第三章第二节数据集位置的测度

1、第二节 数据集位置的测度一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六、中位数和分位数六、中位数和分位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系八、正确应用平均指标的原则八、正确应用平均指标的原则一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用平均指标的作用：平均指标的作用：n可用于同类现象在不同空间条件下的对比可用于同类现象在不同空间条件下的对比n可用于同一总体指标在不同时间的对比可用于同一总体指标在不同时间的对比n可作为论断事物的一种数量标准或参考可作为论断事物的一种数量

2、标准或参考1.可用于分析现象之间的依存关系和进行数量可用于分析现象之间的依存关系和进行数量上的估算。上的估算。二、算术平均数二、算术平均数总总体体标标志志总总量量算算术术平平均均数数总总体体单单位位总总量量算术平均数(计算公式)NXNXXXXNiiN12111122121KiiiNNKNiiX FX FX FX FXFFFF 简单算术平均数(算例)原始数据: 105913685 . 868613951066543211XXXXXXNXXNii加权算术平均数（算例）某车间某车间50名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表按零件数分组按零件数分组组中值（组中值（Xi）频数（频数（Fi）

3、XiFi105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计合计506160.0【例【例3.7】根据下表数据，计算根据下表数据，计算50 名工人日加工零件数的均值名工人日加工零件数的均值（个）2 .12350616011KiiKiiiFFXX加权算术平均数(权数对均值的影响) 甲乙两组各有甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组：甲组： 考试

4、成绩（考试成绩（X ）: 0 20 100 人数分布（人数分布（F ）：）：1 1 8 乙组：乙组： 考试成绩（考试成绩（X ）: 0 20 100 人数分布（人数分布（F ）：）：8 1 1算术平均数(数学性质) XAXAN XN=X 算术平均数(数学性质)AXAXN 10nii( XX ) 4. 各变量值与均值的离差之各变量值与均值的离差之和等于零。和等于零。21nii( XX )min 算术平均数的不足算术平均数易受极端变量值的影响，使得算术平均数易受极端变量值的影响，使得平均数代表性变小；而且受极大值的影响平均数代表性变小；而且受极大值的影响大于受极小值的影响。大于受极小值的影响。当组

5、距数列为开口组时，由于组中值不易当组距数列为开口组时，由于组中值不易确定，使平均数的代表性不很可靠。确定，使平均数的代表性不很可靠。三、调和平均数调和平均数(概念) 调和平均数又称为调和平均数又称为“倒数平均数倒数平均数”，它是各个变，它是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。量值倒数的算术平均数的倒数。 计算公式为计算公式为1hNXX简简单单调调和和平平均均数数： 111niihniiifXfX加加权权调调和和平平均均数数： 调和平均数(概念)1hXfXfmXXmfXfXX调和平均数【例3.8】某种糖果在甲、乙、丙三个商店的单价分别是5元/斤、4元/斤、2元/斤，老王在三个商店各买了20元钱的该

6、商品，则他拿回家混合后再拿来出售应该至少买什么价，才不会亏本？如果老王在甲、乙、丙三个商店分别花了30元、40元、20元，回家后混合出售，又该至少买什么价，才不会亏本？调和平均数(算例:由平均数计算)某日三种蔬菜的批发成交数据某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜蔬菜名称名称批发价格批发价格(元元) Xi成交额成交额(元元) m=Xi Fi成交量成交量(公斤公斤)Fi甲甲乙乙丙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计合计3690048000369000.76948000iihiiiiX FmXX FmXX（元）调和平均数(算例:由相对数计算)某公司各企业某

7、公司各企业计划完成程度情况计划完成程度情况工工厂厂计划完成程度计划完成程度() Xi计划产值计划产值(万元万元) fi实际产值实际产值(万元万元)m=Xi fi甲甲乙乙丙丙951051151 20012 8002 0001 14013 4402 300合合计计16 00016 880168801.05516000XfXf168801.05516000hmXmX调和平均数 特点：特点： 数列中各标志值不能为零；数列中各标志值不能为零； 受极端值影响，并且受极小值的影响大于受极受极端值影响，并且受极小值的影响大于受极大值的影响，但比算术平均数受极端值的影响大值的影响，但比算术平均数受极端值的影响要

8、小。要小。四、几何平均数几何平均数(概念要点)几何平均数(简单几何平均数)121NNNGNiiXXXXX112log1log(logloglog)NiiGNXXXXXNN1logarc logarcNiiGGXXXN几何平均数(简单几何平均数算例)某工业产品产量平均发展速度计算表某工业产品产量平均发展速度计算表年份年份产品产量产品产量(亿吨亿吨)逐年发展速度逐年发展速度(X)(各年产量为前一年的各年产量为前一年的) 逐年发展速度的对数逐年发展速度的对数(lgX) 1993199419951996199719989.8010.5410.8010.8711.1611.41107.6102.5100

9、.6102.7102.22.03192.01072.00252.01152.0094合计合计10.0660几何平均数(简单几何平均数算例)nGXX5107.6102.5100.6102.7102.251.16454103.1%lg10.0660lg2.01335GXXnlg2.0133 103.1%GGXarcXarc几何平均数(加权几何平均数)12121121ninininffffffffGniiXXXXX11221121lglglglglgniinniGnniifXfXfXfXXffff11lgarc logarcniiiGGniifXXXf几何平均数(算例)【例【例3.12】投资银行投资

10、银行43年的利率分配为：年的利率分配为：1年为年为3，4年为年为5，8年为年为8，10年为年为1020年为年为15。计算平均年利率。计算平均年利率。某投资银行平均年利率计算表某投资银行平均年利率计算表年利率发展速度年利率发展速度()X年份年份f年利率发展速度的对数年利率发展速度的对数(lgX) f lgX 10310510811011514810202.01282.02122.03342.04142.06072.01288.084816.267220.414041.214合合 计计4387.9929几何平均数(算例)lg87.9929lg2.0463543GfXXflg2.04635111.2

11、617%GGXarcXarc几何平均数(特点)数列中标志值不能为零或负；数列中标志值不能为零或负；受极端值影响较算术平均数和调和平均数受极端值影响较算术平均数和调和平均数要小，较稳健；要小，较稳健；适用于反映特定现象的平均水平，即现象适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总体标志值不是各单位标志值的总和，的总体标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志值的连乘积。而是各单位标志值的连乘积。五、众数众数(概念要点)集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一出现次数最多的变量值出现次数最多的变量值不受极端值的影响不受极端值的影响可能没有众数或有几个众数可能没有众数或有几个众数总体的单位数较多，且分

12、配集中，不呈均总体的单位数较多，且分配集中，不呈均匀分布，众数才有意义匀分布，众数才有意义众数(众数的不唯一性)无众数无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42品质数列或单项数列的众数(算例)某城市居民关注广告类型的频数分布某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型广告类型人数人数(人人)比例比例频率频率(%) 商品广告商品广告 服务广告服务广告 金融广告金融广告 房地产广告房地产广告 招生招聘广告招生招聘广告 其他广告其他广告112519161020.5600.2550.

13、0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合计合计2001100【例【例3.13】计算众数计算众数解：这里的变量为解：这里的变量为“广告类广告类型型”，这是个定类变量，不，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人人当中，关注商品广告的人数最多，为数最多，为112人，占总被人，占总被调查人数的调查人数的56%，因此众数，因此众数为为“商品广告商品广告”这一类别，这一类别，即即 Mo商品广告商品广告品质数列或单项数列的众数(算例)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市

14、家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)百分比百分比 (%) 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意24108934530836311510合计合计300100.0组距数列的众数(要点及计算公式)1. 众数的值与相邻两组频数的分布有关众数的值与相邻两组频数的分布有关 组距数列的众数(要点及计算公式)1011() ()LffMXdffff1011() ()UffMXdffff组距数列的众数(算例)某车间某车间50名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组频数（人）频数（人）累积频数累积频数10511

15、0110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合计合计50)(1235)1014()814(8141200个 M014 101255123()(148)(14 10)M个众数的特点是位置平均数，只考虑总体分布中最频繁是位置平均数，只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，不受极端值和开口组的影出现的变量值，不受极端值和开口组的影响，增强了其代表性；响，增强了其代表性；当分布数列中无明显的集中趋势而呈均匀当分布数列中无明显的集中趋势而呈均匀分布时，无众数；当变量数列不等距分组分布时，无众数；当变量数列不等距分组时，众数不易确定。时，

16、众数不易确定。六、中位数和分位数中位数(概念要点)集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端值的影响不受极端值的影响各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即1minnieiXM未分组数据的中位数(计算公式)为偶数时当为奇数时当NXXNXMNNNe1222121未分组数据：未分组数据：21N中位数位置未分组数据的中位数 (5个数据的算例)原始数据原始数据: 24 22 21 26 20排排 序序: 20 21 22 24 26位位 置置: 1 2 3 4 5321521N位置未分组数据的

17、中位数 (6个数据的算例)原始数据原始数据: 10 5 9 12 6 8排排 序序: 5 6 8 9 10 12位位 置置: 1 2 3 4 5 6品质数列或单项数列的中位数(计算方法)2f中 位 数 位 置 单项数列的中位数(算例)某厂工人日产零件中位数计算某厂工人日产零件中位数计算 按日产零件分组按日产零件分组(件件)工人数工人数(人人)向上累计频数向上累计频数向下累计频数向下累计频数26313234364131014271883132754728080775753268合计合计80f804022中位数位置品质数列的中位数(算例)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的

18、频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意2410893453024132225270300合计合计300组距数列的中位数(要点及计算公式)根据位置公式确定中位数所在的组根据位置公式确定中位数所在的组假定中位数组的频数在该组内均匀分布假定中位数组的频数在该组内均匀分布采用下列近似公式计算：采用下列近似公式计算：m 1emfS2MLdfm1emfS2MUdf组距数列的中位数(计算公式几何证明)某班统计学学习成绩某班统计学学习成绩成绩成绩（Xi）人数人数（Fi）向上累积频数向上累积频数向下累计频数

19、向下累计频数60以下以下60707080809090100371093310202932322922123【例3.18】某班统计学成绩如下表，计算中位数16efM2的位置中位数组为7080分组距数列的中位数(计算公式几何证明)m 1emfS2MLdf 组距数列的中位数(算例)某车间某车间50名工人名工人日加工零件数分组表日加工零件数分组表按零件数按零件数分组分组频数频数（人）（人）向上累积向上累积频数频数向下累计向下累计频数频数1051101101151151201201251251301301351351403581410643816304046505047423420104合计合计50e5

20、0162M120514123.21() 个e50202M125514123.21() 个四分位数(概念要点)1.集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一2.排序后处于排序后处于25%和和75%位置上的值位置上的值3. 不受极端值的影响不受极端值的影响 Q1QMQ325%25%25%25%四分位数(位置的确定)未分组数据的四分位数 (7个数据的算例)原始数据原始数据: 23 21 30 32 28 25 26排排 序序: 21 23 25 26 28 30 32位位 置置: 1 2 3 4 5 6 7 未分组数据的四分位数 (6个数据的算例)原始数据原始数据: 23 21 30 28 25 26

21、排排 序序: 21 23 25 26 28 30位位 置置: 1 2 34 5 6品质数列的四分位数(算例)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意2410893453024132225270300合计合计300组距数列的四分位数(计算公式)111114mQfSQLdf上四分位数上四分位数: 下四分位数下四分位数: 下限公式：下限公式：331334mQfSQLdf组距数列的四分位数(计算公式)1111134mQfSQUdf上四分位数

22、上四分位数: 下四分位数下四分位数: 上限公式：上限公式：331334mQfSQUdf组距数列的四分位数(计算公式)1311mmSS式中：式中：U1、U3 第一和第三个四分位点所在组的组上限；L1、L3 第一和第三个四分位点所在组的组下限；1311mmSS 第一和第三个四分位点所在组以下的 各组累计频数（向上累计）； 第一和第三个四分位点所在组以上的 各组累计频数（向下累计）；13QQff 第一和第三个四分位点所在组的组频数；d 组距。组距数列的四分位数(计算示例)Q1位置位置50/412.5Q3位置位置350/437.5某车间某车间50名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数

23、分组按零件数分组频数（人）频数（人）累积频数累积频数105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合计合计50150841155117.81()8Q 个13 503041255128.75()10Q个各种平均数之间的比较算术平均数、几何平均数、调和平均数的关系hGXXX21212121212GXXXX2 X XXXX XXX2 即121212121212Gh1212XXX XX X2X X2X X2X XXX11XXXX 即众数、中位数和均值的关系oeXMM对称分布对称分布 均值均值 = 中位数中位数= 众数众数e

24、oXMM左偏分布左偏分布均值均值 中位数中位数 众数众数右偏分布右偏分布众数众数 中位数中位数 均值均值eoXMM八、正确应用平均指标的原则正确应用平均指标的原则只能运用于同质总体只能运用于同质总体用组平均数补充说明总体平均数用组平均数补充说明总体平均数用分配数列补充说明平均数用分配数列补充说明平均数第三节 数据集的离散程度的测定一一. 标志变动度的概念标志变动度的概念二二. 全距全距三三.异众比率异众比率 四分位差四分位差 平均差平均差 方差与标准差方差与标准差 标准分数标准分数4 离散系数离散系数一、标志变动度：离散趋势数据的特征和测度数据的特征和测度数据的特征和测度分布的形状分布的形状离

25、散程度离散程度集中趋势集中趋势二、全距全距(概念要点及计算公式)1. 又称又称“极差极差”，一组数据的最大值与最小值之，一组数据的最大值与最小值之差差2. 离散程度的最简单测度值离散程度的最简单测度值3. 易受极端值影响易受极端值影响4. 未考虑数据的分布未考虑数据的分布全距特点 受极端值影响。受极端值影响。 不能计算开口组的全距。不能计算开口组的全距。 与中间标志值无关，不能反映中间值的差与中间标志值无关，不能反映中间值的差异；异； 与分布频数无关，不能全面反映各单位的与分布频数无关，不能全面反映各单位的标志的变异程度。标志的变异程度。三、分类数据：异众比率异众比率(variation ra

26、tio)1.对分类数据离散程度的测度2.非众数组的频数占总频数的比率3.计算公式为imimirfffffv1异众比率 (例题分析)解：解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好%707 . 050151501550rv不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌饮料品牌频数频数比例比例百分比百分比(%) 可口可乐可口可乐 旭日升冰茶旭日升冰茶 百事可乐百事可乐 汇源果汁汇源果汁 露露露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计合计501100四、四

27、分位差四分位差(概念要点)1.离散程度的测度值之一离散程度的测度值之一2.也称为内距或四分间距也称为内距或四分间距3.上四分位数与下四分位数之差上四分位数与下四分位数之差 QD = Q3 Q14.反映了中间反映了中间50%数据的离散程度数据的离散程度 不受极端值的影响不受极端值的影响5.用于衡量中位数的代表性用于衡量中位数的代表性四分位差(算例)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意241089345302413222527030

28、0合计合计300四分位差特点 不受两端不受两端25的数值的影响，因而可以计的数值的影响，因而可以计算开后组的四分位差。算开后组的四分位差。 不受极端值的影响，较全距准确。不受极端值的影响，较全距准确。 仍然没有考虑中间标志值和频数分布，仍仍然没有考虑中间标志值和频数分布，仍是一个粗略的指标。是一个粗略的指标。五、平均差平均差(概念要点及计算公式)1. 离散程度的测度值之一离散程度的测度值之一2. 各变量值与其均值离差绝对值的平均数各变量值与其均值离差绝对值的平均数3. 能全面反映一组数据的离散程度能全面反映一组数据的离散程度4. 数学性质较差，实际中应用较少数学性质较差，实际中应用较少Nii

29、1XXA.D.NKiii1Kii1XX FA.D.F平均差（计算过程及结果）某车间某车间50名工人日加工零件标准差计算表名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组按零件数分组组中值组中值(Xi)频数频数(Fi)| Xi- X |Xi-X |Fi105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合计合计50312Kiii 1Kii 1XX F312A.D.6.2450F（个）平

30、均差特点 考虑了全部标志值和分布频数，对离散趋势有较充分的代表性。 不便数学运算 实际中可用中位数代替算术平均数Niei 1XMA.D.NKieii 1Kii 1XMFA.D.F六、方差和标准差方差和标准差(概念要点)1.离散程度的测度值之一2.最常用的测度值3.反映了数据的分布 反映了各变量值与均值的平均差异4.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差总体方差和标准差(计算公式)未分组数据：NXXNii122)(KiiKiiiFFXX1122)(NXXNii12)(KiiKiiiFFXX112)(总体标准差（计算过程及结果）某车间某车间50名工人日加

31、工零件标准差计算表名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组按零件数分组组中值组中值(Xi)频数频数(Fi)(Xi- X )2(Xi- X )2Fi105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合计合计503100.5（个）87.7505 .3100)(112KiiKiiiFFXX样本方差和标准差(计算公式)未分组数据：

32、1)(1221nxxSniinkiikiiinffxxS112211)(1)(121nxxSniinkiikiiinffxxS11211)(样本方差自由度(degree of freedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实

33、际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量样本方差(算例)原始数据: 10 5 9 13 6 83 . 816) 5 . 88 () 5 . 85 () 5 . 810(1)(2221221nxxSniin样本标准差(算例)样本标准差样本标准差88. 23 . 81)(121nxxSniin方差 (简化计算公式) 样本方差样本方差) 1(11)(21121221nnxnxnxxSniiniiniin 212122)(XNXNXXNiiNii标准差与平均差的关系对同一资料，所求的平均差一般比标准差要小，即：A.D.七、相对位置的测量：标准分数标准分数(stan

34、dard score)1. 也称标准化值2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量3.可用于判断一组数据是否有离群点4.用于对变量的标准化处理5. 计算公式为sxxzii标准分数(性质)均值等于02. 方差等于1001)(1snsxxnnzzii1)(1)0()(22222222sssxxnnznznzzsiiiz标准分数(性质) z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。 标准化值 (例题分析)9个家庭人均月收入标准化值计算表个家庭人均月收入标准化值计算表 家庭编号家庭编号人均月收入（元）人

35、均月收入（元） 标准化值标准化值 z 123456789150075078010808509602000125016300.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.5561.8530.1160.996经验法则经验法则表明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 八、离散系数（变异系数）（标准差系数）离散系数(概念要点和计算公式)1.标准差与其相应的均值之比标准差与其相应的均值之比2.消除了数据水平高低和计量单位的影响消除了数据水平高低和计量单位的影响

36、3.测度了数据的相对离散程度测度了数据的相对离散程度4.用于对不同组别数据离散程度的比较用于对不同组别数据离散程度的比较5. 计算公式为计算公式为xSVXVs或离散系数（实例和计算过程）某管理局所属某管理局所属8家企业的产品销售数据家企业的产品销售数据企业编号企业编号产品销售额（万元）产品销售额（万元）X1销售利润（万元）销售利润（万元）X21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0离散系数(计算结果)第三节 偏态与峰度的测度一一. 偏态及其测度偏态及其测度二二. 峰度及其测度峰度及其测度数据的特征和测度（本

37、节位置）数据的特征和测度数据的特征和测度分布的形状分布的形状离散程度离散程度集中趋势集中趋势偏 态偏态与峰度分布的形状从众数、中位数和均值的关系判断偏态oeXMM对称分布对称分布 均值均值 = 中位数中位数= 众数众数eoXMM左偏分布左偏分布均值均值 中位数中位数 众数众数右偏分布右偏分布众数众数 中位数中位数 均值均值eoXMM偏态(概念要点)1.数据分布偏斜程度的测度数据分布偏斜程度的测度2.偏态系数偏态系数=0为对称分布为对称分布3.偏态系数偏态系数 0为右偏分布为右偏分布4.偏态系数偏态系数 0为左偏分布为左偏分布5. 计算公式为计算公式为31331KiiiKiiXXFFSPSS中的偏度系数(Skewness)公式313311KiiiKiiXXFSF偏态(实例)1997年农村居民家庭纯收入数据年农村居民家庭纯收入数据按纯收入分组（元）按纯收入分组（元）户数比重（户数比重（%）500以下以下500100010001500150020002000250025003000300035003500400040004500450050005000以上以上2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814