高中物理竞赛讲座1

1、电 磁 学专 题讲 授 提 纲电磁学讲授提纲电磁学讲授提纲一、一、带电体（粒子）在库仑力作用下的运动带电体（粒子）在库仑力作用下的运动二、二、电场强度叠加原理电场强度叠加原理三、三、电势叠加原理电势叠加原理 电势能电势能四、四、静电场中的导体电容器静电场中的导体电容器五、载流导体受安培运动五、载流导体受安培运动六、电荷受电磁场力运动六、电荷受电磁场力运动七、电磁感应七、电磁感应例例 半径为半径为R、质量、质量m 分布均匀的细园环上分布不能移动的正电荷，总分布均匀的细园环上分布不能移动的正电荷，总电量为电量为Q。(1)知电荷在环直径知电荷在环直径AOB上作匀速直线运动上作匀速直线运动,求园环上的

2、电荷求园环上的电荷分布；分布；(2)如图如图,将将Q1=kQ放在距环心放在距环心r1处处,若若Q2、Q1、Q三者都静止不动，三者都静止不动，求求Q2的大小和位置的大小和位置;（3）让）让Q1 、Q2 固定不动并变符号。使环沿固定不动并变符号。使环沿x轴移轴移小距离小距离x后静止释放，试讨论环的运动。后静止释放，试讨论环的运动。 环环球面球面 专题一、带电体（粒子）在库仑力作用下的运动专题一、带电体（粒子）在库仑力作用下的运动0)(22121211rrQQrQQ0222211rQQrQQ0)(22121222rrQQrQQkrrrQQ222211)(112krrQkkQrrQ2121222) 1

3、(21)1 (Rrk1k r1R ； Q10、Q2m，为极化率。如为极化率。如图图 1 所示，所示，b 为碰撞参数（即瞄准距离）。中性原子被靠近的离子的电为碰撞参数（即瞄准距离）。中性原子被靠近的离子的电场（场（Eion）极化，从而有电偶极矩）极化，从而有电偶极矩 。 不计辐射损失。不计辐射损失。1、对图、对图 2 所示几何关系，计算位于原点的理想电偶极子所示几何关系，计算位于原点的理想电偶极子 p 在其延长线在其延长线上，距上，距O点点 r 处的电场强度处的电场强度 EP；ionEp2、求极化原子作用在离子上的力、求极化原子作用在离子上的力 f。证明不论离子所带电荷为何种符。证明不论离子所带

4、电荷为何种符号，该力都是吸引力；号，该力都是吸引力；3、求离子与原子间有相互作用电势能；、求离子与原子间有相互作用电势能；4、求图、求图 1 中最接近距离中最接近距离 rmin；5、当瞄准距离、当瞄准距离 b 小于某个临界值小于某个临界值 b0 时，离子将会沿一螺线碰到原子。时，离子将会沿一螺线碰到原子。在此情况下，离子被中和，原子将会带电。此过程叫做在此情况下，离子被中和，原子将会带电。此过程叫做“电荷交换电荷交换”相互作用。相互作用。“电荷交换电荷交换”碰撞截面的面积碰撞截面的面积 是多少？是多少？20bA解：解：1、电偶极子在空间任意一点的电场度为、电偶极子在空间任意一点的电场度为302

5、02220220422121 4)1 (1)1 (14)(1)(14rprararqrararqararqE3042)0(rpE) (34130prrprE或或3042)0(rpQEQfp2、离子在电偶极子的延长线上，故离子所受的电场力为、离子在电偶极子的延长线上，故离子所受的电场力为rrQEpion420rrQrrQrQEQfp8442)0(520222030由上式知，无论由上式知，无论Q是正是负，作用力总是引力。是正是负，作用力总是引力。3、离子和电偶极子的相互作用电势能为、离子和电偶极子的相互作用电势能为4202252022328rQdrrQrdfWrr4、求、求r 的最小值的最小值设设

6、t 时刻，离子的速率为时刻，离子的速率为 v ，与原子的距离为，与原子的距离为 rmin ，则由能量守，则由能量守恒和角动量守恒得恒和角动量守恒得4min2022220322121rQmvmvmin0mvrbmvmin0rbvv（1）（2）由（由（1）式得）式得（3）132214min202202202rmvQvv1)(3221)(4min42022022minrbbmvQrb由（由（2）式得）式得016)()(42020222min4minbmvQbrbr2411)(42020222minbmvQbr5、求碰撞截面积。求碰撞截面积。由（由（3）式知，因）式知，因b0，所以所以rmin不能为零

7、。若不能为零。若Q0，该式不失正确性，该式不失正确性，这时这时214202022min4112bmvQbr（3）21min112br（我们（我们在（在（3 3）式根号前取号，可使）式根号前取号，可使），对（，对（3 3）式有）式有214202022min4112bmvQbr（4）brmin由（由（4 4）式知，为保证）式知，为保证 r rminmin为实数，则要求为实数，则要求144202022bmvQ42020224mvQb即即则则4120202204mvQbb21202022204mvQbA 例例：如图所示，圆形真空平板电容器极板半径为：如图所示，圆形真空平板电容器极板半径为R， 板间距离

8、为板间距离为 d (dR) ，极板间接恒压源，极板间接恒压源 V。一。一 半径为半径为r( V th时小圆片将在电容时小圆片将在电容 器两极板器两极板碰撞，恢复系数为碰撞，恢复系数为 vafter/vbefore 。小圆片碰撞后的瞬时速度接近一个小圆片碰撞后的瞬时速度接近一个间上下运动间上下运动(小圆片只做垂直运动，没有小圆片只做垂直运动，没有 摇摆摇摆)，小圆片与极板作非弹性，小圆片与极板作非弹性“稳态速度稳态速度 v s ” ，求，求 v s ；、达到稳态后，如果、达到稳态后，如果q V mgd ，通过，通过电容器极板间电流的时间平均值；电容器极板间电流的时间平均值；、极板间电压极板间电压

9、V 慢慢下降时，存在慢慢下降时，存在一个临界电压一个临界电压 VC ，使电荷在板间停止流动。求，使电荷在板间停止流动。求V C、及对应的电流、及对应的电流 IC。 、求小圆盘上的电量、求小圆盘上的电量20202RdVRERQdVrrErq20202dr20Vq 令令 ，则则、求小圆盘浮起的电圧、求小圆盘浮起的电圧V thmgdVrqdVththe2220221FrdmgVth02 解：解：、2220212RdVdVQF、求小圆盘与下板碰撞后的、求小圆盘与下板碰撞后的“稳定速度稳定速度”vs恢复系数恢复系数：碰前两物相对速度碰后两物相对速度bavv小圆盘上下运动一个来回获静电能：小圆盘上下运动一

10、个来回获静电能：qVw2小圆盘每一次非弹性碰撞后的动能损失：小圆盘每一次非弹性碰撞后的动能损失：222121abkakbkmvmvEEEkakbEE)11()1(22若小圆盘与下板碰撞后的若小圆盘与下板碰撞后的“稳定速度稳定速度”为为vs，则其与下板碰后的动能为：则其与下板碰后的动能为：221sksmvE因此小圆盘向上运动在与上板碰撞前的因此小圆盘向上运动在与上板碰撞前的动能动能为：为：mgdqVEkS小圆盘一个小圆盘一个来回两来回两次碰撞的动能损失为：次碰撞的动能损失为：)(1 (1)E-1(22mgdqVEEKSksk总小圆盘达稳态的条件是：小圆盘从电源获得的电能刚好补偿动能的损失，即小圆

11、盘达稳态的条件是：小圆盘从电源获得的电能刚好补偿动能的损失，即)(1 (1)E-1(222mgdqVEqVKSks解得：解得：mgdmvEsks222221)qV1(21)11(22222mgdqVmvs因此因此gdmdVr222220212)1 (2、小圆盘每个来回携带的电荷量为、小圆盘每个来回携带的电荷量为2q。电荷上升和下降的时间分别为。电荷上升和下降的时间分别为t+、t-，t= t+t-，初速分别为，初速分别为v0+、v0-，加速度分别为，加速度分别为a+、a-。则。则dtatv2021dtatv2021mgdVqmgqEmaF当达到稳态后，当达到稳态后，如果如果qVmgd，则圆盘向上

12、、向下运动是对称的，故，则圆盘向上、向下运动是对称的，故mdqVaaa00tttsvvv0000tavvss这时恢复系数为：这时恢复系数为：，这时时间间隔为：，这时时间间隔为：00)1( 22avtts忽略重力的功，小圆盘稳态动能为：忽略重力的功，小圆盘稳态动能为：qVmvEsks222121将将a0和和vs 代入代入t 得：得：22220211212)1( 22VmdqVmdtt因此因此22232112VVmdtqtQI23211md、电压缓降至、电压缓降至VC时，回路中电流停止流动，试求临界电压时，回路中电流停止流动，试求临界电压VC和相应的和相应的临界电流临界电流IC。小圆盘到达上板速度

13、为零时的电压为临界电压，即。小圆盘到达上板速度为零时的电压为临界电压，即0mgdqVECks01)qV1(22C22mgdqVmgdCmgdVqVCC22211thCCVZrmgdmgdV20222221111下面求临界电流下面求临界电流 IC21)1 ( 2122CZdtatv210dtatv210ggmdqVaC)12(2 t=t+t- , rdmgVth02dr20ggmdqVaC)12(222aa00v)(0tavadt22gdadt)1 (22000tavvadvv22020因因, 故故， ,则则 利用利用、 ，得，得tgdadavt220)1 (2gdttt)1 ()11 (2mg

14、tVtqICC)1)(1 (122222221tad专题二、专题二、电场强度叠加原理电场强度叠加原理iiiiiirrqEE4120rrdqEq420例：例：电偶极子电偶极子电偶极子电偶极子的的电偶极电偶极矩：矩：aqp2 ) 3(3prrprkE1、以点电荷、以点电荷的的场强叠加场强叠加2、以、以典型电荷分布典型电荷分布的的场强叠加场强叠加例例 半径为半径为R的均匀带电球体内外的电场强度的均匀带电球体内外的电场强度rrQE42003034rrRQrE（rR）（rR）半径为半径为R的均匀带电球面的电场强度的均匀带电球面的电场强度rrQE4200E（rR）(r0)无限大均匀带电平（单位面积带电荷无

15、限大均匀带电平（单位面积带电荷） kE220由柱外电场强度公式知：线密度为由柱外电场强度公式知：线密度为的的无限长直线电荷的电场强度为无限长直线电荷的电场强度为rE02请同学们自己用高斯定理证明上式请同学们自己用高斯定理证明上式例如图所示，两个固定的均匀带电球面例如图所示，两个固定的均匀带电球面A和和B分别带电分别带电4Q和和Q（Q0），两球心之间的距离，两球心之间的距离 d 远大于两球的半径，两球心的连线远大于两球的半径，两球心的连线MN与两球面的与两球面的相交处都开有足够小的孔，因小孔而损失的电量可以忽略不计，一带负电相交处都开有足够小的孔，因小孔而损失的电量可以忽略不计，一带负电的质点静

16、止放置在的质点静止放置在A球左侧某点球左侧某点P处，且在处，且在MN直线上。设质点从直线上。设质点从P点释放后点释放后刚好能穿过三个小孔，并通过刚好能穿过三个小孔，并通过B球球心。试求质点开始时所在的球球心。试求质点开始时所在的P点与点与A球球球心的距离球心的距离 x 。 专题三、专题三、电势电势能电势电势能22214rQkrQkr1+r2=ddr321dr312 (3)2144rQqrQqdxQqxQq (4)ddxx914dx) 110(92 dQqkrQqrQqkWS9)4(21)14()4(BBBRdkQqRQqdQqkW dRdB914dx) 110(92因为因为RBWB，所以，所以

17、正确。正确。(1) (5)解得解得(6)(2)(7)(8)负值负值解解由（由（1）、（）、（2）解得）解得例例(27决决)、如图，两块大金属板、如图，两块大金属板A和和B沿竖直方向平沿竖直方向平行放置，相距为行放置，相距为d，两板间加有恒定电压，两板间加有恒定电压U，一表面，一表面涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为m，轻推乒乓球，使之向其中一金属板运动，乒乓球与轻推乒乓球，使之向其中一金属板运动，乒乓球与该板碰撞后返回，并与另一板碰撞，如此不断反该板碰撞后返回，并与另一板碰撞，如此不断反复假设乒乓球与两板的碰撞为非弹性碰撞，其恢复假设乒乓球与两

18、板的碰撞为非弹性碰撞，其恢复系数为复系数为e，乒乓球与金属板接触的时间极短，并，乒乓球与金属板接触的时间极短，并在这段时间内达到静电平衡，达到静电平衡时，乒在这段时间内达到静电平衡，达到静电平衡时，乒乓球所带的电荷量乓球所带的电荷量q与两极板之间电势差的关系可与两极板之间电势差的关系可表示为表示为 q =C0U，其中，其中C0为一常量，同时假设乒为一常量，同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距乓球半径远小于两金属板间距d，乒乓球上的电荷，乒乓球上的电荷不影响金属板上的电荷分布；连接乒乓球的绳子足不影响金属板上的电荷分布；连接乒乓球的绳子足够长，乒乓球的运动可近似为沿水平方向的直线运够长，乒乓球的

19、运动可近似为沿水平方向的直线运动：乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，动：乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空气阻力可忽略试求空气阻力可忽略试求1、乒乓球运动过程中可能获得的最大动能。、乒乓球运动过程中可能获得的最大动能。2、经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。、经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。解：解： 1、根据题意，乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为、根据题意，乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为01kE01v (1) (2)Ucq0 (3)01kE01v (4) (5)第一次碰撞前第一次碰撞前刚碰后第第二二次碰撞前次碰撞前2012UcqUEEkK

20、 (6)mEvk222 (7)第第二二次碰撞次碰撞后后22evv 222222222121kkEevmemvE (8) (9)第第三三次碰撞前次碰撞前20223)1 (UceqUEEkK (10)mEvk332mEevvk3332 (11)第第三三次碰撞次碰撞后后 (12)322322332121kkEevmemvE (13)第第四四次碰撞次碰撞前前204234)1 (UceeqUEEkK (14)mEvk442 (15)以此类推，以此类推，第第n次碰撞次碰撞前、后动能分别为前、后动能分别为202)1(220)2(22111 UceeUceeEnnkn (17) (16)202)1(2220)

21、2(22211 1 UceeeUceeeEnnkn N趋于无穷大，则趋于无穷大，则20211UceEkn20221UceeEkn (18) (19)202max11UceEEkk (20)2、经过足够长时间时、经过足够长时间时(即即n )后后 ，乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下，乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下一次碰撞前的速度分别为一次碰撞前的速度分别为meceUmEvk)1 (2220mecUmEvk)1 (22202vvdt (24) (23) (22) (21)mecedUctqI)1 (2)1 (020原电原电荷在荷在球売球売内内导体球不接地导体球不接地情况如何处理？情况如何处理？专题

22、四、静电场中的导体电容器专题四、静电场中的导体电容器 例例:求求q受的力和受的力和P点的电势点的电势.)()(416)()()(4)()(42244235244222222222222kqRddRdRddqdqdqkbdqqbdqqdqkFdRdRdRdRdRb2 解解:找镜像电荷找镜像电荷qdq受的力为受的力为qdRq球面与平面组合球面与平面组合21221)cos2(rddrr)(4321rqrqrqrqkU2122222cos)(2)(dRrdRrr21224)cos2(rddrrdRb2qdRq2122223cos)(2)(dRrdRrr)cos21cos2cos2cos21(22222

23、2224224rddrrrdRrrdRrddrkqUdRdRdRdRarrU)(0)1 (2222RddRdqdsQ球面例例 用电像法求解空间各处的度用电像法求解空间各处的度22RQkEPr当当R趋于无穷时，有趋于无穷时，有202RQkEEP则则000222EkERQ令令r ) (330prrprkEEzQbp2QRaQ Rab2zQRap223均匀电场用两相距很远的点电荷等效，从而用电像法解均匀电场用两相距很远的点电荷等效，从而用电像法解zEazEakzQRap4120300323 cos3) (303033030zkEarkEarkEprrprkEErraEraEcos3)1 (33033

24、cos3)(000EarErcos)21 (cos3cos)1 (03333033EraraEraEr1、求像电荷的电量和离球心的距离、求像电荷的电量和离球心的距离b；2、求原电荷、求原电荷q受的力；受的力；3、求、求A点的电场点的电场 强度，当强度，当 r a 时时A 点电场的表达式，点电场的表达式，a 取取什么极限值时什么极限值时A点的点的 电场电场 强度为零强度为零(球完全屏蔽球完全屏蔽q 的电场的电场)。图图a图图b5、求、求q与球面上电荷的相互作用静电能；球面上感应电荷间的与球面上电荷的相互作用静电能；球面上感应电荷间的相互作用相互作用静电能和系统的总相互作用静电能。静电能和系统的总

25、相互作用静电能。悬挂着，悬挂点至球心的距离为悬挂着，悬挂点至球心的距离为 l l，不计重力。求电荷不计重力。求电荷q q小振动的频率。小振动的频率。例：例：4、如图、如图b所示，点电荷电量为所示，点电荷电量为q ，质量为，质量为m ，用长为，用长为L的细线的细线解：解：1、B点的电势为点的电势为0)(41120rqrqUBcos2222aRaRrcos2221bRbRr)cos2()(cos222222RbbRqqRaaRB点为球面上的任意点，即对任何点为球面上的任意点，即对任何 角上式恒等，故必有：角上式恒等，故必有：)()(22222bRqqaRRbqqRa2)(aRb2qaRq2、感应电

26、荷对、感应电荷对 q的作用力为：的作用力为：2222020)(41)(41RaRaqbaqqF3、A点的电场强度为：点的电场强度为：raRaraRqrqE )(414122020当当ra 时有时有rraRaaRqrrqaRrraRraaRqrrqE4)(24)1 ( )1 (414130220222020当当 a 趋于趋于R时，时，A点的场强为零，金属球屏蔽了点的场强为零，金属球屏蔽了A点的电场。点的电场。4、A点的电场强度为：点的电场强度为：作用在作用在q 上的力为：上的力为：2222020)(41)(41RaRaqbaqqFcos222lLlLa22222220)cos2(cos241Rl

27、LlLlLlLRqF)sin()cos2(cos24122222220RlLlLlLlLRqF 由右图知由右图知 上式中上式中 角可用角可用 角表示如下：角表示如下：)sincos2arcsin()sinarcsin(22LllLLaL单摆的运动方程为：单摆的运动方程为： FmL 当当 很小很小(小振动小振动)时有：时有：sin1cos则：则：LlLaL)1 (aL将这些关系式公代入单摆运动方程得：将这些关系式公代入单摆运动方程得：sinsinaL)(14)()1 (14022022LllmLRaRLlqaLmLRaRaq5、设球面上的感应电荷有、设球面上的感应电荷有j 个，个，电量为电量为q

28、j，j = 1、2、3、。则。则q q与感应电荷的相互作用静电能为与感应电荷的相互作用静电能为)(4)(4220201RaRqbaqqw0)1 ()(412222022aLRaRaqdtdmL感应电荷间的相互作用静电能为：感应电荷间的相互作用静电能为：njjjrrqbrq1)(841214121412141212202010101102RaRqbaqqarqqbrqqrrqqwNiiiniiiNiNijjjiji当当 r r 与某与某 r ri i重合时有重合时有0arqbrqNiNijjjijirrqqw11024121nijjijjirrqbrq1系统总的电势能为：系统总的电势能为：)(8

29、(42202)220221RaRqRaRqwww3、电介质镜像、电介质镜像法：法：例：求例：求q q受的力受的力电介质界面上电场的边界条件：电介质界面上电场的边界条件：221122121)(16)()2(4hqhqqFnnEE2211cos41cos41cos41222121rqrqrq sin41sin41sin41222rqrqrq 2121q2122 qq q受的力为：受的力为：ttEE21例：求例：求q q1 1受的力受的力21211q21122 q21122q21212 q)2(16)2(4(221112121211212111qqhqhqqqF 例例（29F4) 如图所示，虚线小框

30、如图所示，虚线小框是由是由 2n 个电容联成的有限网络；个电容联成的有限网络；虚线大框是并联的两个相同无限虚线大框是并联的两个相同无限网络。无限网络的结构是：从左网络。无限网络的结构是：从左边第一个电容开始到电路中间，边第一个电容开始到电路中间，每个电容的右极板与两个电容的每个电容的右极板与两个电容的左极板相连，直至无穷；从中间左极板相连，直至无穷；从中间到右边，电路结构与左边电路结到右边，电路结构与左边电路结 构左右对称。电路中所有电容器都是平行板真空电容器，其极板面积为构左右对称。电路中所有电容器都是平行板真空电容器，其极板面积为 S， 板间距离为板间距离为 d ，（，（d）。整个网络与一

31、个内阻可以忽略，电动势为）。整个网络与一个内阻可以忽略，电动势为 的电池相连接。不计电容器边缘效应，静电力常量的电池相连接。不计电容器边缘效应，静电力常量 k 已知。已知。1、若将虚线小方框中标有、若将虚线小方框中标有 a 的电容器的右极板缓慢向右拉动，使其板间的电容器的右极板缓慢向右拉动，使其板间距变为距变为 2d ，求拉动过程中电池所做的功和外力做的功。，求拉动过程中电池所做的功和外力做的功。2、在、在1 的情况下，将一块与电容器极板形状相同的、带电量为的情况下，将一块与电容器极板形状相同的、带电量为 Q 的金属的金属板平行插入板平行插入 a 中，与中，与a 左极板的间距为左极板的间距为

32、x ，求这时，求这时 a 左极板上的电量。左极板上的电量。S1、虚线小框是由、虚线小框是由 2n 个电容两两并联后再串联，设等效总电容个电容两两并联后再串联，设等效总电容Cn，则，则CnCt211nCCt21（1 1）虚线大框无限网络等效电容虚线大框无限网络等效电容C12为为CCCCCt2)814121(212 （2 2）22CCt（3 3）总电容为总电容为kdnSnCCCCCCttttt2)4(422121（5 5）等效电容总电量等效电容总电量kdnSCqtt2)4( （4 4）电容器电容器 a 的极板间距为的极板间距为 2d 时，设时，设2 n 个电容器的总电容为个电容器的总电容为 Ct1

33、，则，则 CCnCt322111) 13(61nCCt（6 6）总电容为总电容为13362121nCCCCCCttttt（7 7）等效电容总电量等效电容总电量kdnSCqtt2)133(3（8 8）kdnnSqqqttt2)4)(133(（9 9）kdnnSCCUtt2)4)(133(2)(21222储能变化为储能变化为（1010）电池作功为电池作功为kdnnSqAt2)4)(133(2外力作功为外力作功为kdnnSAUA2)4)(133(222、设、设 a 的左极板带的左极板带 电电 q，则金属板左侧带电，则金属板左侧带电，右侧带电，右侧带电，a 右极板带电右极板带电，与，与 a 并联的电容器带电为并联的电容器带电为和和。则。则)2(444xdkSQqkxSqkdSqCq （1212）（1111）（1313