桥梁结构数值分析理论

1、专题一专题一 桥梁结构数值分析理论桥梁结构数值分析理论桥梁结构分析的有限元法桥梁结构的非线性分析理论 一、概述1850年矩阵符号问世， 1956年Turner 等人将刚架位移法推广应用到弹性力学的平面问题，并在分析飞机结构获得成功现代有限元法在各个领域都得到广泛应用:1.由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题：拱坝、涡轮叶片、飞机、船体及大型桥梁2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题：结构地震、抗风与波浪力、动力反应3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题、土力学与岩石力学问题，疲劳与脆性断裂问题4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热

2、应力问题（焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题6.由工程力学扩展到力学的其它领域（冰川与地质力学、血管与眼球力学等） 传统的杆单元、板单元、块单元、壳单元不断完善，索单元、虚拟层合单元等使得复杂结构分析得以简化. 本章-简述有限元法的基本思路 汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵 桥梁结构分析的有限元法l概概 述述l有限元分析基本步骤有限元分析基本步骤l结构的离散结构的离散l单元刚度矩阵单元刚度矩阵l坐标变换坐标变换l等价集中力和荷载列阵等价集中力和荷载列阵l总刚的形成总刚的形成l边界条件的处理边界条件的处理l线性方程求解线性方程求解

3、概述解析法根据力学原理，建立微分方程，求解边值问题，得根据力学原理，建立微分方程，求解边值问题，得到问题的解析解。到问题的解析解。半解析法在数值分析方法中引入部分解析解或解析函数，得在数值分析方法中引入部分解析解或解析函数，得到问题的近似解。到问题的近似解。数值分析方法数值分析方法一般采用有限元法用程序进行求解。数值分析方法一般采用有限元法用程序进行求解。解析法弹性力学弹性力学平面问题平面问题的求解：的求解：2 2个平衡方程、个平衡方程、3 3个几何个几何方程、方程、3 3个物理方程在具体的边界条件（位移、荷载）个物理方程在具体的边界条件（位移、荷载）下偏微分方程组的数学求解过程。下偏微分方程

4、组的数学求解过程。 700yzxyxyXxyYyxxyxyuxvyvuxy112 1xxyyyxxyxyEEE2211112 1xxyyyxxyxyEEE平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程平面几何方程平面几何方程平面应力问题物理方程平面应力问题物理方程平面应变问题物理方程平面应变问题物理方程将解析与数值方法相结合的方法称为半解析法将解析与数值方法相结合的方法称为半解析法(semi-analytic method) (semi-analytic method) 。它既克服了纯解析的理论。它既克服了纯解析的理论分析在数学上的困难及应用的局限性，又大大降低了分析在数学上的困难及应用的局限性

5、，又大大降低了基于全离散原理的纯数值方法的计算工作量。基于全离散原理的纯数值方法的计算工作量。有线条单元结构的组合单元是沿结构纵向分布的有线条单元结构的组合单元是沿结构纵向分布的“条条”, ,条间纵向用接缝连接，由于正交异性板的纵向条间纵向用接缝连接，由于正交异性板的纵向结构和这种结构和这种“条条”式单元基本一致，故采用此法分析式单元基本一致，故采用此法分析十分有效。十分有效。半解析法 将整个结构看成由有限个力学小单元组成的集合体，用有关将整个结构看成由有限个力学小单元组成的集合体，用有关的参数来表述这些被离散单元的力学性质，而整个结构的力学的参数来表述这些被离散单元的力学性质，而整个结构的力

6、学性质就只这些有限个单元特征的总和。由此来建立力的平衡关性质就只这些有限个单元特征的总和。由此来建立力的平衡关系和变形协调关系，求解杆件的内力。系和变形协调关系，求解杆件的内力。 有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。如果将区域划分成很细的网格，也即单由度问题进行求解。如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。如果单元是满数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。如果单元是满足收敛要求的

7、，近似解最后可收敛于精确解。足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。有限元法有限元分析的基本步骤有限元法分析的实施过程（三个阶段）有限元法分析的实施过程（三个阶段）(1) (1) 前处理阶段（约占整个工作量的前处理阶段（约占整个工作量的60%60%）：）：将整体结构或将整体结构或其一部分简化为理想的数学力学模型，用离散化的单元代其一部分简化为理想的数学力学模型，用离散化的单元代替连续实体结构或求解区域；替连续实体结构或求解区域；(2) (2) 分析计算阶段分析计算阶段（约占整个工作量的（约占整个工作量的10%10%）：运用有限元运用有限元法对结构离散模型进行分析计算；法对结构离散模型进行分析计

8、算；(3) (3) 后处理阶段后处理阶段（约占整个工作量的（约占整个工作量的30%30%）：对计算结果进对计算结果进行分析、整理和归纳。行分析、整理和归纳。二、桥梁结构有限元法的分析过程 结构有限元法的分析过程六个步骤：（1）结构的离散化 将要分析的桥梁结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。（2）选择位移模式 假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系式：:例如分析对例如分析对象是象是桁架桥桁架桥时，时，可以取每根可以取每

9、根杆杆件作为一个单件作为一个单元元，因为桁架，因为桁架桥本来就是由桥本来就是由杆件组成的。杆件组成的。但如果分析的但如果分析的对象是连续体，对象是连续体，如如板桥，板桥，那末那末为了有效地逼为了有效地逼近实际的连续近实际的连续体，就需要考体，就需要考虑选择虑选择单元的单元的形状和分割方形状和分割方案以及确定单案以及确定单元和结点的数元和结点的数目等问题目等问题。:选择适当的位选择适当的位移函数是有限单移函数是有限单元法分析中的关元法分析中的关键。通常键。通常选择多选择多项式项式作为位移模作为位移模式。其原因是因式。其原因是因为多项式的为多项式的数学数学运算（微分和积运算（微分和积分）比较方便分

10、）比较方便，并且由于所有光并且由于所有光滑函数的局部，滑函数的局部，都可以用多项式都可以用多项式逼近。逼近。至于多项至于多项式的项数和阶次式的项数和阶次的选择，则要考的选择，则要考虑到单元的自由虑到单元的自由度和解的收敛性度和解的收敛性要求要求。一般来说，。一般来说，多项式的多项式的项数应项数应等于单元的自由等于单元的自由度数度数，它的阶次，它的阶次应包含常数项和应包含常数项和线性项等。这里线性项等。这里所谓单元的所谓单元的自由自由度是指单元结点度是指单元结点独立位移的个数独立位移的个数。eNf（3 3）分析单元的力学特性）分析单元的力学特性 利用几何方程利用几何方程，由位移表达式导出用结点位

11、移表示单元应变，由位移表达式导出用结点位移表示单元应变eB 利用本构方程利用本构方程，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力 eBD 利用变分原理利用变分原理，建立单元的平衡方程，建立单元的平衡方程eeeKF00zyxBDBKTeddd0 单元坐标系与结构坐标系不一致时，需用坐标转换单元坐标系与结构坐标系不一致时，需用坐标转换0TKTKeTe 单元刚度矩阵是单元刚度矩阵是单元特性分析单元特性分析的的核心内容核心内容（4 4）建立整个结构的平衡方程）建立整个结构的平衡方程 两个方面：两个方面：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；一是

12、将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。常用方法常用方法-直接刚度法直接刚度法 集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移相等。整个结构的平衡方程相等。整个结构的平衡方程FK（5 5）求解未知结点位移）求解未知结点位移 考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点，考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点，选择合适的计算方法，可解出未知位移。选择合适的计算方法，可解出未知位移。（

13、6 6）计算单元应力及所需要的结果）计算单元应力及所需要的结果 利用已求出的结点位移，计利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。 结构的离散对象离散方法对象离散方法 自然离散（桁架）自然离散（桁架） 逼近离散（连续体）逼近离散（连续体） 青岛海湾大桥大沽河航道桥索鞍单元和边界模拟索鞍单元和边界模拟吊索与主缆和加劲梁的连接模拟吊索与主缆和加劲梁的连接模拟临时墩模拟临时墩模拟施工索塔、桥墩、临时墩施工索塔、桥墩、临时墩 架设加劲梁架设加劲梁 架设主缆架设主缆 吊索张拉过程吊索张拉过程 吊索张拉完毕吊索张拉完毕 成桥成桥 西安浐灞生态区

14、2#桥 西安浐灞生态区西安浐灞生态区2#桥，异形斜拉主桥结构形式为斜独塔斜桥，异形斜拉主桥结构形式为斜独塔斜拉桥，拉桥， 半飘浮体系。跨径布置为半飘浮体系。跨径布置为145米米+48米米+42米，其中米，其中145米为钢箱梁主跨。米为钢箱梁主跨。有限元模型有限元模型 1XYZ FEB 10 201009:28:57VOLUMESTYPE NUMACEL1XYZ FEB 10 201010:01:50ELEMENTS锚具与锚体锚具与锚体锚具与散索锚具与散索钢箱梁钢箱梁钢钢锚梁锚梁111XYZtdmgd APR 7 201020:52:04VOLUMESTYPE NUM111XYZtdmgd MA

15、R 25 201015:15:18VOLUMESTYPE NUM111XYZthe analyse of pylon tower APR 6 201001:19:45ELEMENTS1XYZ OCT 13 201015:30:28ELEMENTSUROTTEMPVOLTMAG1MNMX11XYZgxmgd -.131E+08-.537E+07.234E+07.100E+08.178E+08.255E+08.332E+08.409E+08.486E+08.563E+08NOV 16 201010:47:24NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =1TIME=1S1 (AVG)DMX =

16、.450E-03SMN =-.131E+08SMX =.563E+08预应力钢束形心轴hcrc rc r中跨l c rc r形心轴刚臂上弦杆预应力钢束主梁下弦杆斜压梁形心轴（b）引入裂缝统计特征后的斜裂缝分布混凝土损伤评估混凝土损伤评估剪弯曲段模拟剪弯曲段模拟其它示例其它示例其它示例其它示例单元刚度矩阵35ziwiyxjyiuiwjyjujxjNyjMzjVxiNyiMjziVi平面梁单元平面梁单元回顾平面梁单元刚度矩阵1）平面梁单元刚度矩阵36图图2 2所示两结点梁单元，每个节点有三个位移所示两结点梁单元，每个节点有三个位移: :两个线位移两个线位移u、w一个角位移一个角位移。两个节点共有六

17、个位移，组成节点位移列阵：。两个节点共有六个位移，组成节点位移列阵： Tiiyijjyjuwuw eTxiyiyixjyjyjFNVMNVM eeeFK 用一般的结构力学方法可以求得结点力与结点位移之间的用一般的结构力学方法可以求得结点力与结点位移之间的关系为：关系为：局部坐标系下的刚度矩阵局部坐标系下的刚度矩阵 eKe-elemente-element32322232322212612664621261266264eiijeiiijjeiiijjejijejiijjejiijjEAEANuullEIEIEIEIQwwllllEIEIEIEIMwwllllEAEANuullEIEIEIEIQw

18、wllllEIEIEIEIMwwllll 37单元的六个杆端力与六个杆端位移关系 323222323222e000012612600646200000012 1 11 1 61260062641001iiijjjiEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllKEAEAllEIEIEIEIullllEIEIEwuwIEIllluwl iijjjuw 38坐标变换39 为了在整体坐标系中集合单元刚度矩阵，要把局部坐标系为了在整体坐标系中集合单元刚度矩阵，要把局部坐标系中的单元刚度矩阵转换到整体坐标系中去。为此，要先求出坐中的单元刚度矩阵转换到整体坐标系中去。为此，要先求出坐标转换矩

19、阵。标转换矩阵。图4.1-3设杆i、j在整体坐标系中的位置如图。杆轴方向与整体坐标系的轴之间的夹角为。设局部坐标系中的杆端结点力向量为 ： iyjyiijjeTeFNVNVMM TiiiyjjjyFNVMNVM在整体坐标系中的结点力向量为 R40 1TRR两者存在着下列转换关系：式中坐标转换矩阵，它是一个正交矩阵，即有 cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001R eFR F坐标转换系数矩阵平面梁的坐标转换系数矩阵平面梁的坐标转换系数矩阵同理，结点位移在两种坐标系中存在着相同的转换关系，即：e 式中局部坐标系中的结点位移向量整体坐标

20、系中的结点位移向量 Tiiiyjjjyuwuw Tiiiyjjjyeeuwuw在局部坐标系中有刚度方程在局部坐标系中有刚度方程 eeeFK41 eR坐标转换系数矩阵将式将式代入上式可得代入上式可得 eTFRKR令 FK则这就是整体坐标系中的66阶单元刚度矩阵。 42 eR eFRF eTKRKR坐标转换系数矩阵等价集中力及荷载列阵43 MM1122M3M3MM01M0203M01020312123MMM - MM - MM - M 如果在单元内有非节点荷载，就不可能直接建立结构刚度方程，如果在单元内有非节点荷载，就不可能直接建立结构刚度方程，因为结构刚度方程表示的是节点力的平衡方程。因为结构刚

21、度方程表示的是节点力的平衡方程。 下图所示结构下图所示结构具有具有3 3个节点，个节点，2 2个单元，个单元， 、 、 为节点荷载，为节点荷载， 、 为非为非节点荷载节点荷载。单元内有非节点荷载作用的连续梁单元内有非节点荷载作用的连续梁1M2M3MM M 44 要解决这个问题，需用等效节点荷载来代替非节点荷载来要解决这个问题，需用等效节点荷载来代替非节点荷载来分析整体结构受力，处理原则为在等效节点荷载作用下的结构分析整体结构受力，处理原则为在等效节点荷载作用下的结构节点位移与实际荷载作用下结构的节点位移应相等。具体可按节点位移与实际荷载作用下结构的节点位移应相等。具体可按如下步骤处理：如下步骤

22、处理：(1)(1)求等效节点荷载求等效节点荷载计算非节点荷载的等效节点荷载时可分两步进行：计算非节点荷载的等效节点荷载时可分两步进行：第一步：在各节点加上约束，阻止节点发生位移，计算结构上第一步：在各节点加上约束，阻止节点发生位移，计算结构上所有非节点荷载的效应，其中所有非节点荷载的效应，其中 、 、 为非结点荷载在增为非结点荷载在增加的约束中引起的反力加的约束中引起的反力( (弯矩弯矩) )。单元单元(1)(1)、(2)(2)产生的固端力矩产生的固端力矩( (加脚标加脚标0 0表示固端力矩表示固端力矩) )为：为： ， 01M02M03M (1)(1)000ijMMM (2)(2)000ij

23、MMM 45 各节点增加的约束中的反力分别为与该节点相关联单元各节点增加的约束中的反力分别为与该节点相关联单元的固端力矩之和：的固端力矩之和： 第二步，第二步，去掉各节点的约束，相当于在各节点施加外力矩去掉各节点的约束，相当于在各节点施加外力矩向量向量P-M0；再叠加上原有的节点荷载再叠加上原有的节点荷载 、 、 ，总，总的节点荷载图所示。的节点荷载图所示。 (1)010(1)(2)00200(2)030ijijMMMMMMMM 1M2M3M46 (2)(2)求各杆端弯矩求各杆端弯矩 连续梁在非节点荷载作用下的杆端弯矩由两部分组成，一连续梁在非节点荷载作用下的杆端弯矩由两部分组成，一部分是在节

24、点加阻止位移的约束时非节点荷载作用下的杆端弯部分是在节点加阻止位移的约束时非节点荷载作用下的杆端弯矩，另一部分是在等效节点力荷载作用下的杆端弯矩。矩，另一部分是在等效节点力荷载作用下的杆端弯矩。 将两部分杆端力进行叠加，即得非节点荷载作用下各杆的杆将两部分杆端力进行叠加，即得非节点荷载作用下各杆的杆端弯矩。端弯矩。 0111202122eeeeiiijjjMMkkMMkk 2 , 1e这种转换的理论基础是：在某任意位移下，真实分布力和这种转换的理论基础是：在某任意位移下，真实分布力和等价集中力所做的虚功相等。等价集中力所做的虚功相等。等效等效节点节点荷载荷载总刚的形成 通过整体分析，建立了节点

25、的平衡方程，即结构的刚通过整体分析，建立了节点的平衡方程，即结构的刚度方程，从而得到结构刚度矩阵。但是，要实现电算，不可能度方程，从而得到结构刚度矩阵。但是，要实现电算，不可能对每一具体结构都作一次总体分析，而应该找一种规律，在确对每一具体结构都作一次总体分析，而应该找一种规律，在确定了节点位移和荷载的排序后，使计算机能够直接由单元刚度定了节点位移和荷载的排序后，使计算机能够直接由单元刚度矩阵集成结构刚度矩阵，从单元刚度方程得到结构的刚度方程，矩阵集成结构刚度矩阵，从单元刚度方程得到结构的刚度方程，这一方法称为直接刚度法。这一方法称为直接刚度法。下面下面回顾下回顾下用用直接刚度法直接刚度法直接

26、由单直接由单元刚度矩阵集成结构刚度矩阵的过程元刚度矩阵集成结构刚度矩阵的过程。(1)(1)确定结构刚度矩阵的阶数确定结构刚度矩阵的阶数49结构刚度方程中第结构刚度方程中第i行，表示该结构第行，表示该结构第i个位移分量上力的个位移分量上力的平衡方程，因此，如果结构有平衡方程，因此，如果结构有N个独立位移分量，就可列出个独立位移分量，就可列出N个独立平衡方程，结构刚度矩阵就是个独立平衡方程，结构刚度矩阵就是N NN N阶的。本例有阶的。本例有3 3个个独立的位移分量，故总刚必然为独立的位移分量，故总刚必然为3 33 3阶的，写成：阶的，写成： 123111213121222323132333 kk

27、kKkkkkkk 50(2)(2)确定单元刚度矩阵中元素与结构刚度矩阵中元素的关系确定单元刚度矩阵中元素与结构刚度矩阵中元素的关系若将单元刚度矩阵下标写成位移分量编号的形式。若将单元刚度矩阵下标写成位移分量编号的形式。单元单元1 1： ,单元单元2 2： ,有：有： ， ， ， ， ， ， ， 。 11122122111111212 kkkkk 1i2j2i3j 22233233222223232 kkkkk 11111kk11212kk013k12121kk22212222kkk22323kk031k23232kk23333kk，51可见，若将单元刚度矩阵中元素下标写成位移分量编号的可见，若

28、将单元刚度矩阵中元素下标写成位移分量编号的形式，则结构刚度矩阵中任一刚度元素与单元刚度矩阵中元素形式，则结构刚度矩阵中任一刚度元素与单元刚度矩阵中元素有如下关系：有如下关系：因此，用直接刚度法集成总刚，可归纳为以下几步因此，用直接刚度法集成总刚，可归纳为以下几步式中：式中： e- e-单元号，单元号， ne - ne -结构单元总数结构单元总数因此，用直接刚度法集成总刚，可归纳为以下几步：因此，用直接刚度法集成总刚，可归纳为以下几步：结构未知量进行编号，确定各未知量在结构刚度方程中结构未知量进行编号，确定各未知量在结构刚度方程中 的位置的位置( (行号行号) )；确定结构刚度矩阵的阶数确定结构

29、刚度矩阵的阶数N N；对单元对单元e e进行循环，寻找进行循环，寻找e e单元刚度矩阵中各元素下标对单元刚度矩阵中各元素下标对应于整体刚度方程中的未知量编号；并按此编号，根据应于整体刚度方程中的未知量编号；并按此编号，根据上上式分式分别叠加到结构总体刚度矩阵中的对应位置上去。别叠加到结构总体刚度矩阵中的对应位置上去。，1neeijijekk 对单元循环完毕时，结构刚度矩阵就形成了。形成结构刚对单元循环完毕时，结构刚度矩阵就形成了。形成结构刚度矩阵是有限元分析过程中十分重要的环节，为了节约计算机度矩阵是有限元分析过程中十分重要的环节，为了节约计算机存储空间，加快刚度方程求解速度，还必须了解结构刚

30、度矩阵存储空间，加快刚度方程求解速度，还必须了解结构刚度矩阵具有如下性质：具有如下性质：结构刚度矩阵是结构刚度矩阵是N NN N阶的方阵，阶的方阵，N N为结构的未知量总数。为结构的未知量总数。结构刚度矩阵是对称阵，即结构刚度矩阵是对称阵，即 ，这一性质由力，这一性质由力- -位位移互等定理决定。移互等定理决定。处于同一单元上的两个未知量称相关未知量。若两个未处于同一单元上的两个未知量称相关未知量。若两个未知量不相关，则知量不相关，则 。由式。由式(13)(13)可知，两个未知量不相关，可知，两个未知量不相关，就没有单元刚度矩阵贡献，因此就没有单元刚度矩阵贡献，因此 ，如本例，如本例中中 ;

31、;，ijjikk 0ijk 0ijk 13310kk结构刚度矩阵为带状矩阵，其非结构刚度矩阵为带状矩阵，其非0 0元素分布在主对角线元素元素分布在主对角线元素附近。附近。结构刚度矩阵是稀疏阵，非结构刚度矩阵是稀疏阵，非0 0元素很少。对于较大规模的结元素很少。对于较大规模的结构，结构刚度矩阵中的非构，结构刚度矩阵中的非0 0元素只占总元素的元素只占总元素的10%10%左右。左右。结构刚度矩阵是非负定矩阵，即对任意不为结构刚度矩阵是非负定矩阵，即对任意不为0 0的的N N维向量维向量 有：有： 。， x 0TxKx 边界条件的处理 在建立了结构的整体刚度矩阵后，可进一步求结在建立了结构的整体刚度

32、矩阵后，可进一步求结点位移，但是此时结构未引入边界条件（支承条件），点位移，但是此时结构未引入边界条件（支承条件），是一个悬空结构，如果荷载是一个悬空结构，如果荷载P本身不是平衡力系，则本身不是平衡力系，则这个悬空结构显然无法维持平衡，因而在静力学中无这个悬空结构显然无法维持平衡，因而在静力学中无法求出它的内力和位移；如果荷载法求出它的内力和位移；如果荷载P本身是平衡体系，本身是平衡体系，则这个悬空结构还可以做刚体运动。则这个悬空结构还可以做刚体运动。 整体刚度矩阵整体刚度矩阵K是一个奇异矩阵，只有引入是一个奇异矩阵，只有引入一定的支承条件后修改整体刚度矩阵，使之成为一定的支承条件后修改整体刚

33、度矩阵，使之成为非奇异矩阵，才可以求出结点位移。也就是只有非奇异矩阵，才可以求出结点位移。也就是只有当结构加上几何约束排除刚体位移，才能解出全当结构加上几何约束排除刚体位移，才能解出全部位移分量。所以，在求解结点位移之前，必须部位移分量。所以，在求解结点位移之前，必须对结构进行边界条件处理。对结构进行边界条件处理。在结点1、2加上固定支座，于是，在结点1、2的6个位移分量为0，结点位移未知量只有结点3、4的6个位移分量，因此结构要求的位移分量只有6个。因此平衡方程式可以写成： 直接法1342123121112131411212223242233331323334444414243440,000

34、=KKKKFPKKKKFPFPKKKKFPKKKK为了求解结点为了求解结点3、4的的6个位移分量，可以从上面方程中直个位移分量，可以从上面方程中直接划去前面两个方程得到：接划去前面两个方程得到：33334434334444333433434444=KKPKKPKKPKKP即这种方法称为这种方法称为直接法直接法。直接法的特点：直接法的特点：（1 1）直观；）直观；（2 2）矩阵的规模小；）矩阵的规模小；（3 3）结点编号和排序改变，不利于计算机的规）结点编号和排序改变，不利于计算机的规范化处理。范化处理。为了便于编制计算程序，希望修改后的矩阵仍然保留原为了便于编制计算程序，希望修改后的矩阵仍然保

35、留原矩阵的阶数和排列顺序，因此，将矩阵写成如下形式：矩阵的阶数和排列顺序，因此，将矩阵写成如下形式：1233343343444400000000=0000IIKKPKKP支承条件各式各样，有固结、铰接（固定支座、活动支支承条件各式各样，有固结、铰接（固定支座、活动支座），需分别处理。座），需分别处理。1. 结点位移为结点位移为0的情况（如的情况（如uk=0） 将总刚将总刚K中的第中的第3k-2行的主元素置为行的主元素置为1，将，将3k-2行、行、3k-2列的其它元素划列的其它元素划0。然后，将方程组的右端荷载列阵。然后，将方程组的右端荷载列阵中相应的行改为中相应的行改为0。2. 结点位移为一已

36、知量的情况（如结点位移为一已知量的情况（如vk=b) 将总刚将总刚K中的第中的第3k-1行的主元素置为行的主元素置为1.将将3k-1行、行、3k-1列的其它元素划列的其它元素划0。将方程组的右端荷载列阵中相应的。将方程组的右端荷载列阵中相应的行改为行改为b。 置1划0法1. 结点位移为结点位移为0的情况（如的情况（如uk=0） 将总刚将总刚K中的第中的第3k-2行的主元素乘以一个足够大的行的主元素乘以一个足够大的大数大数A0，其余元素不变，将方程组的右端荷载列阵中相，其余元素不变，将方程组的右端荷载列阵中相应的行改为应的行改为0。2. 结点位移为一已知量的情况（如结点位移为一已知量的情况（如v

37、k=b) 将总刚将总刚K中的第中的第3k-2行的主元素乘以一个足够大的行的主元素乘以一个足够大的大数大数A0（如（如1018），其余元素不变，将方程组的右端荷），其余元素不变，将方程组的右端荷载列阵中相应的行改为主元素乘以载列阵中相应的行改为主元素乘以b，即，即 。 对角元素乘大数法线性方程的求解 高斯消去法高斯消去法 对称正定矩阵方程组的平方根法对称正定矩阵方程组的平方根法 高斯消去法 平方根法桁架桥结构分析 桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁架杆即为一个单元。取结构坐标系（ ），单元坐标系（ ），则单元结点位移列阵和结点力列阵分别为zyx,000,zyxTjjjii

38、iewvuwvu,TzjyjxjziyixieFFFFFFF,eeeeekkkkK00000 0000000010lEAke00ttTxxzyxzyxxxyzyxllaalaalalaaaat / / 0 / /单元坐标系下单元刚度矩阵和坐标转换矩阵为经运算，在结构坐标系单元刚度矩阵为eeeeekkkkK 222 zzyzxyyxxeaaaaaaaaalEAk对称其中： 在初步设计时，可将空间问题简化为平面问题，用平面桁架来计算，如图所示。这时y方向变位被取消，结点位移列阵 结点力列阵 单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但分块矩阵项 Tjjiiewuwu,TzjxjzixieFFFFF,00

39、010lEAke结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但 22scscsclEAke 平面桁架及其单元梁式桥结构分析多梁式简支、连续及悬臂梁桥，可取板梁组合单元，也可取抗扭梁单元。如图所示，此种梁单元的结点位移列阵为结点力列阵为 Tyjxjjyixiieww,TyjxjzjyixizieMMFMMFF,梁式桥及其单元lEIlEIlEIlEIlGJl-GJlEIlEIlEIlEIlEIlGJlEIKyyyyyyyyye/4 0 6 2 0 6 0 0 0 12 6 0 12 4 0 6 0 1222223230对称00ttTcssct0000 1 单元刚度矩阵梁及其单元 单梁式梁桥，单元坐标系和结

40、构坐标系一致（下图），去掉扭转位移，单元结点位移向量可写为Tjjiieww,结点力列阵 TyjzjyizieMFMFF,2 3 1 36/ 3 62 3 622220/lll/lllllEIKKyee/对称单元刚度矩阵 如果考虑剪切变形影响时，梁单元刚度矩阵 14 16 12 16 112 16 112 14 16 112222zzzzzzzzzzzzzellllllllEIK)()()()()()()(对称 为剪切影响系数212lGAEIzyz/为杆截面沿 轴方向的有效抗剪面积材料抗剪模量 zAzG其中： 分析悬臂梁桥时，会遇到一端铰接另一端刚接的梁单元，单元结点位移列阵 Tjiieww,T

41、zjyizieFMFF, 1 3212120llllllEIKKyee对称铰接悬臂梁铰接悬臂梁单元单元刚度矩阵结点力列阵刚架桥结构分析刚架桥结构分析 空间梁单元是分析刚架桥的常用单元，如图所示，单元两端各有6个自由度，结点位移列阵Tjzjyjxjjjiziyixiiiewvuwvu,空间梁单元结点力列阵TzjyjxjzjyjxjziyixiziyixieMMMFFFMMMFFFF,单元刚度矩阵 24 0 0 0 0 26- 0 2 0 0 0 26 04 0 26 - 0 0 0 0 2 0 26 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 12 0 0 0 26- 0 312 - 0 03

42、12 0 26 - 0 0 0 312 - 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 26 - 0 4 0 26- 0 0 0 0 0312 0 0312 00lzEIlzEIlyEIlyEIlyEIlzEIlyEIlyEIGJ/l-GJ/llyEIlzEIlyEIlzEIlzEIlzEIAE/llzEIlzEIlyEIlyEIGJ/llyEIlzEIeKlAElAE/对称考虑剪切变形影响的单元刚弯矩阵 14 0 0 0 126- 0 12 0 0 0 126 014 0 126 0 0 0 12 0 126- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01312 0 0 0 126- 0 1312-

43、 0 01312- 0 126- 0 0 0 1312- 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 126- 0 14 0 126- 0 0 0 0 01312 0 01312 00)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(ylzEIyylzEIylzEIyylzEIzlyEIzzlyEIzlyEIzzlyEIlGJlGJzlyEIzlyEIzlyEIylzEIylzEIylzEIlEAlEAylzEIyylzEIylyEIzzlyEIlGJzlyEIylzEIlEIek对称单梁式刚架桥可按平面刚架进行分析，单元结点列阵lEIlEI

44、lEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEAKyyyyyyyyyye/6 6 0 2 6- 0 12 0 6- 12 0 0 0 4- 6- 012 0 22323230对称刚架桥及其单元 ,eTiiijjju wu w ,eTxiziyixjzjyjFFFMFFM结点荷载列阵单元刚度矩阵单元刚度列阵桥梁专用有限元程序介绍n平面杆系程序（1）Doctor Bridge同济大学 桥梁博士系统是一个集可视化数据处理、数据库管理、结构分析、打印与帮助为一体的综合性桥梁结构设计与施工计算系统。系统的编制完全按照桥梁设计与施工过程进行，密切结合桥梁设计规范，充分利用现代计算机技术，

45、完全符合设计人员的习惯。对结构的计算是宁繁勿简，充分考虑了各种结构的复杂组成与施工情况，使用方便，计算精确。 系统充分利用Windows平台的特点：标准一致的用户界面、多任务系统、鼠标的点取和强大的设备支持特性。另外，Dr.Bridge系统改用面向对象程序编制方法，使得用户对系统的干预大大加强，便于处理各种复杂情况。 软件可以计算除悬索桥以外的大多数桥梁，如钢筋混凝土及预应力混凝土简支梁、连续梁、刚构桥、系杆拱桥、桁架梁、斜拉桥等多种桥梁。而且提供斜弯桥及异型桥计算模块，可以采用梁格法计算斜桥、弯桥和异性桥梁。（2）公路桥梁结构设计系统GQJS交通部公路科研院 公路桥梁结构设计系统（汉语拼音缩

46、写为GQJS）于98年8月正式推出Windows版，该版本称为GQJS 4.0。其前身是由交通部组织行业专家联合开发的桥梁综合程序 GQZJ (参见 陆楸、王春富、冯国明 编公路桥梁设计电算上、下册（桥梁上部结构） 人民交通出版社 1983年6月)。GQZJ程序1978年投入试用，1980年通过原交通部公路总局的技术鉴定。该系统在公路系统推广应用20年多年来，历经许多桥梁界计算机专家的修改完善，在工程上得到广泛的使用与验证。在转为Windows版时定名为公路桥梁结构设计系统GQJS。因新的系统已不仅仅是单纯进行结构分析，还包括的动态可视化的数据前处理界面、数据图形检验、结果图形浏览和检索、预拱

47、度设置、施工图绘制等一系列的设计功能。它改变了过去桥梁结构计算只能以文本文件操作方式进行的老模式，并对桥梁综合程序输入数据结构做了改造，特别改变了单元坐标和预应力信息数据表达方式，使数据结构大为简化。软件操作改为在仿Office的软件界面的全新操作方式， 输入数据、结构计算、察看计算结果集成于同一界面系统之中。（3）MIDAS/Civil MIDAS/Civil是目前最先进的土木结构分析系统,它对预应力箱型桥、悬索桥、斜拉桥、水化热分析等土木建筑的分析中所需要的各种功能进行了综合的考虑。 在计算机技术方面，MIDAS/Civil所使用的是客体指向性计算机语言Visual C+，因此可以充分地发

48、挥32bit视窗环境的优点特点。 以用户为中心的输入输出功能使用的是精确而且直观的用户界面和尖端的电脑图形技术，从而为考虑施工阶段或者材料时间依存性的土木建筑物的建模和分析提供了很大的便利。 在结构设计方面，MIDAS/Civil全面强化了实际工作中结构分析所需要的分析功能。通过在已有的有限元库中加入索单元、钩单元、间隙单元等非线性要素，结合施工阶段、时间依存性、几何非线性等最新结构分析理论，从而计算出更加准确和切合实际的分析结果。 建模技术采用的是自行开发的新概念CAD形式的建模技术，可以更加提高建模效率。特别是由于拥有如结构建模助手等高效自动化建模功能，所以只要输入截面形状、桥梁特点、预应

49、力桥的钢束位置等基本数据，就可以自动建立桥梁模型以及施工阶段的各种数据。 MIDAS/Civil的适用领域如下： l 所有形式的桥梁分析与设计l 钢筋混凝土桥、钢桥、联合梁桥、预应力桥、悬索桥、斜拉桥 l 大体积混凝土的水化热分析 l 桥台、桥墩、防波堤、地铁、其它基础建筑 l 地下建筑的分析l 地铁、通信电缆管道、上下水处理设施、隧道l 发电站及工业设施结构设计l 发电站、铁塔、压力容器、水塔等l 其它国家基础建设结构设计 l 飞机场、大坝、港湾等 n 通用程序（1）通用有限元程序ANSYS ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。软件主要包括三个部

50、分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型；分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。软件提供了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。（2）ALGOR ALGO

51、R作为世界著名的大型通用工程仿真软件，被广泛应用于各个行业的设计、有限元分析、机械运动仿真中。包括静力、动力、流体、热传导、电磁场、管道工艺流程设计等，能够帮助设计分析人员预测和检验在真实状态下的各种情况，快速、低成本地完成更安全更可靠的设计项目。ALGOR以其分析功能齐全、使用操作简便和对硬件的要求低，在从事设计、分析的科技工作者中享有盛誉。 作为CAE分析工具的代表之一, ALGOR在汽车，电子, 航空航天，医学，日用品生产，军事，电力系统，石油，大型建筑以及微电子机械系统等诸多领域中均有广泛应用。ALGOR几个主要分析功能：n 静力学分析功能线性应力分析复合材料分析间隙单元分析复合材料和

52、间隙单元分析线性稳定性分析n 线性动力学分析功能线性模态分析复合材料模态分析时间历程分析响应谱分析线性瞬态应力分析复合材料瞬态应力分析频率响应分析随机振动分析载荷作用下的模态分析 n 非线性动力分析功能 非线性模态分析非线性动态响应分析 n 热传导分析功能稳态热传导分析瞬态热传导分析 n 流动分析功能 二维稳态流动分析二维瞬态流动分析三维稳态流动分析三维瞬态流动分析n 电场分析功能n管道设计及分析功能 n机械事件仿真功能 n多物理场分析能力（3）三维通用结构分析设计程序SAP2000 小结（1）有限元分析已经渗透到桥梁结构分析的各个领域，其分析精度亦因所采用的单元形式，单元数量和单元划分情况等

53、不同而有所差异。在大型通用分析软件普级及广泛应用情况下，桥梁结构建模在有限元分析中非常重要，科学合理的建模，不仅可以得到更为精确和期望结果，而且可节约计算时间，提高计算效率。（2）桥梁结构的恒载内力与施工方法关系密切，变形、内力等有累计、重分布等特点，同一座桥如采用不同的施工方法，其恒载内力差异很大，大多情况下需跟踪分析，活载内力计算时的动态加载非常重要，除桥梁专用分析软件外，通用软件一般不具备此功能，其基本方法可参见文献。桥梁结构的非线性分析 n桥梁结构的非线性问题n桥梁结构材料非线性分析n桥梁结构几何非线性分析 n小结桥梁结构的非线性问题 从从20世纪中世纪中起，科学为困扰人们的非线性问题

54、奠定了起，科学为困扰人们的非线性问题奠定了力学基础力学基础 上上世纪世纪60年代年代末，末，有限元法与计算机相结合有限元法与计算机相结合，使工程中的非线，使工程中的非线性问题逐步得以解决；性问题逐步得以解决； 目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要的是的是提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂问题的简化方法问题的简化方法。 经典线性理论基于经典线性理论基于: 小变形小变形 弹性本构关系弹性本构关系 理想约束理想约束 三个基本假定，使得三个基本假定，使得:

55、本构方程本构方程 几何运动方程几何运动方程 平衡方程平衡方程 成为成为线性线性。 若研究的对象若研究的对象不能满足以上假定中的任何一个时不能满足以上假定中的任何一个时，就转化为各，就转化为各种种非线性问题非线性问题。（1）材料非线性问题）材料非线性问题 若被研究结构的若被研究结构的材料本构方程材料本构方程成非线性方程，而引起成非线性方程，而引起基本控制基本控制方程方程的非线性，则称其为的非线性，则称其为材料非线性问题材料非线性问题。如第。如第13章所介绍的混凝章所介绍的混凝土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的非线性

56、。非线性。 在桥梁工程问题中在桥梁工程问题中: 混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题 桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段，桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段，呈现出材料非线性本质。呈现出材料非线性本质。材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类，材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类，前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本质是相同的，求解方法亦完全一样。质是相同的，求解方法亦完全一样。（

57、2）几何非线性问题）几何非线性问题 若若放弃小变形假设放弃小变形假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性几何非线性问题问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有关。如关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题柔性桥梁结构的恒载状态确定问题恒、活载计算问题恒、活载计算问题结

58、构稳定结构稳定等均属几何非线性问题。等均属几何非线性问题。 众所周知的众所周知的吊桥挠度理论吊桥挠度理论以及第以及第19章的章的拱桥挠度理论拱桥挠度理论则是典型则是典型的桥梁几何非线性问题。的桥梁几何非线性问题。 几何非线性理论一般可分为几何非线性理论一般可分为大位移小应变即有限位移理论和大大位移小应变即有限位移理论和大位移大应变即有限应变理论位移大应变即有限应变理论两种。两种。 桥梁工程中的几何非线性问题一般都是桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移有限位移问题。问题。 一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如压弯杆稳定压弯杆稳定问题问题，拱圈刚度

59、按一定规律变化的拱桥大挠度拱圈刚度按一定规律变化的拱桥大挠度问题，问题，悬索桥在简单荷载悬索桥在简单荷载作用下的大挠度作用下的大挠度问题等。问题等。 但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解 （3）接触问题）接触问题 若若受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束假定而引起的边界约束方程假定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为的非线性问题称其为接触问题接触问题。如如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题 支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象支架上预应力梁在张拉后的部分落架

60、现象 等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。（4）桥梁结构非线性）桥梁结构非线性 材料非线性问题在材料非线性问题在混凝土桥混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料中表现最为突出，由于混凝土材料本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分析后素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分