第3章 量子统计基本原理

1、上一页下一页退 出目 录3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布3-3 热力学公式热力学公式3-4 光光 子子 气气 体体 3-5 电电 子子 气气 体体 3-6 声声 子子 系系 统统3-7 Bose-Einstein凝聚凝聚 3-8 负绝对温度状态负绝对温度状态上一页下一页退 出目 录3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系引言引言经典统计与量子统计的联系与区别经典统计与量子统计的联系与区别1、经典统计与量子统计的统计原理相同：都认为系统宏观态是有大量微、经典统计与量子统计的统计原理相同：都认为系统宏观态是有大量微观态，各微观态

2、以一定概率出现，孤立系的各微观态出现的概率相等；宏观态，各微观态以一定概率出现，孤立系的各微观态出现的概率相等；宏观量是各微观态中的统计平均。观量是各微观态中的统计平均。2、区别：微观态的描述不同。、区别：微观态的描述不同。、粒子微观运动状态的经典描述：由广义坐标、广义动量描述，其运动、粒子微观运动状态的经典描述：由广义坐标、广义动量描述，其运动规律遵从经典力学规律，全同粒子是可区分的，其微观态是连续的。规律遵从经典力学规律，全同粒子是可区分的，其微观态是连续的。、粒子微观运动状态的量子描述：由波函数或一组量子数描述，其运动、粒子微观运动状态的量子描述：由波函数或一组量子数描述，其运动规律遵从

3、薛定谔波动方程，全同粒子是不可区分的，其微观态是不连续的。规律遵从薛定谔波动方程，全同粒子是不可区分的，其微观态是不连续的。3、联系：经典统计是量子统计的极限情况。、联系：经典统计是量子统计的极限情况。除自旋外，量子描述与经典描述满足对应原理，当粒子在宏观大小的范围除自旋外，量子描述与经典描述满足对应原理，当粒子在宏观大小的范围运动时，其动量，能量值是准连续，量子规律过渡为经典规律，称为半经运动时，其动量，能量值是准连续，量子规律过渡为经典规律，称为半经典理论）典理论）一、一、对对r个自由度的粒子：相体积个自由度的粒子：相体积 与粒子的一个微与粒子的一个微观状态对应。观状态对应。上一页下一页目

4、 录退 出一、粒子运动状态的经典描述对于经典系统对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，0hpqrrrhpqpqpq022113-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系经典理论上经典理论上 可同时存在，所以可同时存在，所以 即微观态的代表点在相空间即微观态的代表点在相空间上市连续分布的。上市连续分布的。 0, 0pq00h二、粒子运动状态的量子描述1、微观粒子的波粒二象性：微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象性，一、微观粒子的波粒二象性：微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象性，一方面是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下显示干涉、衍

5、射等方面是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下显示干涉、衍射等波动的现象。波动的现象。kp适用于一切微观粒子。适用于一切微观粒子。德布罗意波：德布罗意波：SJhhh.10626. 6;234 都都称称为为普普朗朗克克常常量量：和和其其中中SJ .10055.134 1927年年 C.J. Davisson & G.P. Germer 戴维戴维森与森与 革末用电子束垂直投射到镍单晶，做电革末用电子束垂直投射到镍单晶，做电子轰击锌板的实验，随着镍的取向变化，电子轰击锌板的实验，随着镍的取向变化，电子束的强度也在变化，这种现象很像一束波子束的强度也在变化，这种现象很像一束波绕过障碍物时

6、发生的衍射那样。其强度分布绕过障碍物时发生的衍射那样。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释。可用德布罗意关系和衍射理论给以解释。德布罗意波的实验验证德布罗意波的实验验证-电子衍射实验电子衍射实验1 1KGBDU2k波的圆频率波的圆频率2波矢，方向为波的传播方向或粒子运动方向波矢，方向为波的传播方向或粒子运动方向图a和d是简单的单晶电子衍射花样，图b是一种沿111p方向出现了六倍周期的有序钙钛矿的单晶电子衍射花样（有序相的电子衍射花样）；图c是非晶的电子衍射结果 CsUKG德布罗意波的实验验证德布罗意波的实验验证-电子衍射实验电子衍射实验2 2同时英国物理学家同时英国物理学家G.P. T

7、hompson & ReidG.P. Thompson & Reid也独立完成了电子衍射实验。电子也独立完成了电子衍射实验。电子束在穿过细晶体粉末或薄金属片后，也象束在穿过细晶体粉末或薄金属片后，也象X X射线一样产生衍射现象。射线一样产生衍射现象。德布罗意理论从此得到了有力的证实，获得德布罗意理论从此得到了有力的证实，获得19291929年的诺贝尔物理学奖金，年的诺贝尔物理学奖金，DavissonDavisson和和ThompsonThompson则共同分享了则共同分享了19371937年的诺贝尔物理学奖金。年的诺贝尔物理学奖金。 上一页下一页目 录退 出2 2、微观粒子的自

8、旋状态：、微观粒子的自旋状态：关于自旋发现的趣闻H at s state Real orbit points Expected orbit NSZ如图z 向磁场，s态H的轨道分为二条。说明：H有Internal磁矩 （Spin） cosBBU磁矩在外磁场在外磁场B中的势能为：中的势能为：则氢原子所受的力为则氢原子所受的力为zzzzzzedzdBeedzdBeedzdBeBBBUfcos若若 一定。则作类平抛运动，二条轨迹说明磁矩有两个取向。一定。则作类平抛运动，二条轨迹说明磁矩有两个取向。dzdB3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系电子的自旋还可通过原子特征谱线的精细结构实验验证。

9、电子的自旋还可通过原子特征谱线的精细结构实验验证。上一页下一页目 录退 出 电子、质子、中子电子、质子、中子等粒子具有内禀角动量（自旋）等粒子具有内禀角动量（自旋）（S S）和）和内禀内禀磁矩（磁矩（自旋）磁矩（自旋）磁矩（），其量子数为），其量子数为1/21/2，关系为关系为 meS自旋角动量在外磁场方向上的投影自旋角动量在外磁场方向上的投影S Sz z只能取两个值：只能取两个值：21 zS在外磁场在外磁场B B中的势能为：中的势能为：在外磁场方向的投影相应为：在外磁场方向的投影相应为：meZ2。它只能取两个分立的值，要一个量子数描述粒子的自旋状态只表为将21,sSzzmmSSBmeBBU2

10、cos3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系上一页下一页目 录退 出3 3、海森堡测不准原理：、海森堡测不准原理：称为不确定关系：称为不确定关系hpq 粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。时具有确定的动量和坐标。的的乘乘积积所所满满足足：与与最最精精确确的的描描述述中中，则则在在量量子子力力学学所所容容许许的的的的不不确确定定值值。表表示示相相应应动动量量的的不不确确定定值值，表表示示粒粒子子坐坐标标如如果果以以pqppqq 结论：结论： 不能用不能用q、p描述粒子的运动。即微观粒子的运动状态不是用坐

11、标描述粒子的运动。即微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。海森堡 3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系上一页下一页目 录退 出：表示在：表示在t t时刻在时刻在dxdydzdxdydz内发现粒子的几率。内发现粒子的几率。dxdydztzyx2,4 4、状态的描述、状态的描述-量子态量子态 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态不是用坐标和在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。波函

12、数满足薛定谔波动方程：波函数满足薛定谔波动方程：zyxVmtiHti,222，或定态时：定态时：E,2E22zyxVmH，或波函数必须是单值、有限、连续，并且满足一定边界条件。波函数必须是单值、有限、连续，并且满足一定边界条件。3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系研究表明：波函数满足单值、有限、连续和一定边界条件时，粒子能量只能取研究表明：波函数满足单值、有限、连续和一定边界条件时，粒子能量只能取分立值。分立值。上一页下一页目 录退 出例例1：方匣中运动的微观粒子：方匣中运动的微观粒子cznbynaxnabczyxsinsinsin8波函数与量子数波函数与量子数nx x、ny y、

13、nz z有关，一组确定的有关，一组确定的量子数量子数nx x、ny y、nz z的组合，给出一个确定的波函的组合，给出一个确定的波函数，从而确定体系一个量子态。数，从而确定体系一个量子态。2223228EzyxnnnmVh一般来说，体系有几个自由度，就有几个量子数。一般来说，体系有几个自由度，就有几个量子数。能级给定后：能级给定后： 确定，有多少个满足这一确定，有多少个满足这一体系的体系的nx x、ny y、nz z的不同组合数，该能级就有多少量子态，的不同组合数，该能级就有多少量子态，-称为能级的简并度。称为能级的简并度。 2222nnnnzyx3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关

14、系LLLzyxnnnLh,2p,p,pzyx, 2, 1, 0,zyxnnn1, 0, 00, 1, 00, 0, 11zyxzyxzyxnnnnnnnnnn上一页下一页目 录退 出例例2 2、线性谐振子：、线性谐振子：,2, 1 ,0 )21( nnn例例3 3、转子、转子,2, 1 ,0 )1(22lllMlllmmMMZlZZ, 1,只能取分立值：轴的投影，角动量在某一对于一定的IM22能量：,2, 1 ,0,2)1(2lIlll12 l简并度： 其中其中n n表示线性谐振子的运动状态和能量的量子数，上式给出的能表示线性谐振子的运动状态和能量的量子数，上式给出的能量值是分立的，分立的能量

15、称为能级。线性谐振子的能级是等间距的，量值是分立的，分立的能量称为能级。线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为：相邻两能级的能量差为：在量子力学中转子的能量是分立的：在量子力学中转子的能量是分立的：3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系上一页下一页目 录退 出例例4 4、自由粒子、自由粒子nLx ,2Kx 因因为为波波矢矢：一维自由粒子，考虑处于长度为一维自由粒子，考虑处于长度为L L的一维容器中自由粒子的运的一维容器中自由粒子的运动状态。由周期性边界条件可得：动状态。由周期性边界条件可得：2 , 1xnxxnLK2 代入得：代入得：2, 1xn, 2, 1,2xxxxxn

16、nLpkp，可得：代入德布罗意关系：n nx x表示一维自由粒子的运动状态的量子数，能量的可能值为：表示一维自由粒子的运动状态的量子数，能量的可能值为：， 21,24222222xxxnnLnmmpx能级为二度简并。能级为二度简并。3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系上一页下一页目 录退 出对于三维自由粒子：对于三维自由粒子：zzyyxxnLpnLpnLp2,2,2 量子数为量子数为3 3：zyxnnn、能量的可能值：能量的可能值：2222222222222Lnnnmmpppmpzyxzyx （1 1）、微观体积下，能量值和动量值的分离性很显著。）、微观体积下，能量值和动量值的分离

17、性很显著。（2 2）、宏观体积下，能量值和动量值是准连续的，考虑）、宏观体积下，能量值和动量值是准连续的，考虑V=LV=L3 3 内，一定内，一定动量范围动量范围 的自由粒子量子态数。的自由粒子量子态数。zzyyxxdpLdndpLdndpLdn2,2,2量子态数为：量子态数为：zyxzyxzyxdpdpdphVdpdpdpLdndndn332zzzyyyxxxdPPPdPPPdPPP,3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系上一页下一页目 录退 出可理解为：可理解为：由测不准关系：由测不准关系：hqp对应对应空间的一个体积元，称为量子相格。空间的一个体积元，称为量子相格。rrrhpp

18、qqr11，相格大小为：自由度为qpzyxzyxzyxzyxdpdpdphVdpdpVdphdpdpVdpdndndn33内的量子态数三维自由粒子在而得到的除以相格大小表示：因此2r维维空间中空间中 大小的相格大小的相格内只能有一个运动状态。否内只能有一个运动状态。否则违背测不准关系。则违背测不准关系。rh3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系上一页下一页退 出目 录采用球极坐标：采用球极坐标：zyxpppp,代代替替用用cos,sinsin,cossinppppppzyx积分：令20:,0:dpphVdndndnzyx234 dDdmhVmdmhVdpphV2123321323)2

19、(2)2(244单位能量间隔内粒子可能的量子态数，即态密度单位能量间隔内粒子可能的量子态数，即态密度。如果粒子的自旋不为零，需乘如果粒子的自旋不为零，需乘2 2。代入上式，得：代入上式，得：将将mp22 21233)2(2mhVD3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系相体积元相体积元 内的微观量子态为内的微观量子态为上一页下一页目 录退 出3-1 量子态与相体积的关系量子态与相体积的关系（1）、如果粒子局域于微观体积下运动，能量值和动量值的分离性很显著。）、如果粒子局域于微观体积下运动，能量值和动量值的分离性很显著。（2）、如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。若）

20、、如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。若粒子的自由度为粒子的自由度为r，一个量子态占据的相体积为，一个量子态占据的相体积为小结：小结：考虑考虑r=3的六维相空间，相体积元的六维相空间，相体积元 内的微观量子态为内的微观量子态为rhrrdpdpdqdqd11rrrrhdpdpdqdqhd11单位能量间隔内粒子可能的量子态数。单位能量间隔内粒子可能的量子态数。体积体积V=L3 3 内，一定动量范围内，一定动量范围 的自由粒子量子态数。的自由粒子量子态数。zyxdpdpdxdydzdpd33hdpdpdxdydzdphdzyxzzzyyyxxxdPPPdPPPdPPP,3hdpd

21、pVdpzyx上一页下一页目 录退 出一、全同粒子与近独立粒子一、全同粒子与近独立粒子（1 1）全同粒子：具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）全同粒子：具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等） 的同类粒子。的同类粒子。（2 2）近独立粒子：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量）近独立粒子：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量 远小于单个粒子的能量。远小于单个粒子的能量。NiiE1（2 2） 玻色子与费米子：玻色子与费米子：a a 费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子。如：费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子。如：电子、质子、中子等电子、质子、中子等。b b 玻色子：自旋

22、量子数为整数的基本粒子。如：玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子。如：光子、光子、介子等介子等。二、量子物理中系统微观运动状态的描述二、量子物理中系统微观运动状态的描述（1 1）全同性原理：全同粒子不可分辨，在由全同粒子组成的系统，将任何两）全同性原理：全同粒子不可分辨，在由全同粒子组成的系统，将任何两个全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。个全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出c c 复合粒子：复合粒子：凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由

23、偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。d d 泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立费米子的系统中，一个个体量子态最泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。多能容纳一个费米子。3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布Pauli传奇（3)3)、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统 玻耳兹曼系统：由玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子（可分辨的全同近独立粒子（定域系）定域系）组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。

24、组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。玻耳兹曼系统的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。玻耳兹曼系统的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。玻色系统、费米系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。玻色系统、费米系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。 玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个个体量子态上玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。的粒子数不受限制的系统。 费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个个体量子态上的费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处

25、在一个个体量子态上的粒子数最多只能为粒子数最多只能为1 1，受泡利不相容原理的限制。，受泡利不相容原理的限制。上一页下一页目 录退 出系统系统 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统（9 9种种不同的微观状态不同的微观状态) 玻色系统玻色系统（6 6种种不同的微观不同的微观状态）状态） 费米系统费米系统（3 3种种不同不同的微观状态）的微观状态）量子态量子态1 1A AB BA AA AB B B BA AA AA A A AA AA A量子态量子态2 2A AB BB BA AA AB BA AA AA AA AA AA A量子态量子态3 3A AB BB B B BA A A AA AA AA AA A

26、A AA A例如：两个粒子占据例如：两个粒子占据3 3个量子态的方式个量子态的方式3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出三、三、分布与微观状态数分布与微观状态数能级分布能级分布：即：即 N 个粒子分布在各个能级上的分布状态。个粒子分布在各个能级上的分布状态。状态分布状态分布：在某一简并能级上，粒子在各个量子态上的分布状态。：在某一简并能级上，粒子在各个量子态上的分布状态。说明：说明：(1)能量是量子化的能量是量子化的，但每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代表，但每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代表某一能级的谱

27、线常常是由好几条非常接近的精细谱线所构成。某一能级的谱线常常是由好几条非常接近的精细谱线所构成。量子力学中把能级可能有的微观状量子力学中把能级可能有的微观状态数称为该能级的简并度。态数称为该能级的简并度。(2) 对非简并能级，能级分布与状态分布相同；对非简并能级，能级分布与状态分布相同；(3) 对简并能级，同一能级分布可对应于多种不同的状态分布，即状态分布数大于能级分布数；对简并能级，同一能级分布可对应于多种不同的状态分布，即状态分布数大于能级分布数；分布和微观状态是两个不同的概念：分布和微观状态是两个不同的概念：微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反映的是微观状态是粒子运动状态或称为量子态

28、。它反映的是粒子运动特征。粒子运动特征。、假如全同粒子可以分辨（或定域子），确定由全同近独立粒子组成的微观运动状态归结为确假如全同粒子可以分辨（或定域子），确定由全同近独立粒子组成的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态定每一个粒子的个体量子态。即：当每个粒子的量子态都确定了就对应于系统的一个微观状态。即：当每个粒子的量子态都确定了就对应于系统的一个微观状态。如果其中某一粒子的量子态变化了，那么系统的微观状态也就发生了变化了。如果其中某一粒子的量子态变化了，那么系统的微观状态也就发生了变化了。、对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个对于不可分辨的

29、全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。体量子态上的粒子数。即：当每一个体量子态上的粒子数确定了就对应于系统的一个微观状态。即：当每一个体量子态上的粒子数确定了就对应于系统的一个微观状态。如果其中某一个体量子态上的粒子数变化了，那么系统的微观状态也就发生了变化了。如果其中某一个体量子态上的粒子数变化了，那么系统的微观状态也就发生了变化了。结论：由于一个能级往往对应若干个量子态（即简并的），因此结论：由于一个能级往往对应若干个量子态（即简并的），因此。3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出满满足足：称称为为一一个个分分

30、布布 ,la能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：,21l,21l,21laaaEaNalllll ； 设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数粒子数N N、能量、能量E E和体积和体积V V。个粒子的分布如下：表示能级上的粒子数，表示能级的简并度，表示能级，以Nalll1233-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出四、给定分布的微观状态数四、给定分布的微观状态数1 1、玻耳兹曼系统：、玻耳兹曼系统：种量子态的方式有个粒子数占据因此态能容纳任意个粒子，粒子可分辨，每个量子lallla种种上

31、上的的各各量量子子态态共共有有级级个个编编号号的的粒粒子子数数占占据据能能lallllaa,11lllllaNaaNN！得因子：！个粒子交换数目但必须扣除同一能级上！；数为个粒子加以交换，交换因粒子可分辨，将/lalllllBMaa!N!.微观态数为：微观态数为：注意：一个粒子设为注意：一个粒子设为“无体积无体积”的的“质点质点”，一个，一个“盒子盒子”有粒子占据时，有粒子占据时，不排斥其它粒子进入（不排斥其它粒子进入（MB与与BE都是不排斥，但都是不排斥，但FD则不行，是要排斥则不行，是要排斥的）的） 个粒子，放入个粒子，放入 个盒子中的可能组合个盒子中的可能组合lal3-2 Bose分布和

32、分布和Fermi分布分布12345上一页下一页目 录退 出lall)!1( !/)!1(llllaa用表示状态，表示粒子 lllllEBaaa)!1( !)!1(.3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出3 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 个个粒子占据能级粒子占据能级 上的个上的个 量子态，相当于从量子态，相当于从 个量子态中挑出个量子态中挑出 个来为粒个来为粒子所占据，有子所占据，有lalllla)!( !Cllllaaall种可能的方式。种可能的方式。lllllDFa

33、aa)!( !.3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出4、经典统计中的分布和微观状态数：、经典统计中的分布和微观状态数：对于经典系统对于经典系统，由于对坐标和动量，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设的测量总存在一定的误差，假设 ，这时经典系统的一个运动状，这时经典系统的一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小0hpqrrrhppqq011表示经典系统的一个微观状态在表示经典系统的一个微观状态在 空间所占的体积，称为经典相格。这里空间所占的体积，称为经典相格。这里 由测

34、量精度决定，最小值为普朗克常量。由测量精度决定，最小值为普朗克常量。0h由于经典粒子可以分辨，处在一个相格内的粒子个数不受限制，所以经典由于经典粒子可以分辨，处在一个相格内的粒子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系统的统计规律，所以与分布系统遵从玻耳兹曼系统的统计规律，所以与分布 相应的经典系统的微相应的经典系统的微观状态数为：观状态数为：lalalrllllclhaNa)(!0.3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出2 2、玻色系统：、玻色系统： )!1( !)!1(.llllllEBaaa )!( !.llllllDFaaa3 3、费米系统：、费米系统：

35、 larlllllclhaNa) ( ! ! 04 4、经典系统：、经典系统：小结：小结：1 1、玻耳兹曼系统：、玻耳兹曼系统：lalllllBMaNa! .3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出五、五、Bose分布和分布和Fermi分布分布lllllaa！1lnln1lnln可可得得：，假假设设,111 llaN取取对对数数可可得得：对对)!1( !)!1(. lllllEBaa lllllllllaaaalnlnlnln可得：可得：0lnlnlnllllllaaaEN1 lllea玻色玻色- -爱因斯坦分布：爱因斯坦分布：约束条件：约束条件：0;0 llll

36、laa意义：最概然分布时各能级上的粒子数。意义：最概然分布时各能级上的粒子数。3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出同理可得费米同理可得费米- -狄拉克分布：狄拉克分布：1 llleaEeNelllllll 11，由由下下式式确确定定：和和拉拉氏氏乘乘子子 玻色分布和费米玻色分布和费米- -狄拉克分布分别给出了玻色系统和费米系统在最概然狄拉克分布分别给出了玻色系统和费米系统在最概然分布下处在能级分布下处在能级l l的粒子数，能级的粒子数，能级l l有有l l个量子态，处在其中任何一个个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。量子态上的平均粒子数

37、应该是相同的。上上的的平平均均粒粒子子数数为为：的的量量子子态态因因此此处处在在能能量量为为ss11 ssefNess11Eesss13-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出1 lllea玻色玻色- -爱因斯坦分布：爱因斯坦分布：费米费米- -狄拉克分布：狄拉克分布：1 lllea麦克斯韦麦克斯韦- -玻耳兹曼分布：玻耳兹曼分布：lllea llaNlllaE满足：，三种分布的关系三种分布的关系3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出1 1、在满足条件、在满足条件 的情形下，玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼的情形下，玻色分布和费米分

38、布都过渡到玻耳兹曼分布，即满足经典极限条件的玻色（或费米）系统遵从玻耳兹曼系统同样分布，即满足经典极限条件的玻色（或费米）系统遵从玻耳兹曼系统同样的分布。的分布。1e4 4、因子、因子 不影响分布，但影响热力学量的计算。所以满足经典极限条件的非不影响分布，但影响热力学量的计算。所以满足经典极限条件的非定域系与定域系，虽然在分布上相同，但热力学量的计算有区别，区别在于粒定域系与定域系，虽然在分布上相同，但热力学量的计算有区别，区别在于粒子是否可分辨。子是否可分辨。!1Nlleealll12、若、若 时，时，1e1111sseeaflls11llae非简并性条件，或经典极限条件。非简并性条件，或经

39、典极限条件。3、 ， 对求对求 最大无影响，最大无影响，故分布相同。故分布相同。 !1.NaBMDFEBll，时，!N3-2 Bose分布和分布和Fermi分布分布上一页下一页目 录退 出一、玻色子系统的热力学量的统计表达式一、玻色子系统的热力学量的统计表达式llllleaN1引入巨配分函数：引入巨配分函数： llle)1ln(lnllelll1 系统的总粒子数：系统的总粒子数：取对数得：取对数得：lnN系统的总粒子数：系统的总粒子数：llllealn1lnlnlnlnNllllllllalnlnNlnlnNllla3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式上一页下一页目 录退 出 ll

40、llllleaU1yeayYlllllll 1 lnU1、内能：、内能：2、广义力：、广义力： ln1yY特例：特例： ln1VP3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式上一页下一页目 录退 出)ln(ln)ln()(ddyydNdYdydU 因因为为：dyyddd lnlnlnln而而：3、熵的统计表达式、熵的统计表达式 lnlnln)(dNdYdydU比比较较可可得得：与与热热力力学学公公式式dSNdYdydUT )(1)lnln(ln kddS所所以以：ln)(ln)lnln(lnkUNkkS积分得：)lnln(lnkS3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式上一页下一页

41、退 出目 录 lnkS证明：证明：玻色系统的微观状态数：玻色系统的微观状态数：lllllllllaaaalnlnlnln lllllaa)!1( !)!1( lllllaa !ln)!1ln()!1ln(ln取取对对数数得得：1, 1 lla设：设： 1ln!ln mmm则则llllllllllaaaalnln3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系上一页下一页目 录退 出 lllllaekSl)1ln(可得：可得：代入代入)(lnUNkS lnlnlnkaaaakllllllllll可可得得：由由1 lllea;1 -11llael llla1ln 3-3 热

42、力学量的统计表达式热力学量的统计表达式上一页下一页目 录退 出二、费米系统二、费米系统热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式费米系统，巨配分函数为：费米系统，巨配分函数为：前面得到的热力学量的表达式完全适用：前面得到的热力学量的表达式完全适用：其对数为：其对数为：llllle1 llle)1ln(lnlnN lnU ln1yY lnkS3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式上一页下一页目 录退 出lnln)lnln(lnlnkTkTNTSUJ的的函函数数、即即的的函函数数、是是VTy,ln 三、巨热力学势三、巨热力学势lnkTJ（3）代入热力学统计公式求热力学量）代入热力学统计公式

43、求热力学量量子力学的理论计算获得量子力学的理论计算获得分析光谱数据获得分析光谱数据获得小结：求量子体系热力学函数的一般步骤小结：求量子体系热力学函数的一般步骤l（1）写出）写出 及相应简并度及相应简并度 l（2）求粒子的巨配分函数）求粒子的巨配分函数llelll1 3-3 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式上一页下一页目 录退 出3-4 光光 子子 气气 体体本节根据统计物理的理论，研究空窖辐射能量密度按频率的分布 设黑体空腔中的辐射场与腔壁处于平衡态,即腔壁在单位时间内吸收和放出的电磁波能量相同, 辐射场能量不变. 将黑体空腔中的辐射电磁场看成光子气体, 光子自旋为1，光子气体是Bos

44、e子系统. 由于腔壁中的大量原子在不断相互独立地吸收和放出光子, 光子气体的光子数不守恒，因此，在Bose分布式中应令 0于是得 1leall其中，光子的能量 是光子动量,波矢 pchlkhp2k在相空间中,体积为V ,光子动量在光子动量在 区间的相体积是区间的相体积是 dPPhVhd23382dpVpdppddVd220204sindppp考虑到电磁波有两个偏振化方向, 在上面的相体积内, 偏振方向不同的光子的量子态数是一、黑体辐射的普郎克公式上一页下一页目 录退 出注意到 可将量子态数写成 chpcdphdd,黑体空腔体积V中， 在频率 范围内的平均光子数是范围内的平均光子数是 dcV23

45、8ddecVkTh1823所以, 在频率 范围内的空腔辐射场的能量是范围内的空腔辐射场的能量是 ddechVTdUkTh18),(33空腔辐射场的单色能量密度1181),(33kthechddUVT-黑体辐射的普郎克公式 上一页下一页目 录退 出将关系式 和 代入上式,可将普郎克公式写成 cdcd218),(5kThcechT 也是辐射场单色能量密度，它只与波长和温度有关，与空腔的材料和形状无关。),(T实验数据黑体辐射公式与实验曲线（1 1）在）在 的长波（低频）范围内，的长波（低频）范围内，kThcekThc1此即为瑞利金斯公式此即为瑞利金斯公式（2 2）在）在 的短波（高频）范围内，的短

46、波（高频）范围内，此即为维恩公式此即为维恩公式普郎克公式可近似为：普郎克公式可近似为：1kThckTT48),(1kThc普郎克公式可近似为：普郎克公式可近似为：kThcehcT58),(上一页下一页目 录退 出令 ，上式变为 kThcx18),(55xexhckThcT在温度确定时,令 得 0),(Tdxdxex)1 (5用数值法解出此方程,得 即得： 965114. 4xmKkxhcTm310899996. 2-维恩（Wien displacement law）位移定律. 二、维恩（Wien displacement law）位移定律将 代入上式，得 ，而辐射场(复色)能流密度因此， 与

47、的关系是上一页下一页目 录退 出ndc4如图 是黑体表面(即空腔上的一个小孔)上O点处面积元单位法线矢量. 由于辐射场能量向各方向均匀流出，单位时间流入与矢量 夹角为 的方向的立体角元 内的单色能量是ndddsinnc是真空中的光速, 是球面角 4设单位时间从黑体表面单位面积辐射出的波长在 范围内的能量为 ， 叫做黑体表面单色能流密度ddjjj4sin42020cddcjc4cjdechdjJkTh032012三、斯特潘玻尔兹曼定律 上式最后一步利用了 . 将各常数代入上式,得 上一页下一页目 录退 出令 得得,kThxdxexhkTchJx034212利用公式 有011nnxx011nnxx

48、ee10111nnxxnnxxxeeeee4234514423410342152622TchknTchkdxexhkTchJnnnx156414nn2481066. 5mWTJ此即斯特潘玻尔兹曼定律. 由上式可知, 测出物体辐射(复色)能流密度就可以知道它的温度.这就是光测温度计的基本原理 上一页下一页目 录退 出3-4 光光 子子 气气 体体四、空腔中的辐射场内能 433420331518),(VTchkdechVTUkTh辐射场的等容热容量是33342154VTchkTUCVV上一页下一页退 出目 录 3.5 3.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 1 1、T=0KT=0K时电子

49、的分布时电子的分布 可得：可得：时电子气体的化学势，时电子气体的化学势，表示表示以以K00 0, 1f 0, 0f f01(1)(1)、费米动量、费米动量P PF F NdmhV 002/12/3324 2/322320 VNm 可得：可得：表示。令表示。令称为费米能级，以称为费米能级，以mPFFF202 3/123nPF 上一页下一页目 录退 出UTSUF （2 2）、）、0k0k时电子的内能为：时电子的内能为：f01 053240002/32/33NdmhVU （3 3）、）、0k0k时电子气体的压强为：时电子气体的压强为：FFnVNVUVFP5253 与玻色气体在与玻色气体在0K0K时能

50、量、动量和压强完全不同，费米气体时能量、动量和压强完全不同，费米气体在在0K0K时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。 3.5 3.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体上一页下一页目 录退 出弱简并条件：弱简并条件：1, 1 ee或或2411231)2(2411233232ngkTgmkThVNkTNU 金属中的自由电子气体是高度简并的。金属中的自由电子气体是高度简并的。而对自由电子气体：而对自由电子气体： eVJ0 . 71012. 1018或或铜铜的的 远远高高于于通通常常的的温温度度。,102 . 84KTF 1 kTee 3.5 3.5

51、 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体上一页下一页退 出目 录 xxxxxeeeeee 11111只只取取头头两两项项：展展开开，是是一一个个小小量量，可可将将小小的的情情形形下下，在在 0212331)2(2xedxxkTmkThVgN 0232331)2(2xedxxkTmkThVgU被积函数的分母可表为：被积函数的分母可表为：）（xxxeee 1111 8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体引入变量：引入变量：x 则上述两式可写为：则上述两式可写为：上一页下一页目 录退 出2411 23eNkTU 利用零级近似结果：利用零级近似结果：gmkThVNe

52、1)2(232 2411231)2(2411233232ngNkTgmkThVNNkTU 可可得得：两式相除可得：两式相除可得：211 )2(23232eVehmkTgN 代代入入上上式式可可得得：211 )2(2325232eVkTehmkTgU 8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是有微观粒子全通性原理引第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是有微观粒子全通性原理引起的量子统计关联所致的附加内能。并且可以看到在弱简并情形下，玻色气起的量子统计关联所致的附加内能。并且可以看到在弱简并情形下，玻色气体和费米气体出

53、现了差异。体和费米气体出现了差异。即：量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色子间则出现等效的即：量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色子间则出现等效的吸引作用。吸引作用。上一页下一页目 录退 出8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚一、理想玻色气体的性质一、理想玻色气体的性质11 kTllllleea二、化学势二、化学势 与基态粒子数与基态粒子数000 al，则则都都不不能能取取负负值值，若若取取因因为为任任一一能能级级的的粒粒子子数数化学势由下式决定：化学势由下式决定：nVNeVlkTll 11nT,密度的函数：化学势为温度和粒子数上一页下一页目 录退 出8.

54、3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚值值越越高高。低低则则给给定定的的情情形形下下，温温度度愈愈在在nnedmhkTl0212331)2(2将求和改为积分：将求和改为积分：;随随温温度度的的降降低低而而升升高高当当粒粒子子数数一一定定时时， 。将将趋趋于于时时，度度当当温温度度降降到到某某一一临临界界温温0 TC上一页下一页目 录退 出nedmhVclkT 0212331)2(2nedxxmkThkTxxCc 0212331)2(2,可得：可得：令：令：612.221021edxxx积积分分： 32223)612. 2(2nmkhTc 为给定的条件矛盾。为给定的条件矛盾。，与，与

55、，左边小于，左边小于仍趋于仍趋于时，时，当当VNnnTTC 08.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚讨论：讨论：上一页下一页退 出目 录 )(1 230CTTnTn 关键在用积分代替求和时，关键在用积分代替求和时， 的项被弃掉了。的项被弃掉了。0 当当 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。CTT nedmhTnkT 02/12/330122230212330)(1)2(2CkTTTnedmhn 三、矛盾的原因分析三、矛盾的原因分析 的的粒粒子子数数密密度度，时时处处在在能能级级是是温温度度为为第第一一项项00 TTn。的的粒粒

56、子子数数密密度度第第二二项项是是00 n8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚上一页下一页目 录退 出nn0CTT1.01.00:00随随温温度度的的变变化化如如图图所所示示有有相相同同的的数数量量级级，与与以以下下在在nnnTC8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 ，作作图图：根根据据)(1230CTTnTn 上一页下一页目 录退 出8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚上一页下一页目 录退 出上一页下一页目 录退 出四、玻色四、玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚凝凝聚聚。能能级级时时有有宏宏观观量量级级的的粒粒子子在在在在0 TTC23)(

57、770.01)2(2023233CkTTTNkTedmhVU 聚聚体体。的的粒粒子子集集合合称称为为玻玻色色凝凝为为凝凝聚聚温温度度，凝凝聚聚在在0TC熵熵均均为为零零。凝凝聚聚体体的的能能量量、动动量量和和的的粒粒子子能能量量是是处处在在能能级级时时理理想想玻玻色色气气体体的的内内能能在在0 TTC定容热容量为：定容热容量为：23)(925.125CVVTTNkTTUTUC 的的统统计计平平均均值值：8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚上一页下一页退 出目 录 气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体，粒子

58、之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦气体，粒子之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦自己已意识到这一点，他写到自己已意识到这一点，他写到“这个公式间接地表达了一个确定这个公式间接地表达了一个确定的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互影响的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互影响着，着，” 由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源的）统计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因的）统计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因此，即使没有动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相互

59、此，即使没有动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相互作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。 爱因斯坦的理论为什么当年受批评？爱因斯坦的理论为什么当年受批评？8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚上一页下一页目 录退 出 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体一、电子气体的性质一、电子气体的性质 模型：金属中的价电子为所有原子实所共有，而并非固定在某一原子模型：金属中的价电子为所有原子实所共有，而并非固定在某一原子的范围内，因此，可以近似地把这些价电子看成束缚在所有原子实形成的范围内，因此，可以近似地

60、把这些价电子看成束缚在所有原子实形成的平均场内，就像这的平均场内，就像这N N个电子在体积为个电子在体积为V V的箱中的自由粒子一样。的箱中的自由粒子一样。 电子的自旋量子数为电子的自旋量子数为1/21/2，简并度为：，简并度为：2120 s 根据费米分布，处于温度根据费米分布，处于温度T T、能量、能量的一个量子态上的平均电子数为：的一个量子态上的平均电子数为：11 kTef上一页下一页退 出目 录 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 1 1、T=0KT=0K时电子的分布时电子的分布 可得：可得：时电子气体的化学势，时电子气体的化学势，表示表示以以K00 0, 1f 0, 0f f01(1)