二阶常系数齐次线性微分方程

1、第八节第八节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程一一 定义定义二二 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法三三 n n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法四四 小结小结)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0)( yPynn一、定义,rxey 设设将其代入上

2、述方程将其代入上述方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe,2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy故有故有02 qprr称为特征方程称为特征方程二、二阶常系数齐次线性方程解法,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy （1 1）方程有两个不相等的实根）方程有两个不相等的实根)0( ,2421qppr ,2422qppr 特征根为特征根为（2 2）方程有两个相等的实根）方程有两个相等的实根)0( 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方

3、程并化简，将将，222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为,11xrey ,221prr 一特解为特解为特征根为特征根为,)(1xiey ,)(2xiey （3 3）有一对共轭复根）有一对共轭复根)0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx ,1 ir ,2 ir 特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的

4、特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法确定其通解的方法称为特征方程法.解解特征方程为特征方程为,0442 rr 解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy .044的通解的通解求方程求方程 yyy例例1 1解解例例2 202 yyyxxeCeCy221 方程的通解为：方程的通解为：1, 221 rr解得解得022 rr特征方程特征方程解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx .052的通解的通解求方程求方程 yyy例例3 301)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为

5、特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 ik 复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110 三、三、n n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各含有且每一项各含有一个任意常数一个任意常数.nnyCyCyCy 2211特征根为特征根为, 154321irrirrr 故所求通解为故所求通

6、解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例4 4二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)四、小结四、小结02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21r

7、r 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考题解答思考题解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 则则, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程满足

8、所给初始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒, ,直径为直径为m5 . 0, ,铅直放在水中铅直放在水中, ,当稍当稍向下压后突 然放开向下压后突 然放开, ,浮筒 在水中上 下振动的浮筒 在水中上 下振动的s2周期为周期为, ,求浮筒的质量求浮筒的质量 . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ； 4