离散型随机变量及其分布函数（沐风书苑）

1、一一、离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数二、几种常见的离散型随机变量二、几种常见的离散型随机变量三三、小结小结第第2.22.2节节 离散型随机变量离散型随机变量及其分布函数及其分布函数一、离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量的分布函数离散型离散型(1)离散型离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个若随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量或可列无穷个，则称其为离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散

2、型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 0实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误差测量某零件尺寸时的测误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) 内的任一

3、值内的任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 若若随机变量所有可能的取值可以连续随机变量所有可能的取值可以连续地充满某个区间地充满某个区间,则称其为则称其为连续型随机变量连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为 说明说明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2 , 1,), 2 , 1(的分布律的分布律量量称此式为离散型随机变称此式为离散型随机变为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkx

4、Xkkkk 定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或例例1 1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯灯. .每盏灯以每盏灯以 的概率禁止汽车通过的概率禁止汽车通过. .以以 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信号灯的工作是相互独立的），求号灯的工作是相互独立的），求 的分布律的分布律. .01)pp（XX解：X的分布律为Xkp01234 p(1)p p2(1)pp3(1)pp4(1)p xxkkpxXPxF)(分

5、布函数分布律kkxXPp 离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：也就是：也就是：. )()( xxxxkkkkxXPpxXPxF二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只取只取0与与1两个值两个值 , 它的分布律为它的分布律为1.两点分布两点分布则称则称 X 服从服从 (0-1) 分布分布或或两点分布两点分布或或伯努利分布伯努利分布.Xkp0p 11p 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿

6、是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明2.二项分布二项分布若若X的分布律为：的分布律为：则则nkqpCkXPknkkn0,1,2, 称随机变量称随机变量X X服从参数为服从参数为n,pn,p的的二项分布二项分布。记为。记为 ),(pnBX, ,其中其中q q1 1p p二项分布二项分布1 n两点分布两点分布?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批

7、产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查试试验验否否为为一一级级品品看看成成是是一一次次把把检检查查一一只只元元件件看看它它是是例例2解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记

8、记以以 X),.,(2020BX则则因此所求概率为因此所求概率为.,).().(201080202020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP图示概率分布图示概率分布.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).,(0

9、20400BX则则的的分分布布律律为为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例33. 泊松分布泊松分布 0,1, 2,0,1,2,!0.,( ).keP XkkkXX 设随机变量所有可能取的值为而取各个值的概率为其中是常数则称服从参数为 的泊松分布 记为泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放射出的与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时粒

10、子个数的情况时, ,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒) )，发现，发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子其放射的粒子数数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等都服从泊松分布话呼唤次数等都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水电话呼唤次数

11、电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.泊松定理泊松定理( ,)(1)0,lim!nkkn knnnnknXB n pP XkC ppnpkP Xkek设且满足则对任意非负整数有证明证明,npn由 得knnknppknknkXP )()()!( !1(1)(1)1)!kn kn

12、nnkknn（ ） （1211 (1)(1)(1)(1) (1)!knkkknnnnn1211 (1)(1)(1)(1)(1)!nkkkknnnnn, l i m!knnP Xkekll 令令有有二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我们提到上面我们提到 ：设：设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次出事故的次数为数为 X , 则则可利用泊松定理计可利用泊松定理计算算, 1 . 00001. 01000 所求概率所求概率为为-10009991000= 10.99990.00010.99991.0047. 0! 11 . 0!011 . 01 . 0 ee解解2 XP1

13、012 XPXPXP),.,(000101000BX例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?4. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查 ,

14、 直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品那么所抽到的产品数目数目 X 是一个随机变量是一个随机变量 , 求求X 的分布律的分布律., 1, qpXkpk21pqppqk 1 )(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ), 2 , 1( k所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解., 3, 2, 1所取的可能值是所取的可

15、能值是X,个个产产品品是是正正品品抽抽到到的的第第表表示示设设iAi5.超几何分布超几何分布设设X的分布律为的分布律为),min,(nMmCCCmXPnNmnMNmM210 .,服从超几何分布服从超几何分布则称则称这里这里XNMMmNn 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明说明1.常见离散型随机变量的分布常见离散型随机变量的分布 两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布三、内容小结三、内容小结超几何分布超几何分布).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二

16、项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(. 2泊泊松松分分布布之之间间的的关关系系分分布布二二项项分分布布与与、 )., 2 , 1 , 0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点

17、分布两点分布1 n例例1 1 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工需配备适量的维修工人人 (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产配备少了又要影响生产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生发生故障的概率都是故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ,问至少问至少需配备多少工人需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于时维修的概率小于0.

18、01?解解.人人设需配备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为).,(,010300BX那末那末所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题备份题备份题由泊松定理由泊松定理得得,!303 NkkkeNXP故有故有,99. 0!303 Nkkke即即 Nkkke03!31 13!3Nkkke,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8.99. 0 NXP例例2 (人寿保险问题人寿保险问题) 有有2500个同年龄同社会阶层个同年龄同社会阶层的人在保险公司里参加了人寿保险的人在保险公司里参加了人寿保险,在每一年里在每一年里每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里家属可在公司里领取领取2000元元.问问 (1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是