第二讲 抽样分布与分位数

1、第二讲第二讲 抽样分布与分位数抽样分布与分位数 P135一一 c c2 2 分布分布(卡方分布卡方分布)二二 t 分布分布(student分布分布)三三 F 分布分布四四 抽样分布抽样分布五大定理五大定理五五 单侧分位数单侧分位数 统计量统计量g(X1,X2,Xn)既然是依赖于样既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故本的，而后者又是随机变量，故统计量也统计量也是随机变量是随机变量，因而就有一定的分布，这个，因而就有一定的分布，这个分布叫做分布叫做统计量的统计量的“抽样分布抽样分布” . 海尔墨特海尔墨特(Hermert)和和皮尔逊皮尔逊(K.Person)分别于分别于1875和和1900年

2、导出的年导出的 一一 c c2 2 分布分布(卡方分布卡方分布) P135 (k.Pearson,1857-1933)英国著名统计英国著名统计学家学家 1879年毕业于剑桥大学，年毕业于剑桥大学，1901年，他年，他与高尔顿、韦尔登创办的生物统计学杂志与高尔顿、韦尔登创办的生物统计学杂志biometrika, 使数理统计有了自己的阵使数理统计有了自己的阵地。他发展了一系列频率曲线，将复相关地。他发展了一系列频率曲线，将复相关和回归理论扩展到许多领域，并为大样本和回归理论扩展到许多领域，并为大样本理论奠定了基础。皮尔逊的最大贡献是在理论奠定了基础。皮尔逊的最大贡献是在1900年发表的一篇文章中引

3、进的拟合优度年发表的一篇文章中引进的拟合优度的卡方检验。不少人把这视为的卡方检验。不少人把这视为近代统计学近代统计学的开端的开端。 设设令令.相互独立相互独立则则 Y的概率密度函数为的概率密度函数为000221)(2122xxexnxxnn称称Y服从自由度为服从自由度为n的的记为记为: Y2 不同自由度的不同自由度的c c2-分布密度曲线分布密度曲线)( x二二 t 分布分布(student分布分布) P137 t 分布是高塞特 于1908年在一篇以“学生”（student为笔名的论文中首先提到的 高塞特（W、S、Cosset，1876-1937）美国人，t分布的发现者，年轻时在美国牛津大学学

4、习数学与化学，1899年在一家酿酒厂任酿酒技师，从事实验和数据分析工作。 这项工作中进行的小样本实验的结果使他怀疑存在一个不属于正态分布曲线的其它分布,经过研究，终于得到新的密度曲线,并与1908年以笔名“student”发表此次结果。故后人称次分布为“学生氏分布”或“t分布”。 Cosset的t分布打开了人们的思路,开创了小样本方法的研究。1 t 分布分布的定义分布分布的定义nYXT/ 设随机变量设随机变量X,Y相互独立相互独立，且且X N(0,1)0,1) Y c c2 2(n)，令令称称T服从有服从有n个自由度的个自由度的 t 分布分布 记为记为: T t(n)212)21(221)(n

5、xnnnx则则 T 的概率密度函数为的概率密度函数为:)(x2 不同自由度的不同自由度的t 分布密度曲线分布密度曲线三三 F 分布分布 P138 F分布是以统计学家费歇（分布是以统计学家费歇（R.A.Fisher）姓氏的第一）姓氏的第一个字母命名的个字母命名的 费歇费歇(R.A.Fisher,1890-1962),英国英国统计学家统计学家,遗传学家遗传学家,现代数理统计的主现代数理统计的主要奠基人之一要奠基人之一。他是使统计成为一门有。他是使统计成为一门有坚实理论基础并获得广泛应用的主要统坚实理论基础并获得广泛应用的主要统计学家。对数理统计有众多贡献计学家。对数理统计有众多贡献,内容涉内容涉及

6、估计理论及估计理论,假设检验假设检验,实验设计和方差实验设计和方差分析等重要领域，他还是一位举世闻名分析等重要领域，他还是一位举世闻名的遗传学家，优生学家，他用统计方法的遗传学家，优生学家，他用统计方法对这些领域进行研究，作出了许多重要对这些领域进行研究，作出了许多重要贡献。由于他的成就，他曾多次获得美贡献。由于他的成就，他曾多次获得美国和许多国家的荣誉。国和许多国家的荣誉。1 F 分布的定义分布的定义设设X c c2 2(n1) , , Y c c2 2(n2) , ,X与与Y独立独立21/nYnXF 称称F服从第一自由度为服从第一自由度为n1 ，第二自由度为第二自由度为n2的的F分布分布0

7、00)1 (222)(2211222111212111xxxnnxnnnnnnxnnnn则则 F的概率密度函数为的概率密度函数为:简记为简记为 FF(n1 , n2)2 不同自由度的不同自由度的F 分布密度曲线分布密度曲线定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布) P140四四 抽样分布抽样分布五大定理五大定理设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本，则有的样本，则有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) P140) 1() 1() 1 (222nSnc c 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),

8、(2 N的样本的样本,2,SX分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有2SX(2)与与相互独立相互独立定理定理 3设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2,SX分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有) 1(/ntnSX定理定理 4 (两总体均值差的分布两总体均值差的分布)2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,

9、分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本定理定理 5 (两总体方差比的分布两总体方差比的分布) P140) 1, 1(2122222121nnFSS ，设),(),(222211NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1, X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本 )(xXP设设0 1,对随机变量对随机变量X，称满足称满足 1 定义定义：x1

10、的点的点 为为X关于关于 的单側分位数的单側分位数. x五五 单側分位数单側分位数2 标准正态分布的上分位数标准正态分布的上分位数z的求法问题问题?)(z1倒查倒查1-z的求法是:例例025. 0z025. 0u倒查倒查 0.975=1.9605. 0z05. 0u倒查倒查 0.95=1.64P301例如例如:)3(23 . 0c)6(295. 0c665. 3635. 1)10(21 . 0c987.15分布的上分分布的上分位数位数 2c c3 自由度为自由度为n的的2cP304例如例如:)12, 8(05. 0F85. 2),(1),(12121nnFnnF)15,12(9 . 0F1 . 21)12,15(11 . 0F476. 0F分布的上分布