2022-2023学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）在下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那奖螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，﹣3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）3．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边长可能是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．15cm4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°5．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（）A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性6．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）若一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．8 C．10 D．128．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（）A．2 B．3 C．3.5 D．4.510．（3分）如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）11．（3分）如图，D是△ABC的边CA延长线上一点，∠1＝°，∠2＝°．12．（3分）如图，若∠BAD＝∠CAD，添加条件，可使得△ABD≌△ACD．13．（3分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，则∠EAC的度数为．14．（3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长为cm．15．（3分）如果等腰三角形的一个角等于80°，则它的顶角等于度．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，则AC＝．17．（3分）如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为时，△AOP为直角三角形．18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论正确的是（填所有正确答案的序号）．①△ADE≌△CDF；②AC＝BE+CF；③EF＝AD；④S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则．三、解答题（本题共8小题，第19题6分，第20-22题，每题5分，第23-25题，每题6分，第26题7分，共46分）19．（6分）请补全证明过程及推理依据．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：∠A＝∠D．证明：∵BE＝CF（已知），∴BE+＝CF+（），即＝，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（），∴∠A＝∠D（）．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求∠DAC与∠ADB的度数．21．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE，AD∥CE．22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求证：BC＝CD．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，4），B（﹣3，1），C（1，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；（2）写出A'、B'、C'的坐标（直接写出答案）A'；B'；C'；（3）直接写出△A'B'C'的面积．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．25．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．请用等式表示线段AB，BC，CE之间的数量关系，并证明你的结论．26．（7分）如图，在等边△ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，以P为顶点作∠APP'＝60°，且PP'＝AP，连接AP'，BP'．（1）如图1，用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；（2）如图2，当∠BPC＝120°时，①直接写出∠P'BP的度数为；②若D为BC的中点，连接PD，请用等式表示PD与AP的数量关系，并证明．

2022-2023学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）在下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那奖螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了利用轴对称设计图案．轴对称图形的性质，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，﹣3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解答】解：点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3），故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边长可能是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．15cm【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，即可解答．【解答】解：∵三角形的两边长为3cm和8cm，∴第三边x的长度范围是8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．5．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（）A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．故选：B．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．6．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，D选项符合高线的定义，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．7．（3分）若一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】利用任何多边形的外角和是360°除以外角度数即可求出答案．【解答】解：多边形的外角的个数是360÷30＝12，所以多边形的边数是12．故答案为：D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A． B． C． D．【分析】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D．【解答】解：A．由作法知AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°，由作法知AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝30°＝∠B，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；故选B．【点评】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（）A．2 B．3 C．3.5 D．4.5【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PC的最小值即为线段AB的长度．【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线，∴点C与点B关于直线MN对称，∴线段AB与直线MN的交点即为点P，∴PA+PC＝AB．∵AB＝3，∴PA+PC的最小值是3．故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质找到点P的位置是解题的难点．10．（3分）如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】分三种情况：当BA＝BC时，当AB＝AC时，当CA＝CB时，即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线m于点C1，C2，当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线m于点C3，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线交直线m于点C4，综上所述：使△ABC为等腰三角形，这样的点C有4个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）11．（3分）如图，D是△ABC的边CA延长线上一点，∠1＝110°，∠2＝70°．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠1的度数，然后根据平角的定义求出∠2的度数．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，∴∠1＝110°，∴∠2＝180°﹣∠1＝70°．故答案为：110°，70°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于180°．12．（3分）如图，若∠BAD＝∠CAD，添加条件AB＝AC，可使得△ABD≌△ACD．【分析】利用SAS，添加AB＝AC，进而得出即可．【解答】解：添加条件：AB＝AC，理由：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）．故答案为：AB＝AC．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．13．（3分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，则∠EAC的度数为40°．【分析】根据全等三角形的性质，即可得到∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，再根据∠B＝70°，即可得到∠EAC的度数，最后根据三角形内角和定理以及全等三角形的对应角相等，即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，∠C＝∠E，∴∠ADE＝∠B＝70°，∴∠ADB＝∠B＝70°，∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝40°，∵在8字形中，∠E+∠EAC＝∠C+∠EDC，∴∠EAC＝∠EDC＝40°，故答案为：40°．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．14．（3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长为16或17cm．【分析】已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分两种情况进行分析．【解答】解：当腰为6cm时，则三角形的三边长分别为6cm、6cm、5cm，满足三角形的三边关系，周长为17cm；当腰为5时，则三角形的三边长分别为5cm、5cm、6cm，满足三角形的三边关系，周长为16cm；综上可知，等腰三角形的周长为16cm或17cm．故答案为：16或17．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解及运用，注意分类讨论思想的运用．15．（3分）如果等腰三角形的一个角等于80°，则它的顶角等于80或20．度．【分析】当等腰三角形的一个角等于80°时，分2种情况；①当等腰三角形的一个角等于80°时，等腰三角形的顶角与其相等，②当等腰三角形的顶角等于80°，时，利用三角形内角和定理即可求出答案．【解答】解；当等腰三角形的一个角等于80°时，则有2种情况；①当等腰三角形的一个角等于80°时，等腰三角形的顶角等于80°时，②当等腰三角形的顶角等于80°时则它的底角为：（180﹣80﹣80）＝20°故答案为：80或20．【点评】此题主要考查三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，此题要采用分类讨论的思想，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，则AC＝3．【分析】根据三角形的内角和定理，直角三角形边角关系进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，∴∠B＝30°，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣90°＝30°；∴AC＝AB＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．（3分）如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为90°或40°时，△AOP为直角三角形．【分析】分两种情况：①∠A为直角；②∠APO为直角．【解答】解：若△AOP为直角三角形，则①∠A＝90°时，△AOP为直角三角形；②当∠APO＝90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A＝40°．故答案为90°或40°．【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，同时运用分类讨论思想解决直角三角形的角度问题是解题的途径．18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论正确的是①②④（填所有正确答案的序号）．①△ADE≌△CDF；②AC＝BE+CF；③EF＝AD；④S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则．【分析】由等腰直角三角形的性质可证△ADE≌△CDF（ASA），△BED≌△AFD（ASA），从而得出△DEF是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，∠DAE＝∠DAC＝45°，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），故①正确，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD，∠ADC＝90°，∵∠ADC＝∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BED和△AFD中，，∴△BED≌△AFD（ASA），∴BE＝AF，∴AC＝AF+FC＝BE+CF，故②正确；∵EF是变化的，而AD为定值，故③错误；∵△BED≌△AFD，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE⊥AB时，S2最小为×AB×AB＝S1，当点E与A或B重合时，S2最大为S1，∴S1≤S2≤S1，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与中，三角形的外角的性质等知识，熟记全等三角形的性质是解题的关键．三、解答题（本题共8小题，第19题6分，第20-22题，每题5分，第23-25题，每题6分，第26题7分，共46分）19．（6分）请补全证明过程及推理依据．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：∠A＝∠D．证明：∵BE＝CF（已知），∴BE+EC＝CF+EC（），即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠D（全等三角形的性质）．【分析】根据等式性质由BE＝CF推出BC＝EF，根据SSS证△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：∵BE＝CF（已知），∴BE+EC＝CF+EC（等式的性质），即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠D（全等三角形的性质）．故答案为：EC，EC，等式的性质，BC，EF，SSS，全等三角形的性质．【点评】本题考查了等式的性质和全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解答此题的关键．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求∠DAC与∠ADB的度数．【分析】由三角形的内角和定理可求得∠BAC＝100°，再由角平分线的定义可求得∠DAC＝50°，利用三角形的外角性质即可求∠ADB的度数．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC＝50°，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠ADC＝∠DAC+∠C＝100°．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．21．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE，AD∥CE．【分析】根据题意证明△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，∠A＝∠BCE，借助平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵点C是AB的中点，∴AC＝BC，∵CD∥BE，∠ACD＝∠B，在△ADC与△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴AD＝CE，∠A＝∠BCE，∴AD∥CE．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，牢固掌握平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等几何知识点是解题的关键．22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求证：BC＝CD．【分析】连接AC，证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），即可得出结论．【解答】证明：如图，连接AC，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC和△ADC是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴BC＝CD，【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABC≌Rt△ADC是解此题的关键．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，4），B（﹣3，1），C（1，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；（2）写出A'、B'、C'的坐标（直接写出答案）A'（3，4）；B'（3，1）；C'（﹣1，2）；（3）直接写出△A'B'C'的面积6．【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（2）结合（1）即可写出A'、B'、C'的坐标；（3）根据直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．【解答】解：（1）如图所示：（2）A'（3，4）；B'（3，1）；C'（﹣1，2）；故答案为：（3，4）；（3，1）；（﹣1，2）；（3）△A'B'C'的面积＝，故答案为：6．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．【分析】欲证明BE＝CF，只要证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；【解答】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE＝CF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．25．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．请用等式表示线段AB，BC，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】在BC上截取BF＝BA，连接EF，证△ABE≌△FBE（SAS），得∠BFE＝∠BAC＝108°，则∠CFE＝72°，再由三角形的外角性质得∠CEF＝∠BFE﹣∠C＝72°，则∠CFE＝∠CEF，然后证CE＝CF，即可得出结论．【解答】解：AB+CE＝BC，证明如下：如图，在BC上截取BF＝BA，连接EF，∵∠BAC＝108°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝36°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠BFE＝∠BAC＝108°，∴∠CFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣108°＝72°，∵∠CEF＝∠BFE﹣∠C＝108°﹣36°＝72