第5章数字滤波器的基本概念

1、1第第5章章 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 及一些特殊滤波器及一些特殊滤波器25.1 数字滤波器的基本概念（数字滤波器的基本概念（1）n数字滤波器数字滤波器:输入与输出均为数字信号输入与输出均为数字信号,通过一定数值运算通过一定数值运算改变输入信号所含频率成分的相对比例改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分；或者滤除某些频率成分；或者进行信号检测与参数估计或者进行信号检测与参数估计与模拟滤波不同在于信号的形式与滤波的方法与模拟滤波不同在于信号的形式与滤波的方法.n数字滤波器的实现方法数字滤波器的实现方法计算机软件计算机软件专用数字信号处理芯片专用数字信号处理芯片硬件

2、硬件35.1 数字滤波器的基本概念（数字滤波器的基本概念（2）n数字滤波器的可实现性数字滤波器的可实现性因果稳定，系统传输函数的极点在单位圆内因果稳定，系统传输函数的极点在单位圆内实数乘法，系统函数的系数为实数，即零极点须共轭成对出现实数乘法，系统函数的系数为实数，即零极点须共轭成对出现n滤波器的种类滤波器的种类经典滤波器（一般滤波器）：经典滤波器（一般滤波器）：n信号和干扰的频带互不重叠时采用信号和干扰的频带互不重叠时采用现代滤波器：现代滤波器：n（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）n信号和干扰的频带相互重叠时采用信号和干扰的频

3、带相互重叠时采用45.1 数字滤波器的基本概念（数字滤波器的基本概念（3）n经典滤波器经典滤波器功能划分：高通、低通、带通、带阻功能划分：高通、低通、带通、带阻实现方法：实现方法：n无限脉冲响应数字滤波器无限脉冲响应数字滤波器 IIR，包含某种形式的反馈，其系，包含某种形式的反馈，其系统函数为统函数为n有限脉冲响应数字滤波器有限脉冲响应数字滤波器 FIRn特殊滤波器：特殊滤波器：理想滤波器、一阶滤波器、二阶滤波器、数字谐振器、数字陷波器、最理想滤波器、一阶滤波器、二阶滤波器、数字谐振器、数字陷波器、最小相位滤波器、梳状滤波器、正弦波发生器。小相位滤波器、梳状滤波器、正弦波发生器。01( )(

4、)( )1MrrrNkkkb zN zH zD za z10( )( )NnnH zh n z55.2.1理想数字滤波器的特点及分类理想数字滤波器的特点及分类n特点：特点：在滤波器的通带内，幅度为常数，在阻带中幅度为零在滤波器的通带内，幅度为常数，在阻带中幅度为零具有线性相位；具有线性相位；单位脉冲响应为非因果无限长序列单位脉冲响应为非因果无限长序列n理想带通滤波器理想带通滤波器频率响应频率响应幅频特性幅频特性 相频特性相频特性群时延群时延 输入信号所有频率分量的时间延迟相同输入信号所有频率分量的时间延迟相同输出信号的频率响应输出信号的频率响应输出信号输出信号0120|()0j njCeH e

5、其他()jH eC0( )n 0( )( )gdnd 12()()()jjjY eX eH e0( )()y nCx nn6理想低通滤波器理想低通滤波器(1)n频率响应频率响应n幅频特性幅频特性 相频特性相频特性n 为截止频率。为截止频率。n 的低频段内，传输信号无失真的低频段内，传输信号无失真 n滤波器的单位脉冲响应滤波器的单位脉冲响应0|()0|j njcceH ec c O )(j H1O c c ( ( ) ) c|c011( )()22ccj njj nh nH edeed000sin()()()cccnnSannnn7理想低通滤波器理想低通滤波器(2)000sin()( )()()

6、cccnnh nSannnn-50050-0.200.20.4nx(n)8理想滤波器理想滤波器低通高通带通带阻9理想滤波器的可实现性理想滤波器的可实现性n理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统原因：从原因：从h(n)看，看，n0时已有值。时已有值。n近似实现近似实现序列右移序列右移加时域窗，实际的滤波器长度为加时域窗，实际的滤波器长度为N截断效应截断效应n通带幅度不再是常数，产生波动通带幅度不再是常数，产生波动n频谱泄漏，阻带幅度不再是零频谱泄漏，阻带幅度不再是零n产生过渡带产生过渡带( )( )( )NNhnh n Rn1()()()2jjjNN

7、HeH eRe-1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)105.3简单滤波器设计简单滤波器设计n基于零极点配置的的简单滤波器设计方法基于零极点配置的的简单滤波器设计方法n原理：原理：极点极点靠近单位圆，频率响应的峰值越高；极点放在需靠近单位圆，频率响应的峰值越高；极点放在需加强加强的频率的频率点附近点附近零点零点靠近单位圆，频率响应的谷值越小；零点放在需靠近单位圆，频率响应的谷值越小；零点放在需减弱减弱的频率的频率点附近点附近约束条件约束条件n极点在单位圆内

8、，保证滤波器的因果稳定；极点在单位圆内，保证滤波器的因果稳定；n零、极点须共轭成对，保证系统函数系数为实数。零、极点须共轭成对，保证系统函数系数为实数。115.3.1一阶数字滤波器设计一阶数字滤波器设计n滤波器的阶次：系统函数分母多项式的阶数。滤波器的阶次：系统函数分母多项式的阶数。n一阶数字滤波器一阶数字滤波器11( )aHzza211( )2a zHzza3( )zbHzza12零极点的位置与系统的幅频特性（零极点的位置与系统的幅频特性（1）00.511.5200.511.5/(a) 0.9501200.511.5/(b) 0.95,-111( )aHzza211( )2a zHzza-1

9、-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.51Real PartImaginary Part低低通通13零极点的位置与系统的幅频特性（零极点的位置与系统的幅频特性（2）-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5/(d) -0.95,100.20.40.60.811.21.41.61.8200.

10、511.5/(c) -0.9511( )aHzza 211( )2a zHzza 0.95a 高高通通14零极点的位置与系统的幅频特性（零极点的位置与系统的幅频特性（3）n参数与曲线相对应？参数与曲线相对应？3( )zbHzza0.8,1,0,0.7ab -1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part00.510246810/15零极点的位置与系统的幅频特性（零极点的位置与系统的幅频特性（4）1,0.7,0.8,0.9ba 00.20.40.60.8100.20.40.60.81/-1-0.500.51-1-

11、0.500.51Real PartImaginary Partn参数与曲线相对应？参数与曲线相对应？165.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算（一阶低通滤波器带宽的计算（1）n一阶低通滤波器一阶低通滤波器n幅频特性中幅度最大的点幅频特性中幅度最大的点n幅度降到幅度降到-3dB所对应的频率点所对应的频率点211( )2a zHzza000,()1,20lg()0jjH eH edB,20lg()3pjpH edB 2()()()()()0.5pppppjjjjjH eH eHeH eH e22arccos()1paa1pa175.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算（一阶低通滤波器带宽的计算（2）n近

12、似计算近似计算 P119011112()2121jaaH eaa1112()222jjja eaH eea02()220.7072()2jjH eH e1pa211( )2a zHzza18例例5.3.1 设计数字低通滤波器，设计数字低通滤波器，滤除信号中的高频分量滤除信号中的高频分量n解：解：1）变模拟信号为数字信号）变模拟信号为数字信号 采样间隔采样间隔2）滤波器的带宽）滤波器的带宽 低频分量对应的数字频率低频分量对应的数字频率 高频分量对应的数字频率高频分量对应的数字频率 选择滤波器带宽选择滤波器带宽3）滤波器）滤波器( )sin 7sin 200axttt11( )?2a zH zaz

13、amaxmax220.015200TTT7 0.0150.105T 0.20.105radrad10.81110.8( )20.8108zzaH zzz200 0.0153T 19012345-1-0.500.51012345-2-101200.20.40.60.8100.20.40.60.81/205.3.3 二阶数字滤波器二阶数字滤波器n系统函数系统函数n零点零点 0个、个、1个、个、2个；极点个；极点 2个个n参数设计参数设计G 保证幅频特性的最大值为保证幅频特性的最大值为1共轭极点共轭极点共轭零点共轭零点1212()()( )()()zbzbH zGzpzp21零极点位置与滤波器的幅频

14、特性零极点位置与滤波器的幅频特性-101-1-0.500.51Real PartImaginary Part012012345/-101-1-0.500.51Real PartImaginary Part0120510/(0)( )(0.60.5 )(0.60.5 )zH zzjzj(0)(1)( )(0.60.5 )(0.60.5 )zzH zzjzj22-101-101Real PartImaginary Part012012345/-101-101Real PartImaginary Part0120510/-101-101Real PartImaginary Part0120510/(

15、0)( )(0.60.5 )(0.60.5 )zH zzjzj(0)(1)( )(0.60.5 )(0.60.5 )zzH zzjzj(1)(1)( )(0.8 )(0.8 )zzH zzjzj23例例5.3.2 设计二阶数字滤波器的系统函数为，设计二阶数字滤波器的系统函数为，确定确定G和和p，使幅频特性满足：，使幅频特性满足：n解：解： 12( )(1)GH zpz40.32p 2041()1,()2jjH eH e022()1,(1)(1)jGH eGpp2422(1)1()2(1)(1cossin)2244jGpH eppjpjp0n系统函数：系统函数： 120.46( )(10.32)

16、H zz245.3.3 设计带通滤波器，要求设计带通滤波器，要求 是通带中心，在是通带中心，在 两点，两点，频率响应为零；在频率响应为零；在 处，幅度为处，幅度为解：解：1）由通带中心确定极点，）由通带中心确定极点，2）由幅频特性为）由幅频特性为0的频点确定零点的频点确定零点3）系统函数为：）系统函数为：4）确定）确定G5）确定）确定r20,49/ 21,2jprejr 1,21z 22(1)(1)1( )()()zzzH zGGzjrzjrzr2222221112()111jzH eGGGzrrr 212rG422942(1)22cos(8/9)1()412cos(8/9)2jrH err0

17、.7r256）带通滤波器的系统函数为）带通滤波器的系统函数为221( )0.150.7zH zz-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.511.5200.511.5/00.51-2-1012/Angle265.3.4低通到高通的简单变换（低通到高通的简单变换（1）n低通滤波器低通滤波器：通带在通带在 附近附近阻带在阻带在 附近附近n高通滤波器：高通滤波器：通带在通带在 附近附近阻带在阻带在 附近附近00n低通到高通的简单变换低通到高通的简单变换n单位脉冲响应之间的关系单位脉冲响应之间的关系()()()jjhplpHeHe( )( )( 1

18、)( )j nnhplplphnehnhn ( )( 1)( )nlphphnhn 275.3.4低通到高通的简单变换（低通到高通的简单变换（2）n低通滤波器的差分方程为低通滤波器的差分方程为n低通滤波器的传输函数为低通滤波器的传输函数为 n高通滤波器的传输函数为高通滤波器的传输函数为 01( )()()MNkkkky nb x nka y nk011MjkkklpNjkkkb eHa e()00()11( 1)()11( 1)MMjkkjkkkjkkhpNNjkkjkkkkkb eb eHea ea e28n低通滤波器的差分方程为低通滤波器的差分方程为n低通与高通的差别：低通与高通的差别：当

19、当k为奇数时，滤波器的系数加负号为奇数时，滤波器的系数加负号n例例5.3.4 已知低通滤波器已知低通滤波器n求高通滤波器求高通滤波器n解：高通滤波器为解：高通滤波器为 传输函数为传输函数为01( )( 1)()( 1)()MNkkkkkky nb x nka y nk( )0.9 (1)0.1 ( )y ny nx n( )0.9 (1)0.1 ( )y ny nx n 0.1()10.9jhpjHee29-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.51

20、1.5200.511.5/00.511.5200.511.5/305.4 数字谐振器数字谐振器n特点：特点：二阶带通滤波器二阶带通滤波器有一对共轭极点，有一对共轭极点， ，r接近接近1，在，在 处幅频特处幅频特性的幅度最大，相当于发生谐振。性的幅度最大，相当于发生谐振。用于带通滤波器用于带通滤波器n谐振器谐振器11.系统函数系统函数01,2jpre001,2,0jpreb00011( )(1)(1)jjbH zrezrez01220( )1(2 cos)bH zrzr z31nb0保证幅频特性在保证幅频特性在 附近的值为附近的值为1n谐振频率？谐振频率？ 分别是极点到分别是极点到 的矢量长度的

21、矢量长度000000002()(1)(1)(1)(1)jjjjjjbbH ereereerre0020()1(1) 12 cos 2jbH errr200(1) 12 cos 2brrr012()()()jbH eUU12( )( )UUIm zjje00je00210220()(1)12 cos()()(1)12 cos()jjjjUreerrUreerr032n当当n谐振器的精确谐振频率为谐振器的精确谐振频率为n当两个极点接近单位圆时，当两个极点接近单位圆时，n3dB带宽为带宽为n例：例：12,()()minrrrUU201arccoscos2rrrr0r2(1)r00.511.5200.

22、20.40.60.81/0/ 3,0.8,0.95r33-1-0.500.51-1-0.500.512Real PartImaginary Part-1-0.500.51-1-0.500.512Real PartImaginary Part00.511.5200.511.5/00.511.5200.511.5/34谐振器谐振器2n系统函数系统函数n传输函数传输函数b0保证幅频特性在保证幅频特性在 附近的值为附近的值为101,212,1,1jprebb0011011(1)(1)( )(1)(1)jjbzzH zrezrez201220(1)( )1(2 cos)bzH zrzr z0020(1)

23、()(1)(1)jjjjjjbeH ereeree0000000022002(1)(1)()(1)(1)(1)(1)jjjjjjjjbebeH ereereerre0002022cos 2()1(1) 12 cos 2jbH errr200(1) 12 cos 2brrr035-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.511.5200.511.5/-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.511.5200.511.5/0/ 3,0.8,0.95r36比较比较00.511.5200.20.

24、40.60.81/-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part-1-0.500.51-1-0.500.512Real PartImaginary Part00.511.5200.20.40.60.81/谐振频率谐振频率 、带宽、幅度？、带宽、幅度？37例例5.4.1 设计数字谐振器，滤除信号中设计数字谐振器，滤除信号中的低频分量的低频分量( )sin 7sin 200axtttn解：解：1）变模拟信号为数字信号）变模拟信号为数字信号 采样间隔采样间隔2）滤波器的带宽）滤波器的带宽 高频分量对应的数字频率高频分量对应的数字频率 高频分量对应的数字频率

25、高频分量对应的数字频率 滤波器带宽滤波器带宽maxmax220.002200TTT200 0.0020.422TT 0.020.014radrad2(1)0.020.99rr001100011(1)(1)( ),?(1)(1)jjbzzH zbrrezrez7 0.0020.014T 383）滤波器）滤波器4）P1250011011112000.410.412(1)(1)( )(1)(1)(1)(1)(1)(10.99)(10.99)1.82370.9801jjjjbzzH zrezrezbzzbzezezzz0?b 0.40()11/100.49jH eb012345600.20.40.60

26、.81/00.20.40.60.81-1-0.500.5100.20.40.60.81-2-1.5-1-0.500.511.52395.5数字陷波器数字陷波器n特点：特点：二阶滤波器二阶滤波器在在 ，幅频特性的幅度为零，在其它频率点上趋近于零；，幅频特性的幅度为零，在其它频率点上趋近于零；有一对共轭零点有一对共轭零点 ，有一对共轭极点，有一对共轭极点， 离开离开 频率点，使幅频特性的幅度迅速上升；频率点，使幅频特性的幅度迅速上升；用于滤除单频干扰用于滤除单频干扰n系统函数系统函数01,2jze0 01,2jpae0 0000()()( )()()jjjjzezeH zzaezae40-1-0.

27、500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.511.5200.20.40.60.811.2/0/3,0.9a41陷波器的参数与性能（陷波器的参数与性能（1）nA点的幅度为点的幅度为3dB， 为为3dB频率频率n阻带带宽为阻带带宽为n 0000()()( )()()jjjjzezeH zzaezae-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00(),1jAea000000000()()()()()()()()()()122jjjjjjjjjeeeeH eeaeeaell022(1)a00,()1jH e42

28、陷波器的参数与性能（陷波器的参数与性能（2）na的影响的影响00.511.5200.20.40.60.811.2/0.80.95435.6全通滤波器：全通滤波器：n特征：特征：滤波器的幅频特性在整个频带上均等于常数，或为滤波器的幅频特性在整个频带上均等于常数，或为1；信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱随着频率信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱随着频率 改变，起到纯相位滤波的作用。改变，起到纯相位滤波的作用。n传输函数传输函数n系统函数系统函数()()1,02()jjjH eH ee NkkkNkkNkzazazH00)(1,102211N2211azazazaazaza

29、zNNNNN44n二阶滤波器形式二阶滤波器形式n分子、分母的系数相同，但排列次序相反分子、分母的系数相同，但排列次序相反n下面证明其具有全通幅频特性：下面证明其具有全通幅频特性：211221121( )1Liiiiiza zaH za za zNkkkNkkNkzazazH00)()()(100zDzDzzazazNNkkkNkkkN1*()()()jjjz eD zD eD e*()()()1()()jjjj NjjD eD eH eeD eD e45全通系统全通系统 的零极点分布规律的零极点分布规律(2)n极点和零点互为倒易关系。极点和零点互为倒易关系。n如如 为零点，则为零点，则 为极点

30、为极点n因零极点共轭成对出现，如因零极点共轭成对出现，如 为零点，为零点， 为零点；为零点； 且且 为极点为极点n则系统函数可表示为则系统函数可表示为)(1)()()()()()(111kkkNkkkkNkkzHzDzDzzHzDzDzzHkz1kkpzkzkz()11,kkkkpzpz111( )1LkkkzzH zz z46全通系统全通系统 的零极点分布规律的零极点分布规律(3)nN：全通函数的阶数。：全通函数的阶数。n 变化时，相位函数变化时，相位函数 的变化量为的变化量为 。n 不同的不同的N和和 对应对应 各类不同的变换。各类不同的变换。0kz( ) N47线性相位FIR-DFIIR

31、-DF全通DF全通全通DF的作用：经常用于相位均衡。的作用：经常用于相位均衡。485.7最小相位滤波器最小相位滤波器n相位与零极点：相位与零极点：Mjkjj(N M)k 1Njkk 1(e)H(e )Ae(e)zp11( )argarg()MNjjkkkkezepNM 则则零点矢量辐角之和极点矢量辐角之和)(MN -1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part049当某一零点（极点）位于单位圆内，当当某一零点（极点）位于单位圆内，当 从从0变到变到 时，即在时，即在z平面单位圆上正向（逆时针）旋转一周时，零平面单位圆上正向（逆时针）旋转一周时，零失（

32、或极失）变化为失（或极失）变化为 弧度。弧度。当某一零点（极点）位于单位圆外，当当某一零点（极点）位于单位圆外，当 从从0变到变到 时，即在时，即在z平面单位圆上正向（逆时针）旋转一周时，零平面单位圆上正向（逆时针）旋转一周时，零失（或极失）变化为失（或极失）变化为0。所以当所以当 从从0变化到变化到 时，只有单位圆内的零极时，只有单位圆内的零极点对相角有影响。若用点对相角有影响。若用 表示单位圆内与表示单位圆内与单位圆外的零点数，以单位圆外的零点数，以 分别表示单位圆分别表示单位圆内与单位圆外的极点数，内与单位圆外的极点数，则则22210,mmNumNum210mmMNumNum10ppNN

33、umNum10,ppNumNum50因果稳定系统因果稳定系统当当 从从0变到变到 时，时，22111102( )2 ()2 2 ()2 2 2mpmmmNumNumNMNumNNMNumMNum 当当 由由0而增加时，辐角变化为负，故称之为相位而增加时，辐角变化为负，故称之为相位“延时延时”（滞后）系统。又可分为以下三种情况。（滞后）系统。又可分为以下三种情况。1）当全部零点都在单位圆内，则）当全部零点都在单位圆内，则2( )0 此时相位变化最小，称之为最小相位系统。此时相位变化最小，称之为最小相位系统。10mmMNumNum010,ppNumNNum512）当全部零点都在单位圆外，则）当全部

34、零点都在单位圆外，则2( )2 M 此时相位变化最大，称之为最大相位系统。此时相位变化最大，称之为最大相位系统。3）单位圆内外都有零点，则称之为）单位圆内外都有零点，则称之为“混合相位系统混合相位系统”。52最小相位系统在工程理论中较为重要，其主要特点有：最小相位系统在工程理论中较为重要，其主要特点有：（1）任何一个非最小相位系统的系统函数）任何一个非最小相位系统的系统函数H（z）均可以由）均可以由一个最小相位系统一个最小相位系统 和一个全通系统和一个全通系统 级联而成，级联而成，)(minzH)(zHap)()()(minzHzHzHap证明：假设因果稳定系统证明：假设因果稳定系统H（z）仅

35、有一个零点在单位圆外，）仅有一个零点在单位圆外，设该零点为设该零点为z=1,/100zz1*01*001101111)()()(zzzzzzzHzzzHzH)()(minzHzHap1*0011*011)1)(zzzzzzzH53（2）在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统中，最小相位系统的相位延迟（负的相位值）最小。（3）最小相位系统保证其逆系统存在。作用：利用级联全通函数的方法，可将非最小相位系统的零点反射到单位圆内，而构成幅度响应相同的最小相位延时系统。)()(minjjeHeH显然，意义：将系统位于单位圆外的零（极）点 代替时，不会影响系统的幅频响应特性。这一点在滤波器设计中，将单位圆外的极点用其镜像代替，