谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成

1、谐运动分析谐运动分析( (三三) )1 1物理学物理学第五版第五版两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与设一质点同时参与两独立的同方向、同频两独立的同方向、同频率的简谐振动：率的简谐振动：11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数12谐运动分析谐运动分析( (三三) )2 2物理学物理学第五版第五版 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍后仍为为同同频率的频率的简谐简谐运动运动)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A2

2、22112211coscossinsintanAAAA谐运动分析谐运动分析( (三三) )3 3物理学物理学第五版第五版too212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxx谐运动分析谐运动分析( (三三) )4 4物理学物理学第五版第五版xto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox谐运动分析谐运动分析( (三三) )5 5物理学物理学第五版第五版（3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA21AAA加强加强减弱减弱小结小结（1）相位差相位差

3、212k) 1 0( ， k（2）相位差相位差) 12(12k) 1 0( ， k谐运动分析谐运动分析( (三三) )6 6物理学物理学第五版第五版 二二 两个相互垂直的同频率的简谐两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹 （椭圆方程）（椭圆方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx谐运动分析谐运动分析( (三三) )7 7物理学物理学第五版第五版（1） 或或2012xAAy12讨讨论论（2） 12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAy

4、Ax谐运动分析谐运动分析( (三三) )8 8物理学物理学第五版第五版tAxcos1)2cos(2tAy（3）2121222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx讨讨论论1A2Aoxy谐运动分析谐运动分析( (三三) )9 9物理学物理学第五版第五版 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图谐运动分析谐运动分析( (三三) )1010物理学物理学第五版第五版 两相两相互垂直同互垂直同频率不同频率不同相位差简相位差简谐运动的谐运动的合成图合成图谐运动分析谐运动分析( (三三) )1111物理学物理学第五版第五版11Axo * *三三 多个同方向同频

5、率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成2A23A3A 多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动 )cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAx谐运动分析谐运动分析( (三三) )1212物理学物理学第五版第五版1A2A3A4Axo5AAxO1A2A3A4A5A6A讨讨论论tAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx),2, 1,(kkNk( (2) )2kN( (1) )2 k),2, 1,0(k0NAAAii0A谐运动分析谐运动分析( (三三) )1313

6、物理学物理学第五版第五版 四四 两个同方向不同频率简谐运动两个同方向不同频率简谐运动的合成的合成谐运动分析谐运动分析( (三三) )1414物理学物理学第五版第五版 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方同方向向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫加强时而减弱的现象叫拍拍. .tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx讨论讨论 , , 的情况的情况 21AA 2112谐运动分析谐运动分析( (三三) )1515物理学物理学第五版第五版合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分 方法一方法一振

7、幅振幅 振动频率振动频率tAtAxxx2211212cos2costtAx22cos)22cos2(12121tAA22cos21212)(211max2AA0minA谐运动分析谐运动分析( (三三) )1616物理学物理学第五版第五版拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）2212T121T12ttAx22cos)22cos2(12121谐运动分析谐运动分析( (三三) )1717物理学物理学第五版第五版 方法二：旋转矢量合成法方法二：旋转矢量合成法021t )( 212xo2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t12谐运动分析谐运动分析( (三三) )1818物理学物理学

8、第五版第五版振幅振幅 振动圆频率振动圆频率2A2x2xAxo1A1x112t1t )(12t2)2cos(2121tAAxxt21cos221拍频拍频12)cos1 (21 AA谐运动分析谐运动分析( (三三) )1919物理学物理学第五版第五版 一一 阻尼振动阻尼振动现象：现象：振幅随时间减小振幅随时间减小原因：原因：阻尼阻尼动力学分析：动力学分析：阻力系数阻力系数maCkxv0dddd22kxtxCtxm阻尼力阻尼力vCFr谐运动分析谐运动分析( (三三) )2020物理学物理学第五版第五版角频率角频率振幅振幅固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2

9、022xtxtxmk0mC 2)cos(etAxt22022022T谐运动分析谐运动分析( (三三) )2121物理学物理学第五版第五版阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线tOxAA)0(TtAtcose220)cos(etAxttAe谐运动分析谐运动分析( (三三) )2222物理学物理学第五版第五版otxabc三种阻尼的比较三种阻尼的比较 ( (c) )临界阻尼临界阻尼220 ( (b) )过阻尼过阻尼 220 ( (a) )欠阻尼欠阻尼220谐运动分析谐运动分析( (三三) )2323物理学物理学第五版第五版 例例 有一单摆在空气（室温为有一单摆在空气（室温为 ）中）中来回摆动来回摆

10、动. 摆线长摆线长 ，摆锤是半径，摆锤是半径 的铅球的铅球.求求（1）摆动周期；摆动周期；（2）振幅减小振幅减小10所需的时间；所需的时间；（3）能量减小能量减小10所需所需的时间；的时间；（4）从以上所得结果说明空气的从以上所得结果说明空气的粘性对单摆周期、振幅和能量的影响粘性对单摆周期、振幅和能量的影响. （已知铅球密度为（已知铅球密度为 ， 时空气的粘度时空气的粘度 ）C20m 0 . 1lm 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C20谐运动分析谐运动分析( (三三) )2424物理学物理学第五版第五版解解（1）10s 13. 3lgvvCrF6r142s

11、 1004. 6492rmC0s 2220220Tm, 0 . 1lm, 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C,20已知已知求（求（1）T谐运动分析谐运动分析( (三三) )2525物理学物理学第五版第五版（3）tAAe1e9.0tAAmin 3s 174)9 . 01ln(1ttAAEE22e)(22e9.0tmin 5 . 1s 872)9 . 01ln(2t已知已知求（求（2）?,9 . 0tAA （3）?,9 . 0tEE （2） 有阻尼时有阻尼时解解m, 0 . 1lm, 100 . 53r33mkg 1065. 2sPa 1078. 15C,20谐

12、运动分析谐运动分析( (三三) )2626物理学物理学第五版第五版驱动力驱动力二二 受迫振动受迫振动tFkxtxCtxmp22cosddddmk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd谐运动分析谐运动分析( (三三) )2727物理学物理学第五版第五版驱动力的驱动力的角频率角频率 tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(ep0tAtAxt2p22p204)(fA2p20p2tan谐运动分析谐运动分析( (三三) )2828物理学物理学第五版第五版三三 共振共振)cos(ptAx22 2220pp()4fA 0ddpAtfxtxtxp2022cosdd2dd)

13、cos()cos(ep0tAtAxt谐运动分析谐运动分析( (三三) )2929物理学物理学第五版第五版PAo共振频率共振频率0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼共振频率共振频率阻尼阻尼0共共 振振 现现 象象 及及 应应 用用22r0|2|共振振幅共振振幅r2202|fA谐运动分析谐运动分析( (三三) )3030物理学物理学第五版第五版振荡电路振荡电路 无阻尼自由电磁振荡无阻尼自由电磁振荡LCSLC 电磁振荡电路电磁振荡电路L0Q+0QCEAL0Q+0QCECLCBBLCBD谐运动分析谐运动分析( (三三) )3131物理学物理学第五版第五版二二 无阻尼电磁振荡的振荡方程无阻尼电磁振荡的振荡方程SA

14、BLC 电磁振荡电路电磁振荡电路)2cos()sin(dd00tItQtqiCqVVtiLBAddtqiddqLCtq1dd22LC12qtq222dd)cos(0tQqLCT2LC谐运动分析谐运动分析( (三三) )3232物理学物理学第五版第五版iq2 无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时间的变化间的变化 )(tO0I20Q)cos(0tQq)2cos(0tIi谐运动分析谐运动分析( (三三) )3333物理学物理学第五版第五版三三 无阻尼电磁振荡的能量无阻尼电磁振荡的能量 在无阻尼自由电磁振荡过程中，电场能在无阻尼自由电磁振荡过程中，电场能量和磁场能量不断的相互转化，其总和保持量和磁场能量不断的相互转化，其总和保持不变不变. .)(cos222202etCQCqE)(sin2)(sin2121220