性: A=| |A, R (3)三角不等式:A+BA+B (4) 相容性: ABAB则称A为矩阵A的范数. 2022/7/7222022/7/723定义3.5 设是一种向量范数称之为由向量范数派生的矩阵算子范数常用的矩阵范数-(5)-(6)-(7) 向量| |2的推广 Frobenius 范数-(8)2022/7/7242022/7/7252022/7/726例3.7求矩阵A的各种常用范数解:由于2022/7/728例3.7求矩阵A的各种常用范数解

3、(续):由于特征方程为2022/7/729例3.7求矩阵A的各种常用范数解(续):由于特征方程为2022/7/730容易计算对矩阵元素的变化比较敏感较少使用使用最广泛性质较好使用最广泛计算较复杂2022/7/731定义3.6-(9)显然ReIm2022/7/732设A为n阶方阵,则对任意算子范数 | | 有证明：由算子范数的相容性，得到将任意一个特征根 所对应的特征向量 代入定理3.42022/7/733若A对称，则有证明：若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。又对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数，故得证。对某个 A 的特征根 成立定理3.52022/7/734定理3.6证明:返回2022/7/7353.3 范数的一个应用扰动分析与矩阵的条件数2022/7/7362022/7/7372022/7/7382022/7/7392022/7/740当cond(A)1时，则方程组是“病态”的；当cond(A)较小时，则方程组是“良态”的.通常的条件数有：:特别地，若 A 对称，则 2022/7/741例3.9.已知, 求A的条件数.2022/7/743说明由A构成的系数矩阵方程组是“病态”的 。例3.10求例3.7中矩阵A的常用范数解:2022/7/745例3.10求矩阵A的各种常用范

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