高数第十二章无穷级数(5).

1、总界面总界面 结束结束 济南大学数学科学学院济南大学数学科学学院 第十二章第十二章 无穷级数无穷级数 第十二章第十二章 无穷级数无穷级数第七节第七节 傅里叶级数傅里叶级数第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21.1.三角级数三角级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa三角级数三角级数一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 32.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上的积分等于

2、零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交正交 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系三角函数系第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数问题问题: :1.若能展开若能展开, 是什么是什么?iiba ,2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数

3、10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxaknk第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7 nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb

4、求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxaknk, nb第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann傅里叶系数傅里叶系数第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件条件第十

5、二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 102.2.狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12注意注意: : 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多.解解例例 1 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数，它在的周期函数，它在), 上的表达式为上的表达式为 xxxf0, 10, 1)( 将

6、将)(xf展开成傅立叶级数展开成傅立叶级数. 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.), 2, 1, 0(处不连续处不连续在点在点 kkx第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13.)(的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛xf211 2)1(1 , 0 ox 1 1时级数收敛于时级数收敛于当当), 2, 1, 0( kkx ).(xfkx时级数收敛于时级数收敛于当当 和函数图象为和函数图象为ox1 1第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14 nxdxxfancos)(1), 2 , 1 , 0(0 n nxd

7、xxfbnsin)(1 0sin12nxdx第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15)cos1(2 nn )1(12nn , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4nnn xkkxxxf1)sin(2121sin331sin4)( ),2, 0;( xx所求函数的傅里叶级数展开式为所求函数的傅里叶级数展开式为第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16例例 2 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数， 它在的周期函数， 它在), 上的表达式为上的表达式为 xxxxf0, 00,)( 将将)(xf展开成傅立叶级数

8、展开成傅立叶级数. 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx xy0 2 2 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17.)(的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛xf2)()( ff20 时级数收敛于时级数收敛于当当), 2, 1, 0()12( kkx ).()12(xfkx时级数收敛于时级数收敛于当当 和函数图象为和函数图象为,2 xy0 2 2 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18 nxdxxfancos)(1 0cos1 nxdxx)

9、cos1(12 nn dxxfa)(10 01 xdx,2 , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,22nnn 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19 nxdxxfbnsin)(1 0sin1 nxdxx所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为nn cos nn 1)1( xxxxxxxfsin441sin331cos332sin221sincos24)(2 ),3,;( xx第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20注意注意: : 对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在只在区间区间 上有定义

10、上有定义,并且满足狄氏充并且满足狄氏充分条件分条件,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.)(xf, 作法作法: :),()()()2( xfxFT周周期期延延拓拓)0()0(21 ff端点处收敛于端点处收敛于第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21例例 3 将函数将函数 xxxxxf0,0,)( 展开成傅立展开成傅立叶级数叶级数. 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .)(xf, xy0 2 2 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回

11、返回 结束结束 22 nxdxxfancos)(1 00cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxf)1(cos22 nxn 1)1(22 nn dxxfa)(10 00)(1)(1dxxfdxxf, 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23 , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn nxdxxfbnsin)(1, 0 xxxxf5cos513cos31cos42)(22 )( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 24利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展

12、开式求级数的和, 0)0(,0 fx时时当当 222513118,4131211222 设设),8(513112221 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25,6141212222 ,41312112223 ,44212 ,243212 21 ,62 132.122 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项

13、或者只含有常数项和余弦项.三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28例例 4 4 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数,它在它在), 上的表达式为上的表达式为xxf )(,将将)(xf展开成展开成傅里叶级数傅里叶级数. 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.,), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx2)()( ff收敛于收敛于2)( , 0 ),()12(xfkxx处收敛于处收敛于

14、在连续点在连续点 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象), 2 , 1 , 0(, 0 nan第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 30 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)sin)1(3sin312sin21(sin2)(1 nxnxxxxfn),3,;( xx第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下

15、页 返回返回 结束结束 31例例 5 5 将周期函数将周期函数2sin)(tEtu 展开成傅里叶级展开成傅里叶级数数, ,其中其中E是正常数是正常数. . 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个在整个数轴上连续数轴上连续.,)( 为偶函数为偶函数tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 02sin2dttE,4 E), 2 , 1( n第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 32 0cos)(2ntdttuan 0cos2sin2ntdttE 0)21sin()21sin(dttntnE 211211nnE )

16、, 2 , 1 , 0( n )14(42 nE第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 33 12cos141214)(nntnEtu )( t第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 34非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2, 0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 35奇延拓奇延拓:

17、)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 36偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 第十二章第十二章 总界面总界面 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 37例例 6 6 将函数将函数)0(1)( xxxf分别展开成分别展开成正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数. . 解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当第十二章第十二章 总界面总界