合情推理-归纳推理

1、要甜的，要甜的，好吃的！好吃的！ 从前有一位富翁想吃芒果从前有一位富翁想吃芒果, ,打发他打发他的仆人到果园去买的仆人到果园去买, ,并告诉他并告诉他:要甜的要甜的, ,好吃好吃的的, ,你才买你才买.仆人拿好钱就去了仆人拿好钱就去了. .到了果园到了果园, ,园主说园主说:我这里树上的芒果个个都是我这里树上的芒果个个都是甜的甜的, ,你尝一个看你尝一个看.仆人说仆人说:我尝一个怎能知道我尝一个怎能知道全体呢全体呢 我应当个个都尝过我应当个个都尝过, ,尝一个买一个尝一个买一个, ,这样这样最可靠最可靠.仆人于是自己动手摘芒果仆人于是自己动手摘芒果, ,摘一个尝一摘一个尝一口口, ,甜的就都买

2、回去甜的就都买回去. .带回家去带回家去, ,富翁见了富翁见了, ,觉得觉得非常恶心非常恶心, ,一齐都扔了一齐都扔了. .尝一个尝一个 ，怎么知道全体呢？怎么知道全体呢？我得尝一个买一我得尝一个买一个个尝一个，怎么尝一个，怎么知道全体呢？知道全体呢？我得尝一个买我得尝一个买一个一个想一想：想一想：故事中仆人的做法实际吗？故事中仆人的做法实际吗？换作你，换作你，你会怎么做你会怎么做？第一个芒果是甜的第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的已知已知判断判断前提新的新的判断判断结论世界近代世界近代三大数学三大数学难

3、题难题1852年，英国人年，英国人弗南西斯弗南西斯格思里格思里为为地图着色时，提出了四色猜想地图着色时，提出了四色猜想.每幅地图可以用四种颜色着色，使得每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域上着不同色有共同边界的相邻区域上着不同色. 19761976年，美国数学家年，美国数学家阿佩尔阿佩尔与与哈肯哈肯在两台计算机上，在两台计算机上，用了用了12001200个小时，完成了四色猜想的证明个小时，完成了四色猜想的证明. .费马最后定理费马最后定理,历经三百多年的历史历经三百多年的历史,这这个数学难题是由英国的数学家个数学难题是由英国的数学家威利斯威利斯（Andrew Wiles）199

4、4所解决所解决 据说歌德巴赫无意中据说歌德巴赫无意中观察到观察到： 3710，31720，131730， 偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach(Goldbach Conjecture) Conjecture)世界近代三大数学世界近代三大数学难题难题之一。哥德巴赫是德国一位之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一

5、位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach(Goldbach) )写信写信给当时给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的，提出了以下的猜想猜想: : (a

6、) (a) 任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之和。 (b) (b) 任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说，他日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许许多数学家的注意多数学家的注意。从

7、提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 1

8、8 = 5 + 13, . . . . . 等等。有人对等等。有人对3333108108以内且大过以内且大过6 6之偶数一一进行验算，哥德之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想巴赫猜想(a)(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了。到了2020世纪世纪2020年代，才有人

9、开始年代，才有人开始向它靠近。向它靠近。19201920年年挪威数学家布爵挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比出了一个结论：每一个比6 6大的偶数都可以表示为（大的偶数都可以表示为（9+99+9）。这种）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9 9十十9 9）开始，逐步）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”。 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(

10、Goldbach Conjecture)目前目前最佳最佳的结果是中国数学家陈景润于的结果是中国数学家陈景润于19661966年年证明的，称为证明的，称为陈氏定理陈氏定理(Chens Theorem) (Chens Theorem) 即即 “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” ” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “ “1 + 1 + 2 2 ” ”的形式。的形式。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)在陈景润之前，关

11、於偶数可表示为在陈景润之前，关於偶数可表示为s s个质数的乘积与个质数的乘积与t t个质数的乘积个质数的乘积之和之和( (简称简称“s + t ”s + t ”问题问题) )之进展情况如下之进展情况如下: :19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun(Brun) )证明了证明了 “ “9 + 9 ”9 + 9 ”。19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher(Rademacher) )证明了证明了“7 + 7 ”7 + 7 ”。19321932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Estermann(Estermann) )证明了证明了 “ “6 +

12、6 ”6 + 6 ”。19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei(Ricei) )先後证明了先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和和“2 + 366 ”2 + 366 ”。19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )证明了证明了“5 + 5 ”5 + 5 ”。19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )证明了证明了 “ “4 + 4 ”4 + 4 ”。19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈

13、牙利的瑞尼(Renyi(Renyi) )证明了证明了“1 + c ”1 + c ”，其中，其中c c是一很大的自然数。是一很大的自然数。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了 “ “3 + 4 ”3 + 4 ”。19571957年，中国的王元先後证明了年，中国的王元先後证明了 “ “3 + 3 ”3 + 3 ”和和 “ “2 + 3 ”2 + 3 ”。19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH(BapoaH) )证明了证明了 “ “1 + 5 ”1 + 5 ”， 中国的中国的王元证明了王元证明了“1 + 4 ”1 + 4 ”

14、。19651965年，苏联的布赫夕太勃年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )和小维诺格拉多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB(BHHopappB) )，及意大利，及意大利的朋比利的朋比利(Bombieri(Bombieri) )证明了证明了“1 + 3 ”1 + 3 ”。19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了 “ “1 + 2 ”1 + 2 ”。最终会由最终会由谁谁攻克攻克 “ “1 + 11 + 1 ” ”这个难题呢？这个难题呢？现在还没法预测。现在还没法预测。也许是在座的也许是在座的其中一位或几其中一位或几位位歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜

15、想的提出过程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质的偶数都等于两个奇质数之和数之和”即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 这样的猜想学过的知识中有没有？你能举几个例子吗？这样的猜想学过的知识中有没有？你能举几个例子吗？这类猜想有什么这类猜想有什么共同特点？共同特点？12 n1+3+(2n1)

16、=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n调查得知某市调查得知某市甲、乙、丙、甲、乙、丙、丁四所高中学丁四所高中学生普遍认为数生普遍认为数学是严肃枯燥学是严肃枯燥的。的。全市高中全市高中生普遍认生普遍认为数学是为数学是枯燥的枯燥的.第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数

17、为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般这类猜想有什么这类猜想有什么共同特点？共同特点？这种由某类事物的这种由某类事物的部分对象部分对象具有某些具有某些特征特征, ,推出该类事物的推出该类事物的全部对象全部对象都具都具有这些特征的推理有这些特征的推理, ,或者由或者由个别个别事实事实概栝出概栝出一般一般结论的推理结论的推理, ,称为称为归纳推归纳推理理.(.(简称：归纳简称：归纳) )1、归纳推理的定义、归纳推理的定义:简言之简言之, ,归纳推理是由归纳推理是由部分到整体部分到整体、由由个别到一般个别到一般的推理。的推理。成语成语”一叶知

18、秋一叶知秋”例如：例如： 磨擦双手（磨擦双手（S S1 1 ）能产生热（）能产生热（P P），）， 敲击石头（敲击石头（S S2 2 ）能产生热（）能产生热（P P） ， 锤击铁块（锤击铁块（S S3 3 ）能产生热（）能产生热（P P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 所以，物质运动能产生热。所以，物质运动能产生热。应用归纳推理可以应用归纳推理可以发现新事实发现新事实, ,获得新结论获得新结论! !2、归纳推理的一般步骤：、归纳推理的一般步骤： 检验猜想检验猜想。 提出带有规律性的结论，即提出带有规律性的结论，即猜想猜想； 对对有限有

19、限的资料进行观察、分析、的资料进行观察、分析、 归纳整理；归纳整理；需证明需证明？试验、观察试验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论例例4.如图所示有三根针和套在一根针上的若干金属片如图所示有三根针和套在一根针上的若干金属片.按按下列规则下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针号针,最少需要移动多最少需要移动多少次少次?123123金属片金属片

20、设设 为把为把 个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1a123金属片金属片金属片金属片金属片金属片金属片金属片设设 为把为把 个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1an2a1233 221aa 1 33a金属片金属片金属片金属片金属片金属片金属片金属片设设 为把为把 个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1an2a123金属片金属片金属片金属片金属片金属片金属片金属片设设 为把为把 个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数

21、，则nann1an2a3 221aa 1 33a1233a 15 n=4时时,n=3时时,23a n=2时时,n=1时时,11a 37a 221aa 1 3a4a 4a 15n=4时时,n=3时时,23a n=2时时,n=1时时,11a 37a 221aa 11,121,2nnnaan 331aa 121nnaa数列数列是首项为是首项为2公比为公比为 的的12nna 21nna 12342222215211 7212 5 7216 5 5 3 7221n任何形如任何形如 的数都是质数的数都是质数这就是著名的这就是著名的费马猜想费马猜想观察到都是质数观察到都是质数,进而进而猜想猜想:半个世纪后半个世纪后, ,欧拉发现第欧拉发现第5 5个费马数个费马数