第五章压杆稳定

1、5.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 5.2 压杆的临界力与临界应力压杆的临界力与临界应力 5.3 压杆的稳定计算压杆的稳定计算5.4 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 小结小结 钢板尺长为300mm，宽为20mm，厚为1mm。（1）压力）压力F不大时不大时 给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，在干扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到原来的直线形状的平衡状态。 压杆原有直线形状的平衡状态称为稳定的平衡状态稳定的平衡状态。（2）压力）压力F增至某一极限值增至某一极限值Fcr时时 给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，则在干扰撤去后，杆不再恢复到原来直线形状的平衡状态，而是

2、仍处于微弯形状的平衡状态。 临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态不稳定的平衡状态，因为此时杆一经干扰后就不能维持原有直线形状的平衡状态了。 压杆从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态,这种现象称为丧失稳定性，简称失稳失稳。 受干扰前杆的直线形状的平衡状态称为临界平衡临界平衡状态状态，压力Fcr称为压杆的临界力压杆的临界力。AFcrcr式中：A压杆的横截面面积。 由于杆件失稳是在远低于强度许用承载能力的情况下骤然发生的，所以往往造成严重的事故。 在1907年，加拿大长达548m的魁北克大桥在施工中突然倒塌，就是由于两根受压杆件的失稳引起的。 在设计受压杆件时，除了进行强度计算外，还必须进行稳

3、定计算，以满足其稳定性方面的要求。5.2.1 细长压杆的临界力的欧拉公式细长压杆的临界力的欧拉公式22cr)(lEIF 上式通常称为欧拉公式欧拉公式。相当长度相当长度表表5.1 四种典型细长压杆的临界力四种典型细长压杆的临界力表表5.1 四种典型细长压杆的临界力四种典型细长压杆的临界力(续续)4441244m10049.064m1010064dI 因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在各纵向平面内的弯曲刚度钢压杆在各纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以公式中的相同，所以公式中的应取较大的值，即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面应取较大的

4、值，即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面内。内。 由已知条件，钢压杆在由已知条件，钢压杆在xy平面内的杆端约束为两平面内的杆端约束为两端铰支，端铰支，=1；在；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一端平面内杆端约束为一端铰支、一端固定，固定，=0.7。故失稳将发生在。故失稳将发生在xy平面内，应取平面内，应取=1进行进行计算。计算。临界力为临界力为0kN60N106 . 0N4110049. 010200)(6249222crlEIF4443mm103 .597mm1280140yI故临界力为故临界力为kN5 . 56N10655N3110103 .5971010)(221249222crlEIFy

5、5.2.2 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围将临界应力的表达改写为2222crcr)()(ilElAEIAF故22crE惯性半径惯性半径AIi 柔度或长细比柔度或长细比il越大，越大，临界应力越小，使压杆产生失稳所需的压力越小，压杆临界应力越小，使压杆产生失稳所需的压力越小，压杆的稳定性越差。反之，的稳定性越差。反之，越小，压杆的稳定性越好。越小，压杆的稳定性越好。 在欧拉公式的推导中使用了压杆失稳时挠曲线的近似微分方程，该方程只有当材料处于线弹性范围内时才成立，这就要求在压杆的临界应力cr不大于材料的比例极限的情况下，方能应用欧拉公式。即p22crEp2E或令p2pE p是对应于比例极限

6、的柔度值柔度值。由上可知，只有对柔度p的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。大柔度压杆或细长压杆大柔度压杆或细长压杆 绘出临界应力cr与柔度的关系曲线，称为欧拉欧拉曲线曲线。 图中欧拉曲线上B点以右部分是适用的，B点以左部分是不适用的。木压杆，木压杆，p110。Q235钢材制成的压杆，钢材制成的压杆，p100。5.2.3 抛物线公式抛物线公式的压杆称为中、小柔度压杆中、小柔度压杆 Q235钢：钢： cr=235 0.006682； 2scra这种图线称为压杆的临界应力总图临界应力总图。5.3.1 安全因数法安全因数法sttcrFnFFs或式中：nst稳定安全因数；Fst稳定许用压力；st稳定许用

7、应力。stststnAF5.3.2 折减因数法折减因数法AF强度许用应力。计算用表计算用表表表5.2 Q235钢钢a类截面中心受压直杆的折减因数类截面中心受压直杆的折减因数 续表续表5.2 Q235钢钢a类截面中心受压直杆的折减因数类截面中心受压直杆的折减因数 表表5.3 Q235钢钢b类截面中心受压直杆的折减因数类截面中心受压直杆的折减因数 续表续表5.3 Q235钢钢b类截面中心受压直杆的折减因数类截面中心受压直杆的折减因数 树种强度等级为树种强度等级为TC17、TC15及及TB20：当柔度75时28011当柔度75时23000当柔度91时26511当柔度91时22800稳定校核稳定校核确

8、定许用荷载确定许用荷载【解】【解】 正方形截面的惯性半径为正方形截面的惯性半径为mm75.31mm1211012ai4 .11375.31106 . 313il218. 028002AB杆的工作应力为杆的工作应力为 MPa18. 2MPa066. 2m10110N10252623AF满足稳定条件式。因此满足稳定条件式。因此，AB杆是稳定的。杆是稳定的。A=12.74cm2 ，z0=1.52cmIz=198.3cm4 ，Iy=25.6cm4 1) 求图求图(a)情况中钢柱的许用荷载情况中钢柱的许用荷载。组合截面对组合截面对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为Iz=2198.3cm4=396.6cm4 由型

9、钢规格表查得由型钢规格表查得10号槽钢对其侧边的惯性矩为号槽钢对其侧边的惯性矩为54.9cm4，故组合截面对，故组合截面对y轴的惯性矩为轴的惯性矩为 因为杆端约束为两端固定，所以失稳将发生在弯因为杆端约束为两端固定，所以失稳将发生在弯曲刚度曲刚度EI最小的形心主惯性平面最小的形心主惯性平面xz内。该平面内钢柱内。该平面内钢柱的柔度为的柔度为3 .968 .10974.1221045 . 02yyyIAlil103根据稳定条件式，钢柱的许用荷载为根据稳定条件式，钢柱的许用荷载为Fst=A =212.7410-4 m20.579160106 Pa =236047 N=236.05 kN 2) 求图

10、求图(b)情况中钢柱的的许用荷载情况中钢柱的的许用荷载。组合截面对组合截面对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为 Iz=2198.3cm4=396.6cm4Iy=2Iy1+(z0+ )2A =225.6+(1.52+ )2 12.74 cm4=403.8cm42a24 . 4可见失稳平面为可见失稳平面为xy平面，该平面内钢柱的柔度为平面，该平面内钢柱的柔度为7 .506 .39674.1221045 . 02zzzIAlil由计算用表查得折减因数为由计算用表查得折减因数为=0.856(0.8560.852) =0.853107因此钢柱的许用荷载为因此钢柱的许用荷载为Fst=A =212.7410-4m2

11、0.853160106Pa =347751N=347.8kN 22E 由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避免造成浪费。il（1）加强杆端约束）加强杆端约束压杆的杆端约束越强，值就越小，也就越小。 若将两端铰支的细长压杆的杆端约束增强为两端固定，则由欧拉公式可知其临界力将变为原来的四倍。（2）减小杆的长度）减小杆的长度杆长l越小，则柔度越小。增设中间支撑增设中间支撑（3）选择合理的截面）选择合理的截面 1) 在截面积相同的情况下，采用空心截面或组在截面积相同的情况下，采用空心截面或组合截面比采用实心截面的抗稳能力高，如图合截面比采用实心截面的抗稳能力高，如图(b)

12、比图比图(a)合理。合理。 2) 在抗稳能力相同的情况下，则采用空心截面在抗稳能力相同的情况下，则采用空心截面或组合截面比采用实心截面的用料省。这是由于空或组合截面比采用实心截面的用料省。这是由于空心截面或组合截面的材料分布在离中性轴较远的地心截面或组合截面的材料分布在离中性轴较远的地方，故方，故i较大，较大，较小，临界力较大。较小，临界力较大。 3) 应使压杆在两个纵向对称平面内的柔度大致相应使压杆在两个纵向对称平面内的柔度大致相 等，使其抵抗失稳的能力得以充分发挥。等，使其抵抗失稳的能力得以充分发挥。 当压杆在各纵向平面内的约束相同时，宜采用当压杆在各纵向平面内的约束相同时，宜采用圆形、空

13、心圆形、正方形等截面，这一类截面对任一圆形、空心圆形、正方形等截面，这一类截面对任一形心轴的惯性半径相等，从而使压杆在各纵向平面内形心轴的惯性半径相等，从而使压杆在各纵向平面内的柔度相等。的柔度相等。 当压杆仅在两个纵向对称面内的约束相同时，宜当压杆仅在两个纵向对称面内的约束相同时，宜采用图采用图(c)所示所示iy=iz的一类截面。的一类截面。 当压杆在两个纵向对称面内的约束不同时，宜采当压杆在两个纵向对称面内的约束不同时，宜采用矩形、工字形或图用矩形、工字形或图(d)所示一类截面所示一类截面，并在确定截面尺，并在确定截面尺寸时寸时，尽量使尽量使y=z。(1) 稳定平衡状态稳定平衡状态 杆件在

14、轴向压力作用下，若给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，在干扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到它原来的直线形状的平衡状态，我们把杆件原来处于的直线形状的平衡状态称为稳定平衡状态。 (2) 不稳定平衡状态不稳定平衡状态 杆件在轴向压力作用下,如果在经微小的横向干扰后杆件不能回到它原来的直线形状平衡状态，而是停留在一个新的位置上维持微弯形状下的平衡或者发生弯折破坏，我们把杆件原来的直线形状平衡状态称为不稳定平衡状态。(3) 失稳失稳 (4) 临界平衡状态和临界力、临界应力临界平衡状态和临界力、临界应力AFcrcr(1) 大柔度压杆或细长压杆（大柔度压杆或细长压杆（ p），其临界力、），其临界力、临界应力用欧拉公式计算，分别为临界应力用欧拉公式计算，分别为22cr)(lEIF22crEil （2）中、小柔度压杆或中长、粗短压杆（）中、小柔度压杆或中长、粗短压杆（ p ，其临界应力用抛物线经验公式计算，为其临界应力用抛物线经验公式计算，为2scra (1) 判断压杆的失稳平面判断压杆的失稳平面 (2) 根据柔度值，采用相应公式计算临界力、临界根据柔度值，采用相应公式计算临界力