半导体物理-2

1、半导体中电子的运动半导体中电子的运动 有效质量有效质量1.3.1 半导体中半导体中E(k)与与k的关系的关系1.3.2 半导体中电子的平均速度半导体中电子的平均速度1.3.3 半导体中电子的加速度半导体中电子的加速度1.3.4 有效质量的意义有效质量的意义1.3 半导体中电子的运动半导体中电子的运动 有效质量有效质量半导体物理 Semiconductor Physics半导体中E(k)与k的关系 尽尽管根据单电子近似和布洛赫定管根据单电子近似和布洛赫定理给出了理给出了E(k)与与k的关系，但它只的关系，但它只是定性的关系，要想求出定量的是定性的关系，要想求出定量的关系，还是十分繁难的。关系，还

2、是十分繁难的。半导体物理 Semiconductor Physics 对于半导体能带来说，极值附对于半导体能带来说，极值附近的近的E(k)与与k的关系比较重要，可的关系比较重要，可以用泰勒级数展开近似求出。以用泰勒级数展开近似求出。半导体物理 Semiconductor Physicsu以一维情况为例：以一维情况为例： 能带底附近能带底附近 设能带底位于设能带底位于k=0，能带底部附近的，能带底部附近的k值必然很小。将值必然很小。将E(k)在在k=0附近按泰勒级附近按泰勒级数展开，取至数展开，取至k2项，得到项，得到220021( )(0)()().2kkdEd EE kEkkdkdk半导体物

3、理 Semiconductor PhysicsE(0)为为k=0状态的能量。状态的能量。220021( )(0)()().2kkdEd EE kEkkdkdk半导体物理 Semiconductor Physics在在E(k)的极值处的极值处E(k)对对k的一次微商等于零，的一次微商等于零，因此因此22021( )(0)()2kd EE kEkdk则有则有22( )(0)2nh kE kEmnm 称为称为能带底能带底电子的有效质量电子的有效质量。由于在。由于在E的的极小值处极小值处22d Edk 为正值（或为正值（或E(k) E(0)），因），因此此相应的有效质量均为正值相应的有效质量均为正值2

4、02211()knd Ehdkm令令半导体物理 Semiconductor Physics 同样，设能带顶也位于同样，设能带顶也位于k=0处，则在能带处，则在能带顶部附近也可以得到顶部附近也可以得到22021( )(0)()2kd EE kEkdk能带顶附近能带顶附近 半导体物理 Semiconductor Physics 令令则能带顶部附近则能带顶部附近E(k)为为nm称为能带顶称为能带顶电子的有效质量电子的有效质量。它是负值。它是负值。nkmdkEd*02221)(1nmkEkE*2)0()(22半导体物理 Semiconductor Physics引入有效质量概念后，如果能定引入有效质量

5、概念后，如果能定出其大小，则能带极值附近出其大小，则能带极值附近E(k)与与k的关系便确定了。的关系便确定了。半导体物理 Semiconductor Physics半导体中电子的平均速度 电子的运动可以看作波包的运动，波包的群电子的运动可以看作波包的运动，波包的群速度就是电子运动的平均速度。设波包由许多速度就是电子运动的平均速度。设波包由许多频率频率相差不多的波组成，则波包中心的运动速相差不多的波组成，则波包中心的运动速度（即群速度）为度（即群速度）为半导体物理 Semiconductor Physics)(VdkdV包中心的运动速度相差不多的波组成，波波包由许多角频率为能带形成的定量化关系能

6、带形成的定量化关系 电子具有波粒二象性 hvEkpmpEVmp020202202mkEmkV*222)0()1nnmkVmkEkEdkdEVVdkddkdEEdkdV所以：（因为：半导体物理 Semiconductor Physics半导体中电子的平均速度半导体中电子的平均速度能带极值附近电子的速度为考虑到考虑到*nhkm与自由电子速度公式与自由电子速度公式类似类似能带底电子有效质量能带底电子有效质量为正，能带底附近，为正，能带底附近，k为正值时，电子平均为正值时，电子平均速度也为正值速度也为正值能带顶电子有效质量能带顶电子有效质量为负，能带顶附近，为负，能带顶附近，k为正值时，电子平均为正值

7、时，电子平均速度为负速度为负nmkEkE*2)0()(22半导体物理 Semiconductor Physics半导体中电子的加速度 半导体都在一定外加电压下工作，半导半导体都在一定外加电压下工作，半导体内部就产生电场，这时电子除受到周期体内部就产生电场，这时电子除受到周期性势场作用外，还要受到外加电场的作用。性势场作用外，还要受到外加电场的作用。 半导体物理 Semiconductor Physics 当有强度为当有强度为|E|的外电场时，电子受的外电场时，电子受到到f = -q |E|的力，的力，dt时间内，电子位移了时间内，电子位移了距离距离ds，外力对电子作的功等于能量的，外力对电子作

8、的功等于能量的变化，即变化，即 dE = fds = fdt 半导体物理 Semiconductor Physics 电子速度公式电子速度公式 带入，有带入，有 半导体物理 Semiconductor PhysicsdkdEV1dtdkdEfdE 因此 上式表明，在外力上式表明，在外力f作用下，电子波矢作用下，电子波矢k不断改变，其变化率与外力成正比。不断改变，其变化率与外力成正比。半导体物理 Semiconductor Physicsdtdkf 因为电子的速度与因为电子的速度与k有关，有关，k不断变化，则电子速度不断变化，则电子速度必然不断变化，其加速度为必然不断变化，其加速度为*22*22

9、221111)(1nnmfadkEdmdkdEVdkEdfdtdkdkEddkdEdtddtdVa所以：因为：dtdkf 考虑到电子有效质量的定义考虑到电子有效质量的定义 则则 半导体中电子所受的外力与加速度的关半导体中电子所受的外力与加速度的关系与牛顿第二运动定律类似，即以有效质系与牛顿第二运动定律类似，即以有效质量代换电子惯性质量。量代换电子惯性质量。半导体物理 Semiconductor Physics*nfamnmdkEd*2221)(1半导体物理 Semiconductor Physics有效质量的意义u 当电子在外力作用下运动时，它一方面当电子在外力作用下运动时，它一方面受到外电场

10、力受到外电场力f的作用，同时还和半导体的作用，同时还和半导体内部原子、电子相互作用着，电子的加内部原子、电子相互作用着，电子的加速度应该是半导体内部势场和外电场作速度应该是半导体内部势场和外电场作用的综合效果。用的综合效果。半导体物理 Semiconductor Physicsu但是，要找出内部势场的具体形式并且但是，要找出内部势场的具体形式并且求得加速度比较困难，引进有效质量可求得加速度比较困难，引进有效质量可以使问题简化：直接把外力以使问题简化：直接把外力f和电子加速和电子加速度联系起来，而内部势场的作用则由有度联系起来，而内部势场的作用则由有效质量加以概括。效质量加以概括。半导体物理 S

11、emiconductor Physics 引进有效质量的意义在于它概括了半导体内引进有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及到半外力作用下的运动规律时，可以不涉及到半导体内部势场的作用。特别是有效质量可以导体内部势场的作用。特别是有效质量可以由实验测定（由实验测定（如如回旋共振实验），因而可以回旋共振实验），因而可以很方便解决电子运动规律。很方便解决电子运动规律。半导体物理 Semiconductor Physics在能带底部，电子有效质在能带底部，电子有效质量是正值，在能带顶部为量是正值，

12、在能带顶部为负值，这是因为有效质量负值，这是因为有效质量概括了半导体内部的势场概括了半导体内部的势场作用作用有效质量与能量函数对有效质量与能量函数对k的的二次微商成反比，能带越二次微商成反比，能带越窄，二次微商越小，有效窄，二次微商越小，有效质量越大。质量越大。内层电子能带窄，有效质内层电子能带窄，有效质量大，外层电子能带宽，量大，外层电子能带宽，有效质量小，在外力作用有效质量小，在外力作用下可获得较大加速度。下可获得较大加速度。半导体物理 Semiconductor Physicshk=m*v并不代表半导体中电子的动量并不代表半导体中电子的动量。但是在外力作用下变化规律与自由电但是在外力作用

13、下变化规律与自由电子动量变化规律相似，所以有时称为子动量变化规律相似，所以有时称为半导体中电子的半导体中电子的准动量准动量半导体物理 Semiconductor Physics半导体物理 Semiconductor Physics本征半导体的导电机构 空穴u 当价带顶部附近一些电子被激发到导带后，当价带顶部附近一些电子被激发到导带后，价带中就留下了一些空状态，相当于共价价带中就留下了一些空状态，相当于共价键上缺少一个电子而出现一个空穴，而在键上缺少一个电子而出现一个空穴，而在晶格间隙出现一个导电电子。晶格间隙出现一个导电电子。半导体物理 Semiconductor Physics半导体物理 S

14、emiconductor Physicsu引进空穴有效质量引进空穴有效质量mp*，且令且令mp* = - mn*，则空穴运动加速度为则空穴运动加速度为*( )pq Edkadtm半导体物理 Semiconductor Physicsu当价带中缺少一些电子而空出一些当价带中缺少一些电子而空出一些k状态后，状态后，可以认为这些可以认为这些k状态为空穴所占据。空穴可状态为空穴所占据。空穴可以看成是一个具有正电荷以看成是一个具有正电荷q和正有效质量和正有效质量mp*的粒子。在的粒子。在k状态的空穴速度就等于该状态的空穴速度就等于该状态的电子速度状态的电子速度(k)。引进空穴概念后，就。引进空穴概念后，

15、就可以把价带中大量电子对电流的贡献用少可以把价带中大量电子对电流的贡献用少量的空穴表达出来，实践证明，这样做不量的空穴表达出来，实践证明，这样做不进是方便的，而且具有实际意义。进是方便的，而且具有实际意义。半导体物理 Semiconductor Physics等能面u 对于极值在对于极值在k=0处的一维能处的一维能带，在导带底附近带，在导带底附近 价带顶附近价带顶附近 两式中两式中E(0)分别为导带底能分别为导带底能量和价带顶能量。量和价带顶能量。22( )(0)2nh kE kEm22( )(0)2ph kE kEm u对于三维晶体，以对于三维晶体，以kx,ky,kz为坐标轴构成为坐标轴构成

16、k空间，空间，k空间任一矢量代表波矢空间任一矢量代表波矢k， 设导带底位于设导带底位于k=0，其能量值为，其能量值为E(0),导导带底附近带底附近2222xyzkkkk2222( )(0)()2xyznhE kEkkkmu 当当E(k)为某一定值时，对应于许多组不为某一定值时，对应于许多组不同的（同的（kx，ky，kz），将其连接起来构成），将其连接起来构成一个封闭面，在这个面上的能量值相等，一个封闭面，在这个面上的能量值相等，这个面称为这个面称为等能量面等能量面，简称，简称等能面等能面。 半导体物理 Semiconductor Physics各个方向的有效质量相同u 容易看出，上页式中表示的

17、等能面是一系列半径为 的球面。该等能面在kykz平面上的截面图是一系列环绕坐标原点的圆。*2(2/)( )(0)nmhE kE半导体物理 Semiconductor Physicsu 但是晶体有各向异性的性质，但是晶体有各向异性的性质，E(k)与与k的关系沿不同方向不一定相同，反映处沿不的关系沿不同方向不一定相同，反映处沿不同同k方向，电子的有效质量不一定相同。而方向，电子的有效质量不一定相同。而且，能带极值也不一定位于且，能带极值也不一定位于k=0处。处。半导体物理 Semiconductor Physicsu设导带底位于设导带底位于k0，能量为，能量为E(k0),选择适当选择适当的坐标轴的

18、坐标轴kx，ky，kz，并令，并令 ， ， 分别分别表示沿表示沿kx，ky，kz三个方向的导带底电子的三个方向的导带底电子的有效质量。用泰勒级数在极值有效质量。用泰勒级数在极值k0附近展开，附近展开，略去高次项，略去高次项，*xm*ym*zm22220000*()()()( )()2yyxxzzxyzkkkkkkhE kE kmmm半导体物理 Semiconductor Physics22220000*()()()( )()2yyxxzzxyzkkkkkkhE kE kmmm02*2211()kxxEmhk式中式中02*2211()kyyEmhk02*2211()kzzEmhk这是一个椭球方程

19、，等能面是一系列环绕这是一个椭球方程，等能面是一系列环绕k0的的椭球面。椭球面。半导体物理 Semiconductor Physics要具体了解这些球面或椭球面方程，最终得出能要具体了解这些球面或椭球面方程，最终得出能带结构，还必须知道有效质量的值，回旋共振是带结构，还必须知道有效质量的值，回旋共振是测量有效质量的方法之一。测量有效质量的方法之一。半导体物理 Semiconductor Physics回旋共振回旋共振回旋共振0*qBm220*122zkEnm 晶体中电子在磁场中的运动晶体中电子在磁场中的运动 采用有效质量近似后电子做螺旋运动采用有效质量近似后电子做螺旋运动 回转频率回转频率 能

20、量本征值能量本征值 朗道能级朗道能级01/03 在垂直于磁场的方向施加一个交变电场在垂直于磁场的方向施加一个交变电场 电子发生共振吸收电子发生共振吸收 回旋共振回旋共振0*qBm电子将吸收交变电场的能量电子将吸收交变电场的能量当当 电子吸收电场的能量电子吸收电场的能量 实现了从一个朗道能级跃迁到更高能量的朗道能级实现了从一个朗道能级跃迁到更高能量的朗道能级 通过测量回旋共振频率通过测量回旋共振频率 可确定电子的有效质量可确定电子的有效质量 半导体材料中能带底和能带顶附近半导体材料中能带底和能带顶附近 电子的有效质量不同电子的有效质量不同 有不同回旋共振频率有不同回旋共振频率03/有效质量的测量

21、有效质量的测量fqB 大小：大小：方向：方向：( ,)BqB电子的运动轨迹为一螺旋线电子的运动轨迹为一螺旋线B方向：以方向：以 做匀速运动做匀速运动v垂直垂直 方向：匀速圆周运动方向：匀速圆周运动B*2nncfm am rcqBqBr*cnq Bmcl回旋共振实验：l将一半导体样品置于均匀恒定的磁场将一半导体样品置于均匀恒定的磁场B中，半导体中电子的初速度为中，半导体中电子的初速度为v，则电子受到的磁场力则电子受到的磁场力f为为l再以电磁波通过半导体样品，当交变电磁场频率再以电磁波通过半导体样品，当交变电磁场频率 时，就发生共振时，就发生共振吸收，在实验上测出发生共振吸收时的频率吸收，在实验上

22、测出发生共振吸收时的频率 和磁感应强度和磁感应强度B，就可以由，就可以由上式得到有效质量上式得到有效质量半导体物理 Semiconductor Physicsc = qB/mn* 以电磁波通过半导体样品，当交变电磁场以电磁波通过半导体样品，当交变电磁场频率频率等于回旋频率等于回旋频率c 时，就可以发生共时，就可以发生共振吸收。测出共振吸收时电磁波的频率振吸收。测出共振吸收时电磁波的频率和磁感应强度和磁感应强度B，便可以得到有效质量，便可以得到有效质量l回旋共振实验：*cnqBm取试探解取试探解各向同性各向同性*iiifm a, ,ix y zv 对实际材料，有效质量是各向异性的，设沿对实际材料

23、，有效质量是各向异性的，设沿kx,ky,kz方向方向的有效质量分别为的有效质量分别为mx,my,mz，设设B沿轴沿轴kx,ky,kz的方向余的方向余弦分别为弦分别为 ，则电子受的力为，则电子受的力为fqvB , 有解的前提是系数的行列式为零有解的前提是系数的行列式为零此处的此处的 已经不再是电子的有效质量，它仅仅是一种记号已经不再是电子的有效质量，它仅仅是一种记号*l对各向同性，改变磁场方向时只能观察到一个吸收峰v 但实际材料的实验结果指出，当磁场相对于晶轴有不同取但实际材料的实验结果指出，当磁场相对于晶轴有不同取向时，可以得到为数不等的吸收峰，如，对向时，可以得到为数不等的吸收峰，如，对Si

24、而言，而言， 若若B沿沿111方向，只能观察到一个吸收峰方向，只能观察到一个吸收峰 若若B沿沿110方向，可以观察到两个吸收峰方向，可以观察到两个吸收峰 若若B沿沿100方向，可以观察到两个吸收峰方向，可以观察到两个吸收峰 若若B沿其它任意方向，可以观察到三个吸收峰沿其它任意方向，可以观察到三个吸收峰显然，各向同性的假设对实际材料而言，是不成立的。显然，各向同性的假设对实际材料而言，是不成立的。半导体物理 Semiconductor Physicsc = qB/mn* 如果等能面不是球面，而是椭球面，则如果等能面不是球面，而是椭球面，则*2*2*2*1zyxzyxnmmmmmmm半导体物理 S

25、emiconductor Physicsu 例如对于立方晶例如对于立方晶体，若在体，若在k空间空间100方向某点有方向某点有一能量极值，则一能量极值，则沿六个等价沿六个等价方向的等价点上方向的等价点上都存在类似的极都存在类似的极值。值。u 若其中的100极值位于（kx0，0，0），则该点附近的E-k关系可表示为22220()( )2yzxxcltkkkkE kEmm 式中ml为沿100方向有效质量纵有效质量。mt则表示垂直于100方向的有效质量横有效质量。由于晶体的立方对称性，在该极值处沿y和z方向的有效质量应相等。半导体物理 Semiconductor Physicsu Si的导带就属于这种

26、情况的导带就属于这种情况。u 由等能面的形状，我们还可以形象地了解有效质量的各向异性情况。对于长旋转椭对于长旋转椭球，纵向有效质量大于横向有效质量。对球，纵向有效质量大于横向有效质量。对于扁旋转椭球，则反之于扁旋转椭球，则反之。v 为了解释实验结果，做如下假设为了解释实验结果，做如下假设: Si导带底附近等能面是沿导带底附近等能面是沿100方向的方向的旋转旋转椭球面，椭球长轴与该椭球面，椭球长轴与该方向重合方向重合 由由Si晶体立方结构的对称性，也比有同样的能量在其它晶体立方结构的对称性，也比有同样的能量在其它5个立方边个立方边的方向上，即等能面共有的方向上，即等能面共有6个旋转椭球面。个旋转

27、椭球面。*,xytzlmmmmm取轴取轴(kx,ky,kz)，使使B在在(kx,kz)的平面内，且与的平面内，且与kz的夹角为的夹角为有几个不同的有几个不同的 ，则就有几个共振峰，则就有几个共振峰2cos旋转旋转椭球：椭球：*222()Kz沿沿6个立方边方向个立方边方向 若若B沿沿100方向：方向：22cos0,cos1or对应对应2个共振峰个共振峰 若若B沿沿110方向：方向：22cos0,cos1/ 2or对应对应2个共振峰个共振峰 若若B沿沿111方向：方向：2cos1/3对应对应1个共振峰个共振峰 若若B沿除此之外的任意方向，则沿除此之外的任意方向，则B与与kz之间的夹角可以给出之间的

28、夹角可以给出3种不同的种不同的2cos对应对应3个共振峰个共振峰 Ex.1: 如果n型半导体导带的极值在110轴及相应的对称方向上，回旋共振实验的结果如何？ Ex.2: n型型Ge导带极值在导带极值在111轴上及相应的对称方向上，轴上及相应的对称方向上，回旋共振的实验结果如何？回旋共振的实验结果如何？ Ex.1: 如果n型半导体导带的极值在110轴及相应的对称方向上，回旋共振实验的结果如何？k3沿面对角线方向沿面对角线方向(1) B沿沿100：2cos0,1/ 2两个共振峰两个共振峰(2) B沿沿110：2cos1,0,1/ 4三个共振峰三个共振峰(3) B沿沿111：2cos0, 2 /3两

29、个共振峰两个共振峰(4) B沿除此之外的其它方向，沿除此之外的其它方向，则B与与6个面对角线个面对角线的夹角均不相同，故有的夹角均不相同，故有6个个 ，即有，即有6个吸收峰个吸收峰 Ex.2: n型Ge导带极值在111轴上及相应的对称方向上，回旋共振的实验结果如何？k3沿体对角线方向沿体对角线方向(1) B沿沿100：2cos1/3一个共振峰一个共振峰(2) B沿沿110：2cos0, 2 /3两个共振峰两个共振峰(3) B沿沿111：2cos1,1/9两个共振峰两个共振峰(4) B沿除此之外的其它方向，沿除此之外的其它方向，则B与与4个体对角线个体对角线的夹角均不相同，故有的夹角均不相同，故

30、有4个个 ，即有，即有4个吸收峰个吸收峰2cos半导体物理 Semiconductor Physicsu为能观察到明显的共振吸收峰，要求样品纯度较高，而且实验一般需在低温下进行u交变磁场的频率在微波甚至在红外光的范围u实验中经常固定交变磁场的频率，改变磁感应强度以观测吸收现象。u磁感应强度约为零点几T2.3 Si、Ge和和GaAs的能带结构的能带结构一、一、 Si、Ge和和GaAs的导带结构的导带结构 回旋共振实验表明：回旋共振实验表明：lSi的导带底附近等能面是由长轴沿方向的6个旋转椭球等能面构成，旋转椭球的中心位于方向上简约布里渊区中心至边界的0.85倍处。lGe的导带底附近的等能面由长轴沿方向的8个旋转椭球