材料力学——5梁的弯曲应力

1、15 5 纯弯曲纯弯曲1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力t t弯矩M 正应力s s平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t 横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法、研究方法纵向对称面纵向对称面P1P2例如： 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaAB纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):5LaaFFFFF图SF(+)(-)-FFa(+)M-图图纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形时，梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪横截面上只有弯矩而无剪力（力（ ）。）。0, 0SFM

2、0, 0SFM横力弯曲横力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又有剪力（有剪力（ ）。）。纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲例例:火车轮轴火车轮轴6M1 1、研究对象：、研究对象：等直细长对称截面梁等直细长对称截面梁2 2、前提、前提: :(a)(a)小变形小变形在弹性变形范围内，在弹性变形范围内，(b)(b)满足平面弯曲条件，满足平面弯曲条件， （c c）纯弯曲。）纯弯曲。3 3、实验观察、实验观察: :MM凹边缩短凹边缩短凸边伸长凸边伸长长度保持长度保持不变的纵不变的纵向纤维向纤维横截面上横截面上只有正应只有正应力无剪应力无剪应力力纵向纤维间无挤压作

3、用纵向纤维间无挤压作用 7中性层中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。缩短的曲面。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。4 4、平面截面假设、平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。绕中性轴旋转了一角度。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴8（1 1）变形分布规律）变形分布规律mmnndx1o2oaby变形后变形后y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层中性层 的曲率半径，的曲率半径，21oo纵向纤维纵向纤维ab:变形前变形前 dxooa

4、b21d变形后变形后 ba dy)( ob a dy5-2 梁的弯曲正应力梁的弯曲正应力oo曲率中心，曲率中心，9所以纵向纤维所以纵向纤维ab的应变为的应变为:ababdxddy)(dydy横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y y处的轴向变形规律。处的轴向变形规律。曲率曲率),(1);(则则曲率曲率),(1);(则则.,1yC当当；时0,0y.,maxmax时yy与实验结果相符。与实验结果相符。(a)10（2 2）应力分布规律）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)sEyE对一定材料，对一定材料， E=C； 对一定截面，对一定截面，.1Cys横截面上某点处

5、的应力与此点距中性轴的距离横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y y成比例。成比例。当当；时0,0sy.,maxmaxss时yy与实验结果相符。与实验结果相符。应力为零的点的连线。应力为零的点的连线。M11（3 3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdAss由由 得得0 xFdAsA=0将将(b)(b)式代入，得式代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此因此z z轴通过截面形心轴通过截面形心，即，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。(c)12考

6、虑平衡条件考虑平衡条件MMzydAMAz)(sAdAyE2MdAyEA2MIEzzIzI为截面对中性轴的惯性矩。为截面对中性轴的惯性矩。(e)zyxMdAdAss13可得可得挠曲线的曲率方程挠曲线的曲率方程：zEIM1 为常数，挠曲线为常数，挠曲线是一条圆弧线是一条圆弧线zEI抗弯刚度抗弯刚度。正应力的计算公式为正应力的计算公式为zIMys横截面上最大正应力为横截面上最大正应力为zIMymaxmaxsmax/ yIMzzWMmaxyIWzz截面的截面的抗弯截面模量，抗弯截面模量，反映了截面反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。14简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩

7、12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 矩形截面矩形截面园形截面园形截面15矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：zz 竖放：竖放：,1213bhIz,1213hbIz261bhWzbhhb261hbWz平放：平放：若若hb, 则则 。zzWW 16zd,644dIz,323dWzdzD)(6444dDIz)1 (6444D)(Dd)1 (3243DWz17 注意注意：（1 1）要特别注意）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律的规律，在中性轴上为零，而，在中性轴上为零，而在梁的

8、上下边缘处正应力在梁的上下边缘处正应力最大最大。（3 3）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。的计算式。（2 2）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定确定。18 mNqlMmax3000216000222 图图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载，均布载荷集度荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的号槽钢制成

9、，由型钢表查得横截面的惯性矩惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，）作弯矩图， 求最大弯矩求最大弯矩19 因危险截面上的弯因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzCs s（2）求最大应力）求最大应力MPa178Pa101780152. 0106 .253000681maxmax yIMzTs s20BAl = 3mq=

10、60KN/myxC1mMxkNql5 .678/2( )30zy180120K1.C 截面上K点正应力2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4. C 截面的曲率半径(已知E=200GPa)( )( )FSx90KN90KNkNmM605 . 0160190C 1. 求支反力kNFAy90 kNFBy90 453Z10832. 512mbhI MPa7 .6110832. 510)302180(1060533ZKCK IyMs s（压应力）21BAl = 3mq=60KN/myxC1mMxkNmql5 .678/2( )30zy180120K( )( )FSx90KN90KN2. C 截面

11、最大正应力C 截面弯矩kNmM60C C 截面惯性矩453Z10832. 512mbhI MPa55.9210832. 51021801060533Zmaxmax IyMCCs s22BAl = 3mq=60KN/myxC1mMxkNmql5 .678/2( )30zy180120K( )( )FSx90KN90KN3. 全梁最大正应力最大弯矩kNmM5 .67max 截面惯性矩45310832. 512mbhIz MPa17.10410832. 5102180105 .67533Zmaxmaxmax IyMs s23BAl = 3mq=60KN/myxC1mMxkNmql5 .678/2(

12、)30zy180120K( )( )FSx90KN90KN4. C 截面曲率半径C 截面弯矩kNmM60C C 截面惯性矩453Z10832. 512mbhI m4 .194106010832. 510200359CZC MEI Z1EIM(已知E=200GPa)24 梁的最大正应力梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处Zmaxmax

13、WMs5-3 梁弯曲时的强度条件梁弯曲时的强度条件25 弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxsszWM可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；, ,maxzWMs（2 2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxsMmaxsMWz（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。, ,sZWmaxszWMMmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力26 脆性材料脆性材料抗拉和抗压

14、性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttssmax,ccssmax, 变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzI 注意注意：27作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面ccttssssmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。例题 MPa,160,MPa30ctss28mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩46

15、2323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：29（4 4）B B截面校核截面校核 ttssMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccssMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图kN.m5 .2kN.m430（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttssMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）

16、作弯矩图 ttssMPa2 .27max, ccssMPa1 .46max,kN.m5 .2kN.m4315-4 弯曲时的切应力弯曲时的切应力1.1.矩形截面梁矩形截面梁2.2.工字形截面梁工字形截面梁1SmaxdhF:腹板AFS23maxt32AFS34maxtAFS2maxt3. 3. 圆形、圆环形截面梁圆形、圆环形截面梁33 ttmax梁的剪应力强度条件是：梁的剪应力强度条件是：下列情况须进行剪应力强度校核：下列情况须进行剪应力强度校核： 若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩Mmax可能可能很小而最大剪力很小而最大剪力Fs,max却相对较大，如果据

17、此时的却相对较大，如果据此时的Mmax选择截面尺寸选择截面尺寸,就不一定能满足剪应力强度条件。就不一定能满足剪应力强度条件。 对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高相对于截面高度很小时，横截面上可能产生较大的剪应力。度很小时，横截面上可能产生较大的剪应力。1. 对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力互等定理，在中性层上也同时有互等定理，在中性层上也同时有t tmax作用，因而可能沿作用，因而可能沿中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件。中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件

18、。34解：画内力图求危面内力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x35求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 .

19、 15 . 1maxmaxttAQ365-6 梁的优化设计梁的优化设计弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxsszWM在在s s一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz（一）、选择合理截面（一）、选择合理截面（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：z37（2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。382、根据截面模量选择：、根据截面模量选择： 为了比较各种截面的合理性，以为了

20、比较各种截面的合理性，以 来衡量。来衡量。 越大，越大，截面越合理。截面越合理。AWzAWzAWz截面形状截面形状矩形矩形圆形圆形槽钢槽钢工字钢工字钢0.167h0.125d(0.270.31)h (0.270.31)h(d=h)393、根据材料特性选择：、根据材料特性选择：塑性材料：塑性材料：,ss宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：脆性材料：,ss宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉边拉边压边压边zzIMyIMy21maxmaxss21yyss即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应力同时达到许用