高等数学-第七版-课件-12-1 常数项级数的概念和性质.

1、第一讲 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念1. 无穷级数的概念2. 无穷级数的收敛与发散一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念1. 无穷级数的概念2. 无穷级数的收敛与发散(1) 圆的面积圆的面积.0a1a2ana引例引例A (2) 分数的表示法分数的表示法10.330.30.030.003无穷级数的概念无穷级数的概念给定一个数列给定一个数列,321n

2、uuuu由这数列构成的表达式由这数列构成的表达式级数级数,记为记为1,iiu nuuuu321叫做叫做(常数项常数项)无穷级数无穷级数,简称简称(常数项常数项)其中第其中第 n 项项nu叫做级数的一般项叫做级数的一般项.即即1iiu nuuuu321一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念1. 无穷级数的概念2. 无穷级数的收敛与发散一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念1. 无穷级数的概念2. 无穷级数的收敛与发散1nniisu 级数的部分和级数的部分和123nuuuu定义定义 ns级数的部分和数列级数的部分和数列l注注 ns如果如果 没有极限没有极限 ,那么称无穷级数那么称无穷级数 发散

3、发散.1iiu 当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值 为级数的为级数的余项余项.显然显然. 0lim nnr12nnnnrssuu1iiu 如果级数如果级数 的部分和数列的部分和数列 有极限有极限 即即并写成并写成那么称那么称无穷级数无穷级数 收敛收敛, 这时极限这时极限 叫做这级数的和叫做这级数的和, slimnnss 1iiu s12;isuuuns11us 即即:1iiu ns 与与 同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散. 且在收敛时且在收敛时,有有 1iiu 级数与数列极限的联系级数与数列极限的联系1nniisu 级数级数数列数列1(2)nnnussn 01liminnius 01

4、1limniiniiuu 20(0 )nniaqaaqaqaqa (q 称为公比称为公比)的敛散性的敛散性. u例例1讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数又称几何级数) u例例21111(1)ln; (2). (1)nnnnn n 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 l注注等比级数的敛散性等比级数的敛散性 1q 收敛收敛 1q 发散发散 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件性质性质1说明说明: 级数各项乘以非

5、零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .性质性质1 1l注注性质性质2性质性质2说明说明: 两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.l注注 如果级数如果级数 收敛于和收敛于和 那么级数那么级数 也收敛也收敛,且其和为且其和为1nnu , s1nnku .ks 如果级数如果级数 与级数与级数 分别收敛于和分别收敛于和 与与 那么级数那么级数1nnu s1nnv , 1nnnuv 也收敛也收敛,且其和为且其和为.s 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则 必发散必发散, 1nnnuv 但若二级数都发散但若二级数都发散 , 不一

6、定发散不一定发散. 1nnnuv 在级数中去掉、加上或改变有限项在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性不会改变级数的收敛性.性质性质3性质性质4l注注加括弧后的级数收敛加括弧后的级数收敛,不能断定去括弧后的级数收敛不能断定去括弧后的级数收敛.若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散. 1121111kknnnnnuuuuuu 如果级数如果级数 收敛收敛,那么对这级数的项任意加括号后所成的那么对这级数的项任意加括号后所成的1nnu 级数级数仍收敛仍收敛,且其和不变且其和不变.常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件设收敛级数设收敛级数,1nnuS则必有则必有.0limnnu定理定理l注注lim0.nnu则则1nnu必发散必发散.0limnnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.1nnu收敛收敛0limnnulim0.nnu1nnu发散发散内内 容容 小小 结结基本概念基本概念级数级数前前n项部分和项部分和 前前n项部分和数列项部分和数列收敛收敛发散发散余项余项基本结论基本结论等比级数的敛散性等比级数的敛散性0nnq