二元函数的极值和最值

1、 .二元函数的极值一 .小值二元函数的最大值和最二 .数法条件极值与拉格朗日乘三7.7 7.7 二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值教学要求：教学要求：1. 理解二元函数极值和条件极值的概念理解二元函数极值和条件极值的概念; 3. 会用拉格朗日乘数法求条件极值会用拉格朗日乘数法求条件极值. 2. 掌握掌握二二元函数极值存在的必要条件、元函数极值存在的必要条件、充分条件充分条件; 会求二元函数的极值会求二元函数的极值.4. 会求简单二元函数的最大值和最小值会求简单二元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题并会解决一些简单的应用问题.如果如果f (x)在在闭区间闭区间a ,c上上连

2、续连续, 则则f (x)在在a ,c上必定能取得最大值与最小值上必定能取得最大值与最小值.)(xfy xoyacb2x1x3x复习：一元函数的极值、最值复习：一元函数的极值、最值. （1 1）极值：）极值：由由P146极值点定义：极值点定义：端点没有资格做极值点端点没有资格做极值点极值点一定在区间内部极值点一定在区间内部.（2 2）最值：）最值： 闭区间上连续函数闭区间上连续函数最值最值只能在只能在极值极值点点和和端点端点处取得处取得. )()(min2xfxf 在区间在区间a, b上，上， )()(min2xfxf 区间区间a, c上上)(xfy xoyacb2x1x3x),()(max3x

3、fxf ),()(maxcfxf 可见可见,为什么要单独考虑端点？为什么要单独考虑端点？因因端点没有资格做极值点，但可能取最值端点没有资格做极值点，但可能取最值oxya1x2x3xb而而极值点极值点只会在只会在驻点驻点和和不可导点不可导点处处 闭区间上连续函数闭区间上连续函数最值最值只能在只能在极值点极值点和和端点端点处取得处取得. . 所以闭区间上连续所以闭区间上连续函数函数最值最值只能在只能在驻点驻点、不可导点不可导点和和端点端点处取得处取得1.1.求闭区间求闭区间 a ,ba ,b 上连续函数最值的步骤：上连续函数最值的步骤： (2)PK:以上各函数值以上各函数值中最大的即为最大中最大的

4、即为最大值，最小的即为最小值值，最小的即为最小值(1)求出求出f (x)在在a,b内的内的可疑最值点可疑最值点（驻驻点、不可导点、区间端点点、不可导点、区间端点)及其函数数值及其函数数值 注：注：对这些可疑最值点对这些可疑最值点不需不需采用第一或第采用第一或第二充分条件二充分条件确认确认其是否为极大（小）值点其是否为极大（小）值点闭区间上闭区间上可导可导函数函数最值最值只存在于只存在于驻点驻点、端点、端点的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二元函数极值二元函数极值播放播放一、多元函数的极值一、多元函数的极值1.引例引例设点),(00yx是),(yxfz 在定义域的内点。若存在

5、),(00yx的某一邻域， 使得对于该领域内异于),(00yx的任一点),(yx：（1）都有),(),(00yxfyxf ，则称函数在),(00yx有极大值；（2）都有),(),(00yxfyxf ，则称函数在),(00yx有极小值；2、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义),(),(00PUyxP即(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 3、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),

6、(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故有 ),(0yxf),(00yxf,故有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必有0),(00 yxfx;同理可证0),(00 yxfy.推广 若三元函数),(zyxfu 在),(000zyxP具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条件为0),(000 zyxfx，0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz.ky 类似于常数此时0, 0),(00

7、处的导数为在所以一元函数xxyxf 类似一元函数，凡能使类似一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零一阶偏导数同时为零的点的点，均称为函数的，均称为函数的驻点驻点.注：注： 可导函数可导函数的极值点的极值点驻点驻点(3)处无极值在例如函数)0 , 0(xyz 问题：问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什可导函数的驻点未必是极值点，那什么样的点才是极值点呢？么样的点才是极值点呢？这是寻找极值点的这是寻找极值点的 条件条件充分充分处非极值在类似于一元函数03xxy定理定理2（极值存在的充分条件）（极值存在的充分条件）, ,),(),(0偏导数偏导数且有一阶及二阶连续且有一阶及二阶连续内连续内连续在在设设

8、 PUyxfz , 0),(, 0),( 0000 yxfyxfyx又又 ),(),(),( 000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 令令有极值：时当,0) 1 (2 BAC时有极小值时有极大值00AA;,0)2(2没有极值时当 BAC.,0)3(2需另作讨论为可能极值时当 BAC 则（证略）（证略）ABC法则法则求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点. ).,(),(),( yxfyxfyxfyyxyxx求求第二步第二步第三步第三步 对于每一个驻点对于每一个

9、驻点),(00yx， 第四步对每一个驻点，根据ABC 法则判断其是否为极值点.ABC法则只适用于二元函数法则只适用于二元函数.933),(42233的极值求例xyxyxyxf解解2, 03, 1yyxx),0 , 1 (驻点有, 0 xyfB66 yfCyy, 6, 0, 012)0 , 1 ()3(CBA处在:0630963) 1 (22得由yyfxxfyx, 66)2(xfAxx, 0722 ACB),2 , 1 (),0 , 3()2 , 3(取极小值，在点)0 , 1 (),(yxf. 5)0 , 1 (f极小值为类似类似P295、296例例1 、例、例2;P325第第23题题 简单而

10、重要！简单而重要！, 6, 0, 012)2 , 1 (CBA处在, 0722 ACB无极值。在点)2 , 1 (),(yxf, 6, 0, 012)0 , 3(CBA处在, 0722 ACB无极值。在点)0 , 3(),(yxf, 6, 0, 012)2 , 3(CBA处在, 0722 ACB取极大值，在点)2 , 3(),(yxf.31)2 , 3(f极大值为, 0 xyfB66 yfCyy, 66 xfAxx),0 , 1 (驻点有),2 , 1 (),0 , 3()2 , 3( .小小值值多多元元函函数数的的最最大大值值和和最最二二1.定理定理（详见（详见P72性质性质1） 闭区域上的

11、连续函数闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值: A A 闭区域闭区域D D上可导函数的最值上可导函数的最值一般一般求法求法注：注：极值点极值点（见（见P107定义）定义）和和驻点驻点（见（见P75偏导定义）偏导定义）一定是内点一定是内点驻点驻点极值点极值点(1)(1)求出函数在求出函数在D D内部的一切可疑内部的一切可疑极值点（驻点）处的函数值极值点（驻点）处的函数值驻点驻点边界边界上的上的最值最值 比较这些函数值的大小比较这些函数值的大小, , 最大的就是最大的就是函数在函数在D D上的最大值上的最大值, , 最小的就是函数在最小的就是函数在D D上的上的最小值最小值.

12、 .（内点）（内点）（边界上）（边界上）(3)PK(3)PK 注：可疑极值点（驻点）无需用注：可疑极值点（驻点）无需用ABCABC法则确认其是不是真正的极值点。法则确认其是不是真正的极值点。（whywhy？）？）A A闭区域闭区域D D上上可导可导函数的最值函数的最值一般一般求法求法(2)(2)求函数在区域边界上的最值求函数在区域边界上的最值 例 5求( , )f x y2222xx yy在圆域22( , )|1Dx yxy 内的最大值与最小值例 5求( , )f x y2222xx yy在圆域22( , )|1Dx yxy 内的最大值与最小值比较( , )f x y在D内驻点处的函数值:与(

13、 , )f x y在D的边界上的最大值与最小值得1()f M0，2()f M3()f M14类似题：类似题： P325： 25（2）B 实际问题实际问题 最值的求法最值的求法则该驻点必为所求的最值点则该驻点必为所求的最值点. 若只有若只有唯一驻点唯一驻点，最值不会在边界上最值不会在边界上（为什么？）（为什么？） 对该唯一驻点无需用对该唯一驻点无需用ABC法则法则判断其是否为极值点判断其是否为极值点。（即（即不会在极端情况取得不会在极端情况取得）四个条件缺一不可四个条件缺一不可若实际问题若实际问题存在最值，存在最值，且目且目标函数为标函数为可导可导函数函数类似题：类似题：P297例例3、 P29

14、9例例5；P325：27，28例 6 要造一个体积为 23m的长方体箱子，问要选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最少？和zm，则高为z2xym设箱子的表面积为A，则A222()xyxy（x0，y0）最小值一定存在，D( , )|0,0 x yxy内取得并且在开区域又可导函数( , )A x y？何订价才能时利润最大问厂家如总成本函数需求函数分别为销售量分别为为售价分别同时在两个市场销售，：某厂商生产同一产品例),(4035,05. 010,2 . 024,72122112121qqCpqpqqqpp)(4035:212211qqqpqpL 利利润润解解1395p12p32p05. 0p2 . 0

15、212221 0121 . 00324 . 02121pLpLpp120p,80p21 时时利利润润最最大大120p,80p21 根据实际问题的意义，根据实际问题的意义，引例引例 .数数法法条条件件极极值值与与拉拉格格朗朗日日乘乘三三1. 条件极值与无条件极值条件极值与无条件极值 自变量除了受其定义域限制外还有别的条自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，这种情况下的极值称为件限制，这种情况下的极值称为条件极值条件极值.相应地，前面讨论的极值称为相应地，前面讨论的极值称为无条件极值无条件极值. 有时条件极值可转化为无条件极值来求有时条件极值可转化为无条件极值来求（如（如P301例例6） ，

16、 此为此为“降元法降元法”但并非所有条件极值都能用但并非所有条件极值都能用“降元法降元法”求解，求解，下面介绍新方法下面介绍新方法.2. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 .0),(),(条条件件下下的的可可能能极极值值点点在在考考虑虑 yxyxfz , ),(),(),(,求其可能极值点求其可能极值点作函数作函数一方面一方面yxyxfyxF 0 xxxfF令令说明说明F(x, y, )的可能极值点为上述方程组确定的的可能极值点为上述方程组确定的(x, y).),(0),(,xyyx 确定了确定了另一方面另一方面0 yyyfF0),( yxF ),(),(yxyxdxdyyx 且且（课外阅读）（课

17、外阅读）的的可可能能极极值值点点为为满满足足而而)(,(xxfz 0),(,0 yxdxdz 同时同时的点的点,dxdyffdxdzyx 又又.0),(0 yxffxyyx 即即（课外阅读）（课外阅读）拉格朗日乘数法的具体应用拉格朗日乘数法的具体应用 条件下的可疑极值点在求0),(),(1) yxyxfz ),(),(),( yxyxfyxF 先先构构造造拉拉格格朗朗日日函函数数 0),(00yxFfFfFyyyxxx 令令解出解出(x,y)即为即为可疑极值点可疑极值点.判别可疑极值点是否为极值点通常由实际判别可疑极值点是否为极值点通常由实际问题来定，问题来定，不需用不需用ABC法则法则.条件

18、下的可疑极值点在求0),(),( )2(zyxzyxfu ),(),(),( zyxzyxfzyxF 构造函数构造函数 0),(000zyxFfFfFfFzzzyyyxxx 令令解出解出(x,y,z)即为可能极值点即为可能极值点. :0),(, 0),( ),( )3(条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在求求 yxyxyxfu ).,(),(),(),( yxyxyxfyxF 构造函数构造函数类似地，由 偏导数为零的条件解出可疑极值点8 解解：构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数)25015050000(100),(4143yxyxyxF 025015050000025025015075414

19、34141 yxFyxFyxFyx 类似题：类似题：P302例例7、 P303例例9；P325：24，26，29-31作业作业： P325 23（1）,25（2）,27,29一一. .条件极值条件极值min(max)( , ) ). . ( , )0 int )zf x ygoal functionstx yconstracondition目标函数（约束条件（),(yxfz 以二元函数为例，求函数以二元函数为例，求函数0),( yx 在在条件下的可能极值点条件下的可能极值点 。以下内容为课外阅读以下内容为课外阅读 由一元函数极值得，由一元函数极值得， 00(,)0 xy ，取得极值取得极值在在

20、0)(,(xxxyxfz 分析分析：00(,)xy若),(yxfz 是是的条件极值点的条件极值点),(00yx( , )x y( , )f x y若若都在都在)1(C 某邻域内是某邻域内是类函数，类函数，( , )0 x y( )yy x，则确定隐函数确定隐函数),(yxfz )(,(xyxfz 可化为可化为有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数00000(,)|(,)xx xyxydydxxy 代入，则 0|),(),(|000000 xxyxxxdxdyyxfyxfdxdz00000000(,)(,)(,)0(,)yxxyfxyfxyxyxy 0000000000(,)(,)0,(,)(,)

21、0,(,)0.xxyyfxyxyfxyxyxy00(,)( , )xyzf x y是条件极值点的必要条件条件极值点的必要条件此方程组为Lagranges Method To maximize or minimize),(yxfsubject 0),( yx to the constraintsolve the system of equations . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx critical point for the constrained extremum a Lagrange multiplier.foryx,),(yxEach s

22、uch pointis aand problem and the correspondingis called拉拉 格格 朗朗 日日 乘乘 数数 法法 要要 找找 函函 数数),(yxfz 在在 条条 件件0),( yx 下下 的的 可可 能能 极极 值值 点点 ， 先先 构构 造造 函函 数数( ,)( ,)( ,)Fx yfx yx y， 可可 由由 (,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y 解解 出出 , yx， 其其 中中yx ,就就 是是 可可 能能 的的 极极值值 点点 的的 坐坐 标标 . 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个

23、的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 可由可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点，即得极值点的坐标的坐标. 二、应用 解解：构造构造Lagranges Function)25015050000(100),(4143yxyxyxF 02501505000002502501507543434141yxFyxFyxFyx或调用或调用MatlabMatlab

24、软件中命令软件中命令constrconstr来来计算有约束的极小问题计算有约束的极小问题 计算结果：计算结果：250 50 xy16719)50,250( f即应该雇佣即应该雇佣250个劳动力而把其余的个劳动力而把其余的部分作为资本投入，可获得最大产量部分作为资本投入，可获得最大产量0200400-10001002000100200300400020040001002003004000100200300400500050100150200010020030040001002003004003144( , )100f x yx xy0200400-1000100200010020030040002004000100200300400 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点, ,先先构构造造 L La ag gr ra an ng ge e 函函数数( , , )( , )( , )F x yf x yx y，可可由由 ( , )( , )0,( , )( , )0,( , )0.xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标. . Kuhu-Tucker