二次函数与图形运动

1、点动问题点动问题平乐镇一中平乐镇一中 陈晚珍陈晚珍 1 1、如图、如图, ,在在ABCDABCD中中, ,点点P P从从B B出发沿出发沿BCBC移动到点移动到点C C，则点，则点P P在移动过程中，在移动过程中，APDAPD的面积（的面积（ ）A.A.变大变大 B.B.变小变小 C.C.不变不变 D.D.无法确定无法确定C C2 2、如图、如图, ,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,ABC,ABC9090,DCAB,BC,DCAB,BC4,DC4,DC3,AB3,AB8.8.动动点点P P从从B B点出发点出发, ,由由BCDABCDA沿边运动，沿边运动，则则ABPABP的最大面积为

2、（）的最大面积为（） A.10 B.12 C.14A.10 B.12 C.14 D.16D.16D 运动变化题是随着几何图形的某一元素或两元素的运动变化题是随着几何图形的某一元素或两元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的数学运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的数学问题，它揭示了问题，它揭示了“运动运动”与与“静止静止”、“一般一般”与与“特殊特殊”的内在联系。的内在联系。图形运动问题是近几年中考命图形运动问题是近几年中考命题的热点，在中考中具备选拔功能。题的热点，在中考中具备选拔功能。 解这类问题的关键解这类问题的关键是分清几何元素运动的方向和是分清几何元素运动的方向和路径，注

3、意在运动过程中路径，注意在运动过程中哪些是哪些是变量变量，哪些是，哪些是不变量不变量，并且正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立它并且正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立它们之间的们之间的关系关系，有时还要根据几何元素所处的不同位，有时还要根据几何元素所处的不同位置加以置加以分类讨论分类讨论，这类试题还往往要综合运用，这类试题还往往要综合运用勾股定勾股定理理、相似三角形相似三角形、方程方程、函数函数等知识来解决。等知识来解决。 0246024602460246A 1. 如图，在边长为如图，在边长为4cm的正方形的正方形ABCD中，现有一中，现有一动点动点P，从点，从点A出发，以出发，以2

4、cm/秒的速度，沿正方形的秒的速度，沿正方形的边经边经A-B-C-D到达点到达点D。设运动时间为。设运动时间为t秒。设秒。设APD的面积为的面积为S。以下能大致反映。以下能大致反映S与与t的函数图象的（的函数图象的（ ）类型一、单点运动问题类型一、单点运动问题ABCDABCDP0t2ABCDP2t4PABCD4t6S=4tS=8S= 4t+24“化动为静化动为静”法：法：动动静静寻找寻找临界点临界点 分类（确定时间取值范围）分类（确定时间取值范围）用含用含时间的代数式时间的代数式表示相关线段的长度表示相关线段的长度例例2 2、在矩形、在矩形ABCDABCD中，中，AB=8cmAB=8cm，BC

5、=4cmBC=4cm。动点。动点M M从点从点A A出出发沿发沿ABAB方向以每秒方向以每秒1cm1cm的速度运动，同时动点的速度运动，同时动点N N从点从点A A出出发，沿折线发，沿折线ADADDCDCCBCB以每秒以每秒2cm2cm的速度运动，到达点的速度运动，到达点B B时同时停止运动。时同时停止运动。（1 1）设）设AMNAMN的面积为的面积为S S，运动时间，运动时间为为t t，请写出，请写出S S与与t t的函数关系式。的函数关系式。（2 2）在（）在（1 1）的条件下，求）的条件下，求S S的最大的最大面积。面积。（3 3）当点）当点N N在在DCDC边上运动，问边上运动，问t

6、t为为何值时，何值时，AMNAMN是等腰三角形？是等腰三角形？类型二、双点运动问题类型二、双点运动问题例例2 2、在矩形、在矩形ABCDABCD中，中，AB=8cmAB=8cm，BC=4cmBC=4cm。动点。动点M M从点从点A A出出发沿发沿ABAB方向以每秒方向以每秒1cm1cm的速度运动，同时动点的速度运动，同时动点N N从点从点A A出出发，沿折线发，沿折线ADADDCDCCBCB以每秒以每秒2cm2cm的速度运动，到达点的速度运动，到达点B B时同时停止运动。时同时停止运动。（1 1）设）设AMNAMN的面积为的面积为S S，运动时间，运动时间为为t t，请写出，请写出S S与与t

7、 t的函数关系式。的函数关系式。0 t2时时2 t66 t8（1）设）设AMN的面积为的面积为S，运动时间，运动时间为为t，请写出，请写出S与与t的函数关系式。的函数关系式。解：分三种情况：解：分三种情况：当当0 t2时，时，AM= t，AN=2 t222121tttANAMSAMN当当2 t6时，过点时，过点N作作NEAB，AM= t，NE=AD=4ttNEAMSAMN242121当当6 t8时，时，AM= t，BN=16-2 t ttttBNAMSAMN8)216(21212（2）在（）在（1）的条件下，当）的条件下，当t为何值时，为何值时，S最大？最大？最大值是多少？最大值是多少？例例2

8、、在矩形、在矩形ABCD中，中，AB=8cm，BC=4cm。动点。动点M从点从点A出发沿出发沿AB方向以每秒方向以每秒1cm的速度运动，同的速度运动，同时动点时动点N从点从点A出发，沿折线出发，沿折线ADDCCB以每秒以每秒2cm的速度运动，到达点的速度运动，到达点B时同时停止运动。时同时停止运动。（3）当点）当点N在在DC边上运动，问边上运动，问t为何值时，为何值时， AMN是等腰三角形？是等腰三角形？注意分类讨论哟！注意分类讨论哟！ E E（3 3）当点）当点N N在在DCDC边上运动，问边上运动，问t t为何值时，为何值时， AMNAMN是等腰三角形？是等腰三角形？解解：过点：过点N作作

9、NEAB于点于点E。D=90，DN=2 t-432164)42(4222222tttDNADAN3284)42(222222ttttNEMEMN22tAM当当AN=MN时，则有时，则有 解得解得 3283216422tttt38,021tt当当AN=AMAN=AM时，有时，有 ，此方程无解。，此方程无解。223284ttt当当AM=MNAM=MN时，有时，有 ，解得，解得t= 4t= 4。22328ttt当当t= t= 或或4 4秒时，秒时， AMNAMN是等腰三角形。是等腰三角形。38请跟大家分享你的收获.策略是：策略是：“化动为静化动为静”，把动态问题，变为静态，把动态问题，变为静态问题问

10、题, ,抓住变化中的抓住变化中的“不变量不变量”，以不变应万变。，以不变应万变。 1、明确运动路径明确运动路径、运动速度运动速度、起始点起始点、终点。终点。3、找出一个基本关系式，把相关的量用含有找出一个基本关系式，把相关的量用含有运动时间的代数式表示出来运动时间的代数式表示出来。解决图形运动问题解决图形运动问题解题关键是：解题关键是：2 2、寻找图形变化的临界点，分解图形，从而、寻找图形变化的临界点，分解图形，从而确定自变量的取值范围，画出相应的图形。确定自变量的取值范围，画出相应的图形。 在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，A=60A=60，AB=8cmAB=8cm，BC=4c

11、mBC=4cm。动点动点M M从点从点A A出发沿出发沿ABAB方向以每秒方向以每秒1cm1cm的速度运动，同时动的速度运动，同时动点点N N从点从点A A出发，沿折线出发，沿折线ADADDCDCCBCB以每秒以每秒2cm2cm的速度运动，的速度运动，到达点到达点B B时同时停止运动。时同时停止运动。（1 1）设）设AMNAMN的面积为的面积为S S，运动时间为，运动时间为t t，请写出，请写出S S与与t t的函的函数关系式。数关系式。（2 2）在（）在（1 1）的条件下，求）的条件下，求S S的最大面积。的最大面积。1 1、如图，在平面直角坐标系中，四边形、如图，在平面直角坐标系中，四边形

12、OABCOABC是矩形，点是矩形，点B B的坐标的坐标为（为（4 4，3 3）。动点）。动点M M从点从点O O出发，沿出发，沿O OC CB B的路线运动，动点的路线运动，动点N N从从点点O O出发，沿出发，沿O OA AB B的路线运动，点的路线运动，点M M的速度是每秒的速度是每秒3/43/4个单位长个单位长度，点度，点N N的速度是每秒的速度是每秒1 1个单位长度，两点同时出发，运动了个单位长度，两点同时出发，运动了t t秒秒时时（1 1）点）点A A的坐标是的坐标是 , ,点点C C的坐标是的坐标是 。（2 2）当）当t= t= 秒或秒或 秒时，秒时，MN=MN= 0.4AC0.4

13、AC（3 3）设）设OMNOMN的面积为的面积为S S，求，求S S与与t t的的函数关系式；函数关系式；（4 4）在（）在（3 3）中得到的函数）中得到的函数S S有没有有没有最大值？若有求出最大值；若没有，最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由。要说明理由。2 2、如图如图, ,矩形矩形ABCDABCD中中,AB,AB6,BC6,BC4,4,点点F F在在DCDC上上,DF=2,DF=2。动点动点M M、N N分别从点分别从点D D、B B同时出发同时出发, ,分别沿线段分别沿线段DADA、BABA向向点点A A的方向运动的方向运动, ,当动点当动点M M运动到点运动到点A A时时,M

14、,M、N N两点同时停两点同时停止运动设动点止运动设动点M M、N N的速度都是的速度都是1 1个单位个单位/ /秒秒,M,M、N N运动运动的时间为的时间为x x秒。试问秒。试问x x为何值时为何值时, , MFNMFN是直角三角形？是直角三角形？【分析【分析】以静制动以静制动，假设，假设M M点，点，N N点运动到如点运动到如图所示的位置时，图所示的位置时，NFNFMNMN。M MN N2 24 4x6-x4-xE E4-xx6 6 OABCAB，(4 0) (4 3)， ， ，MN，OB，MOAANBCCNNPBCACPMPt如图，在平面直角坐标系中，四边形如图，在平面直角坐标系中，四边

15、形为矩形，点为矩形，点的坐标分别为的坐标分别为，动点，动点分别从点分别从点同时出发，以每秒同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点个单位的速度运动，其中点沿沿向终点向终点运动，点运动，点沿沿向终点向终点运动，运动，作作，交，交于点于点 ，连结，连结，当两动点，当两动点秒时秒时过点过点运动了运动了Pt（1）点的坐标为（点的坐标为（，）（用含）（用含 的代数式表示）的代数式表示）MPASSt(04)t （2）记）记的面积为的面积为 ，求 与 的函数关系式的函数关系式t S（3）当）当秒时秒时，有最大值，最大值是有最大值，最大值是QySQANAQ（4）若点）若点 在在轴上，当轴上，当 有最大值且有

16、最大值且为等腰三角形时，求直线为等腰三角形时，求直线的解析式的解析式OMxyCNPABEF类型二、双点运动问题：类型二、双点运动问题： 解：（1）344tt ， MPA4MAtMA34t13(4)24MPASStt233(04)82Sttt （2）在中，边上的高为即 OMxyCNP(4 3)B，(4 0)A ，（3）322， EF (4 3)B，(4 0)A ， S2t NBC(0)Qy，222224AQOAOQyyCOMNxQ222222(3)QNCNCQy2222232ANABBNQAN解：由（3）知，当有最大值时，此时（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式的中点处，如下图,设则，.为等腰三角形，AQAN2222432y若，则，此时方程无解