参数估计内部培训

1、什么是参数估计 当在研究中从样本获得一组数据后，如何通过这组数据信息，对总体特征进行估计，也就是如何从局部结果推论总体的情况，称为总体参数估计。l 参数估计可分为点估计和区间估计两种。参参数数估估计计点估计点估计区间估计区间估计用某一数值作为参数的近似值用某一数值作为参数的近似值在要求的精度范围内指出参数所在的在要求的精度范围内指出参数所在的区间区间统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比例、方差总体均值、比例、方差等点估计一、点估计的定义点估计是指在进行参数估计时，直接用一个特定点值作为总体参数的估计值。点估计几种方法：l用样本矩来代替总体矩,从而得到总体分布中参数的一种估计：矩法估

2、计.并不需要事先知道总体是什么分布。l最大似然法：它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 ，基本思想 ：一次试验就出现的事件有较大的概率。寻找使概率极大化的参数就是很自然的想法了,极大似然法就是基于这样的想法.点估计二、良好估计量的标准无偏性：即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差的平均数为0。有效性：当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异小者有效性高，变异大者有效性低，即方差越小越好。一致性：当样本容量无限增大时，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数，估计值越来越精确，逐渐趋近于真值。充分性：指一个容量为n的样本统计量，是否充分地反映了全部n个数据所反映总体

3、的信息。区间估计与标准误三、区间估计与标准误区间估计的定义根据样本统计量，利用抽样分布的原理，在一定的可靠程度上，估计出总体参数所在的范围，即以数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。例子：若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为置信区间与显著性水平置信区间：也称置信间距，指在一定可靠程度上，总体参数所在的区域距离或区域长度。置信界限（临界值）：置信区间的上下两端点值。显著性水平：指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号 表示。有时也称为意义阶段、信任系数等。置信度（置信水平）： 。-1P(800X1000)=80%点估计、区间估计与标准误区间估计的原理与标准误区间估计是根据样

4、本分布理论，用样本分布的标准误计算区间长度，解释总体参数落入某置信区间可能的概率。区间估计存在成功估计的概率大小及估计范围大小两个问题。妥协办法：在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度。规定正确估计的概率即置信度为0.95和0.99，则显著性水平为0.05和0.01。小概率事件在一次抽样中不可能出现。区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及样本分布的标准误。样本分布可提供概率解释，而标准误的大小决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准误变小。举例。之间正确的概率为在或者说之间，数被包含在任何一个平均的机会有，也就是说体参数

5、这一间距之内将包含总的平均数那么所有平均数中有之间，落在的推理：所有平均数中有。的之间包含所有或者说之间，落在的有根据正态分布：。或标准误，写作称均数分布的标准差（简平均数的离散程度即平，样本平均数的平均数渐近正态分布，此时，分布或本平均数的分布为正态当总体方差已知时，样95%96.196.195%96.195%96.195%95%96.196.195%)XXXXXXXXXXSEXuSEXuuSEXSEuXXSEuSEuXnSESEuu区间估计的图示 x95% 的样本的样本 -1.96 x +1.96 x99% 的样本的样本 - 2.58 x + 2.58x68%的样本的样本 -1 x +1

6、x置信区间与置信水平 .,1.,计不准的概率表示参数估估计的可靠概率是参数参数估计的把握性给出了置信度也是随机的置信区间由于样本的随机性说明：1、区间估计没有给出参数的估计值2、置信区间越长，置信度越大，包含参数的概率越大，但误差越大；置信区间越短，误差可能会越小，但包含参数的概率也越小，置信度越低3、因此，在保证一定置信度条件下，建立尽可能小的置信区间。0/2z/2/2z/2总体平均数的估计一、总体平均数估计的计算步骤：利用抽样的方法抽取样本，计算出样本的平均值 和标准差S：计算样本平均数的标准误 ：当总体方差已知时，样本平均数的标准误的计算为：当总体方差未知时，样本平均数的标准误的计算为：

7、确定显著性水平和置信水平根据样本平均数的抽样分布确定查何种分布表，确定理论值XXSEnSEX1nSSEnX总体平均数的估计确定置信区间：解释总体平均数的置信区间。XXXXXXXXSEtXSEtXSEtXSEtXtSEZXSEZXSEZXSEZXZ2222222222,:,:,记为置信区间为时当理论值为记为置信区间为时当理论值为举例1：总体方差已知时，对总体平均数的估计当总体分布为正态分布时，（无论样本容量n的大小，从该总体抽取的样本分布均成正态分布。）对总体平均数的估计可以依正态分布进行估计。例1 已知某市6岁正常男童体重的总体方差为6.55公斤，从该市随机抽取15 名6岁男童，其平均体重为2

8、0.4公斤，试求该市6 岁男童平均体重的95%和99%的置信区间。一 解：95%的置信区间的显著性水平=0.05，因此，的95%的置信区间为:即:的99%的置信区间为:即:故该市6岁男童平均体重的95%的置信区间为19.11，21.69；99%的置信区间为18.7，22.1。66. 087. 356. 21555. 6nSEX96. 12Z66. 096. 14 .2066. 096. 14 .2069.2111.1966. 058. 24 .2066. 058. 24 .201 .227 .18举例2：总体方差已知时，对总体平均数的估计当总体为非正态分布时（只有当样本容量n30时,此时样本抽

9、样分布渐近正态分布。这时可依正态分布进行估计，否则不能对总体平均数进行估计。）例2 已知某区15 岁男生立定跳远的方差为 ，现从该区抽取58名15岁男生，测得该组男生立定跳远的平均数为198.4cm，试求该区15岁男生立定跳远平均成绩的95%和99%的置信区间。解：由题意知：由于样本容量（n=58）大于30 ，该样本的抽样分布为渐进正态分布。因此，的95%的置信区间为： 198.41.962.75198.41.962.75即 193.01203.79的99%的置信区间为： 198.42.582.75198.42.582.75即 191.3205.5故有95%的可能落入193.01，203.79

10、内，有99%的可能落入191.3，205.5内。cm8 .43675. 26 . 79 .20588 .436nSEX总体方差未知，对总体平均数的估计1. 假定条件总体服从正态分布, ,且方差( ) 未知2. 使用 t 分布统计量3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为0/2/2t/2(n1)t/2(n1) t 分布l t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布 xt 分布与标准正态分布的比较t 分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t (df = 13)t (df = 5

11、)z举例3：总体方差未知，对总体平均数的估计1、当总体分布为正态分布时（无论样本容量n的大小，从该总体抽取的样本所形成的分布均服从自由度为n-1的t分布，对总体平均数的估计可依t分布进行估计）例3 从某市抽取20 名7 岁女童，经测量，这20 名女童的平均身高为116cm，标准差为5cm，试求该市7岁女童总平均身高的95%和99%的置信区间。解：由题意知，其总体方差未知，但其总体分布为正态分布，则此样本均数的分布服从t分布，可以依t分布对总平均身高进行估计。29.11971.11215. 1861. 211615. 1861. 2116:%9941.11859.11315. 1093. 211

12、615. 1093. 2116:%95861. 2;093. 2:191201;15. 1195119201. 019205. 0即的置信区间为的即的置信区间为的因此，值表可知查tttndfnSSEX举例4：总体方差未知，对总体平均数的估计当总体为非正态分布时（只有当样本容量n30时，此时样本抽样分布服从自由度为n-1的t分布，这时可依t 分布对总体平均数进行估计，否则不能对总体 平均数进行估计。）例4 某校进行一次数学考试，从中抽取40名考生，经计算，这40 名考生的平均成绩为82分，标准差为7 分，试求全体考生平均成绩的95%和99%的置信区间。解:由题意知,其总体方差未知，其总体分布也未

13、知，但n=4030， 因此可以依t分布对全体考生平均成绩进行估计。03.8597.7812. 1704. 28212. 1704. 282:%9926.8474.7912. 1021. 28212. 1021. 282:%95,704. 2;021. 2:391401;12. 1397140201. 040205. 0即的置信区间为的即的置信区间为的因此值表可知查tttndfnSSEX总体标准差与总体方差的估计一、总体标准差的区间估计 估计总体标准差的步骤与估计总体平均数的步骤大致相同。但有两点需要说明：从抽样分布的讨论已知，样本标准差的抽样分布在n30时为渐近正态分布，总体标准差可依正态分布

14、来估计。当n30，可依正态分布估计17.2003.11:77. 158. 26 .1577. 158. 26 .15:%9905.1915.12:77. 196. 16 .1577. 196. 16 .15:%95,77. 194. 88 .158039406 .152121即的置信区间为的即的置信区间为的因此nnnSnSSEnS总体方差的估计l 根据对抽样分布的讨论可知， 分布的特征之一是从正态分布总体中，随机抽取容量为n的样本， 其样本方差与总体方差比值的分布为 分布。即：681158:48)48(1221212222122122222222122222nnnnSnSnnSnSSnnSXX

15、或间确定总体方差的置信区值与样本方差来，我们可利用理论由公式22总体方差的区间估计（不受样本容量限制） 2 21- /2 /2 2 /2 /2总体方差1- 的置信区间自由度为n-1的2举例6：总体方差的估计例6 在某市进行的一次智力测验中，随机抽取20名12岁学生，经计算其智力测验的方差为72.25，试求该市12岁学生智力测验分数总体方差的95%和99%的置信区间。解：由于智力测验分数一般认为服从正态分布， 由该总体中抽出的样本在估计总体方差时符合 分布。226.21144.37:,84. 625.72206 .3825.7220:%9918.16292.43:,91. 825.72209 .

16、3225.7220:%9584. 6, 6 .38;91. 8, 9 .32:,1912012222222995.2201.12201.2975.2205.12205.2即的置信区间为的即的置信区间为的则值表得查时ndf举例7：总体方差的估计例7 根据例6的资料， 用估计总体方差的办法来估计该区英语统考成绩的总标准差的95%和99%的置信区间。解：已知n=40，S=15.6，df=n-1=39，查 值表得：269.2107.12:;26.47073.145:%9997.1981.12:;95.39816.164:%9526.470.73.145:,7 .2036.243408 .6636.24340:%9995.39816.164:,4 .2436.243403 .5936.24340:%957 .20, 8 .66; 4 .24, 3 .59),40(2222222201.12201.2205.1220