第三章 单层复合材料的

1、第三章 单层复合材料的 宏观力学分析 简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元。简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元。 宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力学性能，不讨论复合材料组分之间的相互作用。学性能，不讨论复合材料组分之间的相互作用。 对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般按平面应力状态进行分析，比较小，因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内应力，不考虑面外应力。只考虑单层板面内应力，不考虑面外应力。 在线弹性范围内。在线弹性范围内。3-1 3-1 平面应力下单层复合材料平

2、面应力下单层复合材料的本构关系的本构关系13231200031233000312332) 沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力xy平面应力问题平面应力问题1. 特点：特点：1) 长、宽尺寸远大于厚度长、宽尺寸远大于厚度平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。无外力作用。例如：例如：0z问题相反。注意：平面应力问题z =0，但，这恰与平面应变 单层复合材料的主轴单层复合材料的主轴O123如图所示：如图所示：1为沿纤维方向，为沿纤维方向，3为垂直于单层的中面为垂直于单层的中面方向。方向。

3、031233在面内受力情况下，在面内受力情况下，单层处于平面应力状单层处于平面应力状态，即：态，即：（面外应力为零）（面外应力为零）jijiS利用正交异性材料的胡克定律利用正交异性材料的胡克定律可写出：可写出：面外应变面外应变0031232231133SS 面内应变：面内应变：12661222211222121111SSSSS 1221662221121112210000SSSSS写成矩阵形式：写成矩阵形式： S这里称这里称为沿轴柔度，用工程常数表示为：为沿轴柔度，用工程常数表示为： S即即（*） 122112211222111221G1000E1E0EE1 12216622121211122

4、1S000SS0SS126622222111212111G1SE1SEESE1S 223211312231133EESS 122166221212111221Q000QQ0QQ6666212221111222122211121221222112211S1QSSSSQSSSSQSSSSQ 1266211222221121212112212122112111GQ1EQ1E1EQ1EQ 221112EE ESE1S)SS(2000SS0SS121112211211111212111221 122166111212111221Q000QQ0QQG)1(2EQ1EQ1EQ66212211 4 4个独立的

5、常数，个独立的常数，E E1 1,E,E2 2, , 1212和和G G1212对于各向同性材料对于各向同性材料 Q/11222112122122112211EESQESQ211221222111266661,/1SSSGSQ即即其中其中 Q3 Q C因上式没有明显包含因上式没有明显包含，故故不是不是，所以称所以称为平面应力时的折算沿轴刚度为平面应力时的折算沿轴刚度。03332231133CCC666633232313231313221211221211/CQCCCCQ由由ijQijC可以推出可以推出与与的关系，即：的关系，即： 上述的时定义在正交各向异性材料的主方向上的，上述的时定义在正交各

6、向异性材料的主方向上的，但材料的主方向往往和几何上适应解题要求的坐标但材料的主方向往往和几何上适应解题要求的坐标轴方向不一致轴方向不一致 斜铺或缠绕斜铺或缠绕12yx+3-2 3-2 1221222222sincoscossincossincossin2cossincossin2sincosxyyx1221222222sincoscossin2cossin2cossincossincossinsincosxyyx用用1-21-2坐标系中的应力来表示坐标系中的应力来表示x-yx-y坐标系中的应力的转换方程为坐标系中的应力的转换方程为转换的只是应力，而与材料的性质无关，同样：转换的只是应力，而与材

7、料的性质无关，同样： 222222sincoscossincossincossin2cossincossin2sincosT 12211Txyyx 1221TTxyyx 2222221sincoscossincossincossin2cossincossin2sincosT xyyxT1221xyyxT1 -1221T 122166111212111221xyyxQ000QQ0QQ 12211221Q xyyxxyyxT112211TQTT T1TQTQ 对于材料主轴和坐标系一致的特殊的正交各向异性简单层板对于材料主轴和坐标系一致的特殊的正交各向异性简单层板可简写可简写QQ的转换矩阵的转换矩阵

8、 xyyx662616262212161211xyyxxyyxQQQQQQQQQQ)sin(cosQcossin)Q2Q2QQ(Qcossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Qcossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(QcosQcossin)Q2Q(2sinQQ)sin(cosQcossin)Q4QQ(QsinQcossin)Q2Q(2cosQQ446622661222116636622123661211263662212366121116422226612411224412226622111242222661241111 九个非零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异性层板九个非

9、零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异性层板剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合 122166221212111221S000SS0SS xyyx662616262212161211xyyxTxyyxSSSSSSSSSTST)sin(cosScossin)SS4S2S2(2Scossin)SS2S2(cossin)SS2S2(Scossin)SS2S2(cossin)SS2S2(ScosScossin)S2S2(sinSS)sin(cosScossin)SSS(SsinScossin)SS2(cosSS446622661222116636612223

10、661211263661222366121116422226612411224412226622111242222661241111 我们也可以用应力来表示应变我们也可以用应力来表示应变 12216626162611121612111221QQQQQQQQQ 12216626162622121612111221SSSSSSSSS1212,223,12261212,111,1216126622222111212111GESGESG1SE1SEESE1S iiji ,ijijiij, i 对各向异性简单层板，同广义正交各向同性简单层板相类似对各向异性简单层板，同广义正交各向同性简单层板相类似新的工

11、程常数新的工程常数相互影响系数相互影响系数第一类相互影响系数：表示由第一类相互影响系数：表示由ijij平面内的剪平面内的剪切引起切引起i i方向上的伸长方向上的伸长第二类相互影响系数：表示由第二类相互影响系数：表示由i i方向上的正方向上的正应力引起应力引起ijij平面内的剪切平面内的剪切复合材料的偏轴向（非材料主方向）拉伸引起复合材料的偏轴向（非材料主方向）拉伸引起轴向伸长和剪切变形轴向伸长和剪切变形22222111212111E1SEESE1S )sin(cosScossin)SS4S2S2(2Scossin)SS2S2(cossin)SS2S2(Scossin)SS2S2(cossin)

12、SS2S2(ScosScossin)S2S2(sinSS)sin(cosScossin)SSS(SsinScossin)SS2(cosSS446622661222116636612223661211263661222366121116422226612411224412226622111242222661241111 1212, 223,12261212, 111 ,12161266GESGESG1S 31211223121121yy ,xy31211223121121xx ,xy4412221211221xy42221121241y22122144112xxy42221121241xcoss

13、inG1E2E2cossinG1E2E2EcossinG1E2E2cossinG1E2E2E)cos(sinG1cossinG1E2E2E22G1cosE1cossinE2G1sinE1E1cossinG1E1E1)cos(sinEEsinE1cossinE2G1cosE1E1非主方向的非主方向的xyxy坐标系下受力的正交各向异性简单层板的表观工程常数坐标系下受力的正交各向异性简单层板的表观工程常数为：为： 通过上述分析可见：通过上述分析可见： 正交各向异性简单层板在与材料主方向成一定角正交各向异性简单层板在与材料主方向成一定角度方向上受力时，表观各向异性弹性模量是随角度方向上受力时，表观各向

14、异性弹性模量是随角度变化的度变化的 琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小值）琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小值）并不一定发生在材料主方向并不一定发生在材料主方向 设计材料设计材料的变化情况。的变化情况。 工程常数随角工程常数随角 各向异性的某些特性只有通过计算才能显示出各向异性的某些特性只有通过计算才能显示出来，不能主观臆断，如：来，不能主观臆断，如： 对对玻璃玻璃/环氧环氧：沿纤维方向杨氏模量最大，垂直：沿纤维方向杨氏模量最大，垂直纤维方向杨氏模量最小；纤维方向杨氏模量最小； 强度：重要概念强度：重要概念 复杂，在实际应用中，几乎没有单纯使用单层板的，主复杂，在实际应用中，几乎没有单

15、纯使用单层板的，主要是因为它们的横向拉伸与剪切强度和刚度太弱，尤其要是因为它们的横向拉伸与剪切强度和刚度太弱，尤其是强度，因此，多以层合板的的形式应用，即需要不同是强度，因此，多以层合板的的形式应用，即需要不同角度铺层的单层板，简单层板的强度分析是基础。角度铺层的单层板，简单层板的强度分析是基础。 各向同性材料：最大应力和应变是材料的主应力和主应各向同性材料：最大应力和应变是材料的主应力和主应变；各向异性材料：最大作用应力并不一定对应材料的变；各向异性材料：最大作用应力并不一定对应材料的危险状态。危险状态。 目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的特征目的：要用材料主方向上的特征表征任意方

16、向上的特征（不同于传统材料的方法）（不同于传统材料的方法）各向同性强度理论简要回顾：各向同性强度理论简要回顾：r11r3212r313r 最大拉应力最大拉应力( (第一强度第一强度) )理论：理论： 最大伸长线应变最大伸长线应变( (第二强度第二强度) )理论：理论： 最大切应力最大切应力( (第三强度第三强度) )理论：理论： r称为相当应力，分别为：称为相当应力，分别为：231232221421r 形状改变能密度形状改变能密度( (第四强度第四强度) )理论：理论： 莫尔强度理论：莫尔强度理论：31ctrM 基本强度定义基本强度定义材料主方向上材料主方向上 X Xt t纵向拉伸强度纵向拉伸

17、强度 X Xc c纵向压缩强度纵向压缩强度 Y Yt t横向拉伸强度横向拉伸强度 Y Yc c横向压缩强度横向压缩强度 S S面内剪切强度面内剪切强度 与与4 4个工程弹性常数一起，称为复合材料的个工程弹性常数一起，称为复合材料的9 9个工程个工程常数常数1、采用沿轴坐标系，剪应力的负号不影响强、采用沿轴坐标系，剪应力的负号不影响强度。（离轴时剪应力的正负则有影响）度。（离轴时剪应力的正负则有影响）注意：注意：2、采用沿轴坐标系，拉伸与压缩强度是不、采用沿轴坐标系，拉伸与压缩强度是不同的。同的。3、在单层板中，强度是应力方向的函数；、在单层板中，强度是应力方向的函数；而且对正交各向异性材料，主

18、应力和主应而且对正交各向异性材料，主应力和主应变的概念是无意义的，我们更关心的是材变的概念是无意义的，我们更关心的是材料主方向上的应力和应变。料主方向上的应力和应变。 示例示例12XYS考虑单向纤维简单层板，假设强度为：考虑单向纤维简单层板，假设强度为：222cm/N2000Scm/N1000Ycm/N50000X 其应力场为：其应力场为：2122221cm/N1000cm/N2000cm/N45000 最大主应力低于最大强度，但最大主应力低于最大强度，但 2比比Y大，在大，在2方向上破坏方向上破坏 各向同性材料的强度指标用于表示材料在简单应力各向同性材料的强度指标用于表示材料在简单应力下的强

19、度下的强度 塑性材料：屈服极限或条件屈服极限塑性材料：屈服极限或条件屈服极限 脆性材料：强度极限脆性材料：强度极限 剪切屈服极限剪切屈服极限 疲劳等疲劳等 正交各向异性材料正交各向异性材料 强度随方向不同变化强度随方向不同变化 拉伸和压缩失效的机理不同拉伸和压缩失效的机理不同 面内剪切强度也是独立的面内剪切强度也是独立的正交各向异性简单层板的正交各向异性简单层板的强度理论强度理论 实际使用过程中，物体所受三向或双向载荷的作用实际使用过程中，物体所受三向或双向载荷的作用 通过联合或多向加载试验获得强度包络线，通过变通过联合或多向加载试验获得强度包络线，通过变换，形成破坏准则换，形成破坏准则 破坏

20、准则仅仅是预测破坏的破坏准则仅仅是预测破坏的 发生，而不是实际上的发生，而不是实际上的破坏模型，不能从机理上阐述破坏破坏模型，不能从机理上阐述破坏正交各向异性简单层板的正交各向异性简单层板的强度理论强度理论xy试验破坏数据试验破坏数据破坏破坏屈服屈服最大应力理论最大应力理论 单层板在平面应力状态下，主方向的任意一单层板在平面应力状态下，主方向的任意一个分量达到极限应力时，就发生破坏或失效个分量达到极限应力时，就发生破坏或失效SYXcc1221SYXtt1221 cossinSsinYcosXcossinsincosx2x2txx122x22x1拉伸时拉伸时压缩时压缩时最大应力理论最大应力理论

21、失效准则有失效准则有3 3个相互不影响，各自独立的表达式个相互不影响，各自独立的表达式组成的，实际上有三个分准则组成的，实际上有三个分准则 必须转换成材料主方向上的应力必须转换成材料主方向上的应力 理论预报与材料试验值吻合的不好理论预报与材料试验值吻合的不好最大应变理论最大应变理论 单层板在平面应力状态下，主方向的任意单层板在平面应力状态下，主方向的任意一个分量达到极限应变时，就发生破坏或一个分量达到极限应变时，就发生破坏或失效失效 失效准则有失效准则有3 3个相互不影响，各自独立的表达个相互不影响，各自独立的表达式组成的，实际上有三个分准则式组成的，实际上有三个分准则 必须转换成材料主方向上

22、的应变必须转换成材料主方向上的应变 和最大应力理论相比和最大应力理论相比, ,在最大应变准则中包含在最大应变准则中包含了泊松比项了泊松比项, ,也就是说，最大应变理论中考虑也就是说，最大应变理论中考虑了另一弹性主方向应力的影响，如果泊松比很了另一弹性主方向应力的影响，如果泊松比很小，这个影响就很小小，这个影响就很小 与试验结果偏差也较大与试验结果偏差也较大最大应变理论最大应变理论 SYX1221tt121212121222212111G)(E1)(E1 拉伸时拉伸时压缩时压缩时S)Y(Y)X(X12ct1212ct2121 SYXcc1221x1212x221222x212211)cos(si

23、nG1)cos(sinE1)sin(cosE1 2c1c122t1tEYYEXXGSSEYYEXXcctt cossincossinsincos22122122SYXxxx cossinsincosx122x22x1最大应变理论最大应变理论蔡蔡- -希尔理论希尔理论(Tsai-Hill)(Tsai-Hill)1N2M2L2F2G2H2)GF()HF()HG(212213223323121232221 HillHill对各向异性材料，提出了屈服准则：对各向异性材料，提出了屈服准则：在弹性范围内，可以作为各向异性材料的强度准则，屈服在弹性范围内，可以作为各向异性材料的强度准则，屈服强度强度F,G,

24、H,L,M,NF,G,H,L,M,N可以认为是破坏强度可以认为是破坏强度蔡蔡- -希尔理论希尔理论(Tsai-Hill)(Tsai-Hill)2222Z1GFY1HFX1HGS1N2 如果只有如果只有 1212作用在物体上作用在物体上如果如果只有只有 1 1作用在物体上作用在物体上如果如果只有只有 2 2作用在物体上作用在物体上如果如果只有只有 3 3作用在物体上作用在物体上222222222Z1Y1X1F2Z1Y1X1G2Z1Y1X1H2 1SYXX2212222221221 对于纤维在1-方向的简单层板在1-2平面内的平面应力，023133 cossinsincosx122x22x12x2

25、42222241YsinsincosX1S1Xcos 1N2M2L2F2G2H2)GF()HF()HG(212213223323121232221 ZY 蔡蔡- -希尔理论希尔理论(Tsai-Hill)(Tsai-Hill)蔡蔡- -希尔理论希尔理论 可简化得到各向同性材料的结果可简化得到各向同性材料的结果 强度随方向角的变化是光滑的强度随方向角的变化是光滑的, ,没有尖点没有尖点 单向强度随角从单向强度随角从0 0增加而连续减小而不是像最大应增加而连续减小而不是像最大应力和最大应变两个准则那样增加力和最大应变两个准则那样增加 理论与试验之间的一致性比原先的好理论与试验之间的一致性比原先的好

26、在蔡希尔准则中破坏强度在蔡希尔准则中破坏强度X X、Y Y、S S之间存在着重要之间存在着重要的相互作用的相互作用, ,但在其它准则中但在其它准则中, ,这种作用不存在这种作用不存在 不一定对所有的材料都适合不一定对所有的材料都适合 未考虑拉、压性能不同的复合材料未考虑拉、压性能不同的复合材料霍夫曼失效准则（霍夫曼失效准则（Hoffman)Hoffman) 对拉、压强度不同的材料可用如下表达式对拉、压强度不同的材料可用如下表达式1SYYYYXXXXYYXX22122cttC1cttCct22ct2121 蔡蔡- -吴张量理论（吴张量理论（Tsai-Wu)Tsai-Wu)6, 2 , 1j ,

27、i1FFjiijii 1F2FFFFFF2112266622222111662211 蔡蔡- -吴假定在应力空间中的破坏表面存在如下形式吴假定在应力空间中的破坏表面存在如下形式: :其中：其中：F Fi i，F Fijij为二阶和四阶强度张量为二阶和四阶强度张量126135234 在平面应力状态下：在平面应力状态下：蔡蔡- -吴张量理论（吴张量理论（Tsai-Wu)Tsai-Wu)1XFXF2t11t1 ct22ct2YY1FY1Y1F 2666S1F0F 强度张量的某些分量可以用已经讨论过的工程强度来确定：强度张量的某些分量可以用已经讨论过的工程强度来确定：1XFXF2c11c1 对拉伸载荷

28、：对拉伸载荷：ct11ct1XX1FX1X1F 对压缩载荷：对压缩载荷：同理：同理：材料主方向上的剪切强度和剪应力的符号无关，则有：材料主方向上的剪切强度和剪应力的符号无关，则有：蔡蔡- -吴张量理论（吴张量理论（Tsai-Wu)Tsai-Wu)1)F2FF()FF(212221121 对于四阶强度张量对于四阶强度张量F Fijij，基本上不能用材料主方向的任何单，基本上不能用材料主方向的任何单向试验来确定，必须采用双向试验，因为它是向试验来确定，必须采用双向试验，因为它是 1 1和和 2 2的系的系数。我们采用双向拉伸试验：数。我们采用双向拉伸试验： 21 2ctctctct212YY1XX1Y1Y1X1X1121F则有：则有：代入已知量：代入已知量：如果：如果：2F2F1212=-F=-F1111: : 与霍夫曼准则相同与霍夫曼准则相同如果：拉压强度相同，如果：拉压强度相同，2F2F1212=-1/X=-1/X2 2，与蔡，与蔡- -希尔准则相同希尔准则相同蔡蔡- -吴张量理论（吴张量理论（Tsai-Wu)Tsai-Wu) 一次项部分，描述不同拉压强度是有用的一次项部分，描述不同拉压强度是有用的 二次项部分，描述应力空间的椭球二次项部分，描述应力空间的椭球 F F1212描