电路第七章 一阶电路修改

1、一一 阶阶 电电 路路第第 七七 章章1、零输入响应、零输入响应 零状态响应零状态响应 全响应全响应重点掌握重点掌握：2、稳态分量、稳态分量 暂态分量暂态分量3、换路定理换路定理 三要素法三要素法微分方程微分方程一、动态电路及方程一、动态电路及方程3、描述方程、描述方程 i + _ us uc + C _ R i uc + C _ Ns i is uc + C _ G 2、动态电路、动态电路 1、动态元件、动态元件 储能元件储能元件C、L元件元件含动态元件的电路。含动态元件的电路。 如果电路仅含一个动态元件，则如果电路仅含一个动态元件，则可以把该动态元件以外的电阻电路用可以把该动态元件以外的电

2、阻电路用戴维宁电路或诺顿电路置换，从而把戴维宁电路或诺顿电路置换，从而把它变换为它变换为RC电路或者电路或者RL电路。这种电路。这种电路称为一阶动态标准电路。电路称为一阶动态标准电路。7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件二、动态电路的重要特征二、动态电路的重要特征-过渡过程过渡过程1、定义、定义 2、原因、原因 动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时变化时(例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号突例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号突然注入等然注入等)，可能使电路改变原来的工作状态，转变到

3、另一，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为为过渡过程过渡过程。 电路结构或参数变化引起的电路结构或参数变化引起的电路变化统称为电路变化统称为“换路换路”外因外因 换路换路内因内因 能量不能跃变能量不能跃变3、换路讨论、换路讨论 i + _ us uc + C _ R S t = 0t = 0换路换路:换路前瞬换路前瞬 t = 0-换路后瞬换路后瞬 t = 0+(0 )Cu(0 )Cu换路换路 t = t0t = t0- t = t0+稳态稳态稳态稳态过渡过程过渡过程UsUs/Rtt1i

4、cuc过渡过程是一种稳态到另一种新的稳态之间的过程。过渡过程是一种稳态到另一种新的稳态之间的过程。4 4、电压、电流的跃变、电压、电流的跃变电压值、电流值在换路前后不同，电压值、电流值在换路前后不同，称为称为发生跃变发生跃变。若电压值、电流值在换路前后相同，若电压值、电流值在换路前后相同，则称电压、电流没有发生跃变。则称电压、电流没有发生跃变。4 4、 稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳稳 态态 动动 态态 1). 换路发生很换路发生很长长时间；时间；换路换路刚刚发生发生iL 、 uC 随时间随时间变变化化3). 代数代数方程组描述电路；方程组描述电路；微分微分方程组描述电路方

5、程组描述电路2). IL、 UC 不变；不变；时域分析法：时域分析法：经典法解微分方程经典法解微分方程复频域分析法：复频域分析法：拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法：状态变量法：借助状态变量将微分方程变为一阶微分方程组借助状态变量将微分方程变为一阶微分方程组 数值法：数值法：计算机编程迭代计算计算机编程迭代计算5、过渡过程分析方法、过渡过程分析方法001111 tuiadtdiadtidadtidannnnnn设：激励设：激励 u(t)、响应、响应 i(t) 总有：总有：关于关于 t = 0 - 与与t = 0 +的概念：的概念：换路在换路在 t=0时刻进行，分为时刻进行，分为三个区间：三

6、个区间：三、电路的初始条件三、电路的初始条件 0- 0 0+ +K+uCUsRCi t = 0原稳态原稳态原稳态终值原稳态终值换路瞬间换路瞬间过渡过程过渡过程新稳态新稳态换路后初始时刻值换路后初始时刻值Cu1.初始条件初始条件：是指电路中所求变量是指电路中所求变量u ，i及其（及其（n1）阶）阶导数在导数在 t = 0+时的值，也称初始值。电容电压时的值，也称初始值。电容电压 和电感和电感电流电流 的初始值，即的初始值，即 和和 称为独立的初称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。始条件，其余的称为非独立的初始条件。Li(0 )Cu(0 )Li2、 d)()()(00 ttitqtqd

7、tdqi 设设电荷电荷为为q001( )( )( )dtcctu tu tiC在在t=0时合开关，求时合开关，求t = 0+时刻时刻uc(0+)=？1).电容电容001(0 )(0 )( )dccuuiC d0000)( i)(q)(q 即即K+uCUsRCi t = 0换路定理换路定理uc(0+) = uc(0-)0d00 )(i若 i( )为为有限值有限值则有结论结论 换路瞬间，若电容电流为有限值，换路瞬间，若电容电流为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q (0+) = q(0-)电荷守恒电荷守恒电容上的电荷和电压在换路瞬间不发生跃变电容上的电

8、荷和电压在换路瞬间不发生跃变2).电感电感iLuL+-LLi tiLuLdd d100)(uL)t (i)t (ittLL d00)(u)t ()t (tt 求求t = 0+时刻时刻iL(0+)=？ d10000)(uL)(i)(iLL d0000)(u)()( 若若u ( )为为有限值有限值iL(0+)= iL(0-)结论结论 换路瞬间，若电感电压为有限值，换路瞬间，若电感电压为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路定理换路定理也可描述为也可描述为 在换路瞬间，电容在换路瞬间，电容上的上的电压电压不能跃变不能跃变 电感电感上的上的电流电流不能跃

9、变不能跃变而其它的响应的初始值则要由换路后电路和这两个值来确定而其它的响应的初始值则要由换路后电路和这两个值来确定电容电压电容电压uc(0+)和电感电流和电感电流iL(0+)称为独立初始条件称为独立初始条件0d00 )(u (0+) = (0-)则则即即磁链守恒磁链守恒电感上的磁链和电流不发生跃变电感上的磁链和电流不发生跃变3 电路初始值确定电路初始值确定其余电量在其余电量在t= o+时的值时的值 电路初始值电路初始值步骤步骤: 1、求出电路的初始状态：、求出电路的初始状态： uc (o-)、 iL(o-) 2、求出独立初始值：、求出独立初始值： uc (o+)、 iL(o+) 3、画出、画出

10、o+等效电路等效电路: 非独立初始值的确定非独立初始值的确定: o+等效电路法等效电路法 独立初始值独立初始值非独立初始值非独立初始值uc (o+)、 iL(o+)电容用电容用uc (o+)电压源替代电压源替代电感用电感用iL (o+)电流源替代电流源替代电路其余结构不变电路其余结构不变4、求得非独立初始值、求得非独立初始值解：解：(1) 由由0-电路求电路求 uC(0-)例例1+-10ViiC+uC-k 10k 40kt = 0时断开开关时断开开关k ,求求 iC(0+)？V)(uc8404010100 iC (0-) =0iC(0+)= iC(0-)=0+-10V+uC-10k40kiCu

11、C (0+) = uC (0-)=8V(2) 由换路定律由换路定律 +-10ViiC+8V-10kt=0+等效电路等效电路mA20108100.)(iC (4) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)(3) 画出画出o+等效电路等效电路: 00 )(uLiL(0+)= iL(0-) =10/(1+4)=2AV)(uL8420 +uL-10V1 4 0+电路电路2A解：解：uL(0+)=uL(0-)=0例例 2iL+uL-L10VK1 4 t = 0时闭合开关时闭合开关k , 求求 uL(0+)?iL(0+) = iL(0-) = ISuC(0+) = uC(0

12、-) = RISuL(0+)= - RIS0+电路电路uL+iCRISR IS+00 RRII)(iSsC求开关闭合后求开关闭合后 iC(0+) , uL(0+)？例例3K(t=0)+ +uLiLC+ +uCLRISiC解：（解：（1）初始值）初始值（2）0+时刻时刻0 0 1(0 )(0 )(2)( )LLLtLLdiRLtKiudtiu例4： 如图电路，时刻 闭合， （）求、 求）、。解：解： t0时，电路处于稳态时，电路处于稳态 iL(0-) =0 A t=0+时，由换路定理时，由换路定理 iL(0+) =iL(0-) =0 A 作作t=0+时刻等效图（图时刻等效图（图b)uL(0+)=

13、Us-RiL(0+)=6- 20=6V-+iL(0+)2 uL(0+)+-6VUs(b) 0+等效图等效图RK-+iL(t)2 L=3HuL(t)+-6VUs(a)K零状态电感零状态电感零值电流源零值电流源 开路开路零状态电容零状态电容零值电压源零值电压源 短路线短路线 00(0 )(0 )62(/)3LLtLLtdiudtdiuAsdtL又 因=L故 t= 时（图时（图c），电路重新达到稳态，），电路重新达到稳态，L相当于短路线。相当于短路线。iL()=6/2=3AuL()=0 电感电流电感电流 iL不能突变，即不能突变，即iL(0+)= iL(0-) ，但电，但电感电压感电压uL可能突变。

14、本例中可能突变。本例中 uL(0+) 不等于不等于uL(0-) 同理，同理，电容电压电容电压 uc不能突变，即不能突变，即uc(0+)= uc(0-) ，但电容电流但电容电流ic可能突变。可能突变。注：注：-+iL()2 uL()+-6VUs(c) t= 时等效图时等效图RLK例例5: 如图如图(a)，电路原处于稳态，电路原处于稳态，K于于t=0时刻闭合，时刻闭合，求初求初 始值始值ic(0+)、 uL(0+)及及i(0+) 。求求 ic() 、 uL()及及 i() 。-+12VUsR1R2R3K2 4 5 uc+-icuL+-iLi(a)解解： 求原始状态求原始状态uc(0-)及及 iL(

15、0-) t0时（直流稳态），故：时（直流稳态），故： 电容视为开路，电感视为短路。电容视为开路，电感视为短路。 即：即：ic(0-)=0 uL(0-)=0 故：故： iL(0-)=Us/（R2+R3)=12/（4+2）=2A uc(0-)=R2iL(0-)=42=8V 由换路定理有：由换路定理有： iL(0+)= iL(0-) =2A uc(0+)= uc(0-) =8V 作作0+等效图（图等效图（图b）-+12VUsR1R2R3K2 4 5 uc+-icuL+-iLi(a)ic(0+)uL(0+)+-i(0+)-+-+12VUsR1R24 5 uc(0+)iL(0+)=2A(b) 0+等效图

16、等效图8V在在0+等效图中等效图中:电容元件用电容元件用uc(0+)电压源代替电压源代替电感元件用电感元件用iL(0+)电流源代替电流源代替激励源取激励源取t=0+时时Us(0+) 由由0+等效图有：等效图有： s+c+1s+2u (0)-u (0)128(0)0.8R5(0)u (0)-R(0)12424(0)(0)(0)0.822.8cLLcLiAuiViiiA-+12VUsR1R2R3K2 4 5 uc+-icuL+-iLi(a)+-+12VUsR1R24 5 (c) t=等效图等效图uL( )i( )ic( )故故 ic( )=0 uL( )=0 i ( )=12/4=3A t= 时作

17、等效图时作等效图c 此时电路重新达到直流稳态此时电路重新达到直流稳态 电容视为开路，电感视为短路。电容视为开路，电感视为短路。5Ais10 5 5 C1C2i(t)i1(t)i2(t)Kuc1+-uc2+-+-5Ais10 5 5 i(0+)i1(0+)i2(0+)50Va0+等效图等效图练习练习：如图电路原处于稳态，如图电路原处于稳态，uc2(0-)=0，t=0时刻时刻K闭合，作闭合，作0+图并求图并求i(0+)、i1(0+)及及i2(0+)。解：解：(1) uc1(0-)=510 =50V uc2(0-)=0(2) 由换路定理：由换路定理：uc1(0+)= uc1(0-) =50V uc2

18、(0+)= uc2(0-) =0(3) 由由0+图用节点分析法：图用节点分析法：50111105555 a（）u得：得：ua=30V进一步可得：进一步可得：i(0+)=3A i1(0+)= -4A i2(0+)=6A思考：思考：电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），为什么？为什么？7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：零输入响应：激励激励(独立电源独立电源)为零，为零，仅由电容或电感的仅由电容或电感的 初始储能初始储能作用于电路

19、产生的响应。作用于电路产生的响应。一阶电路：只含有一个因变量的一阶电路：只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路一阶微分方程描述的电路一、一、RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC (0-)=U0 求求 uC和和 i 。解解: tuCiCdd iK(t=0)+uRC+uCR0)0(0ddUuutuRCCCC uC -uR=uC-Ri=0RCp1 特征根特征根RCp+1=0特征方程特征方程令通解为令通解为AptCue代入代入则则1 AtRCCue初始值初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0A=U0令令 =RC , 称称 为一阶电路的为一阶电路的时间常数时间常数01 0 ttRCA

20、eUtU0uC0tRCcAeu1 秒秒伏伏安秒安秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧 RC I0ti0 00teUuRCt c 000teIeRURuiRCtRCtC时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大大 过渡过程时间的过渡过程时间的长长,衰减越慢衰减越慢 小小 过渡过程时间的过渡过程时间的短短,衰减越快衰减越快电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（ C不变）不变） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大 00teUut c 00teIit C 大（大（R不变）不变） 储能大储能大212WCU的曲线

21、上任意一点的的曲线上任意一点的次切距次切距长度等于时间常数长度等于时间常数 00000tan1ttCtCtt tuU eABBCduU edtiuuRc、 OtuCU0uC(t0)uC(t0+ )ABC这说明曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化这说明曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，经过率衰减，经过 时间为零值。时间为零值。工程上认为工程上认为 , 经过经过 3 - 5 , 过渡过程结束。过渡过程结束。 ：电容电压衰减到原来电压：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3

22、 5 tceUu 0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 U0tuc0 0.368U0 1 2 3OtuCU00.368U0 增加增加 不同，衰减快慢也不同。不同，衰减快慢也不同。 能量关系能量关系RdteRdttiWRCtRUR0202)()(0C放电，C不断放能，电阻R不断耗能直至C上电场能量衰减为0。20210202102220CUeCUdteRCtRCtRU设设uC(0+)=U0电容放出能量电容放出能量 2021CUW 二二. RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LR 特征根特征根 p =由初始值由初始值 i(0+)= I

23、0 确定积分常数确定积分常数AA= i(0+)= I0i (0+) = i (0-) =01IRRUS 00ddtRitiLiK(t=0)USL+uLRR1ptAeti )( 000teIeI)t ( itLRpt得得令方程通解为令方程通解为令令 = L/R , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数L大（大（R不变）不变） 起始能量大起始能量大R小（小（L不变）不变） 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大-RI0uLt秒秒欧欧安安秒秒伏伏欧欧安安韦韦欧欧亨亨 RL 0 0 0teIeIiR/LttLR 0dd 0teRItiLuR/LtLtI0i0电流初始值电流初始值

24、一定：一定：时间常数时间常数 =RC或或L/R，表征电路固有性质，反映，表征电路固有性质，反映过渡过程长短。过渡过程长短。iL(t)uL(t)t0I0-RI0(b)以前例以前例RL电路放电过程为例电路放电过程为例:0( )tLitI e t= 时，时，iL( )/I0=e-1=36.8%t= 2 时，时，iL(2 )/I0=e-2=13.5%t= 3 时，时，iL(3 )/I0=e-3=5% t= 5 时，时，iL(5 )/I0=e-5=0.7%一般认为经过一般认为经过3-5 时间后瞬态过程已经结束。时间后瞬态过程已经结束。iL (0+) = iL(0-) = 1 AuV (0+)= - 10

25、000V / tLei 例例4iLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10Vt=0时时 , 打开开关打开开关K,发现电压表坏了，为什么？发现电压表坏了，为什么？电压表量程：电压表量程：50VsVRRL4104100004100104 0100002500teiRutLVV分析：分析：造成造成 损坏。损坏。V1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 = RC , RL电路电路 =

26、 L/R3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。( )(0 )tf tfe小结小结:时间常数时间常数 的计算方法：的计算方法： = L / Req = L / (R1/ R2 )+ +- -R1R2LReqC = ReqCR1R2LReq)0()0(ccuu解：解：=3V=RCR=2/356=RC610556S6106tCCeuu)0(VeutC61063例例5：求电容两端电压。：求电容两端电压。S(t=0)1235uF6VUc7.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应初始状态为零初始状态为零外电源外电源 输入输入直流直流交流交流充电充电

27、与电源变化与电源变化 规律相同规律相同能量来源能量来源最终终值最终终值0)0(0)0(CLuCiL：零状态：零状态：零状态响应：储能元件零状态响应：储能元件初始能量为零初始能量为零的电路在输入的电路在输入激励激励作用作用 下产生的响应下产生的响应SCCUutuRC dd列方程：列方程：解答形式为：解答形式为：cccuuu 齐次方程的齐次方程的通解通解非齐次方程的非齐次方程的特解特解一、一、 RC电路的零状态响应电路的零状态响应iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=0uc(0-)=0求求: 电容电压电容电压uc(t) 和电流和电流i(t )? 已知已知sCUuRi dtduCiC (

28、电源通过电阻对电容充电电源通过电阻对电容充电)因为它由输入激励决定，称为因为它由输入激励决定，称为强制分量；它强制分量；它也是也是电路的稳态解，也称为电路的稳态解，也称为稳态分量稳态分量RCtCAeu 变化规律由电路结构和参数决定变化规律由电路结构和参数决定全解全解:uC (0+)=A+US= 0 A= - US由由起始条件起始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数 A齐次方程齐次方程 的通解的通解0dd CCutuRC：特解（：特解（强制分量、稳态分量强制分量、稳态分量）Cu = USCu ：通解（：通解（自由分量，暂态分量自由分量，暂态分量）Cu RCtSCCCAeUuuu 此此A

29、与前与前节同否？节同否？)t)e(UeUUuRCtSRCtSSc 0( 1 强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)RCtSeRUtuCi ddCucuCuCt-USUStiRUS0电容电压由零开始以指数规律电容电压由零开始以指数规律上升到上升到Us;电容电流则从初始值电容电流则从初始值Us/R以指以指数规律衰减到零数规律衰减到零能量关系：能量关系：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。储存在电容中。充电效率为充电效率为50。221SCU 221SCCUW 电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量

30、：200dSRCtSSsCUteRUUidtUW 电阻消耗电阻消耗tR)RU(tRiWRCSRtedd2002 例例6 电路如图所示，已知电容电压电路如图所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0 打开开关，求打开开关，求t 0的电容电压的电容电压uC(t),电容电流电容电流iC(t)以及以及 电阻电流电阻电流i1(t)。 解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 0)0()0(CCuu 先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中所示电路

31、，其中V120ocU 300oR 电路的时间常数为电路的时间常数为 s300s103F1030046oCRV120ocU 300oR 当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得 V120)(ocCUU可以得到可以得到 )0(Ae4 . 0e103112010dd)()0(V)e1 (120)e1 ()(4441031 1031 46CC1031 ocCttuCtitUtutttt用用KCL方程得到方程得到 )0(A)e4 . 01 ()()(41031 CS1ttiItit二、二、 RL电路的零状态响应电路的零状态响应 0t)e1(RUit

32、SL iLK(t=0)US+uRL+uLRiL(0-)=0求求: 电感电流电感电流iL( t ) 和电压和电压uL( t )?已知已知 tStLRSAeRUAeRUiii uLUSt0tiLRUS0RUS AsLLUuRi dtdiLuLL sLLURidtdiL 00 )(iL 0teUdtdiLutsLL SLLIidtdiRLISiRRLiLS(t=0)初始条件为初始条件为iL(0+)=0)1 (tSLeIi方程的解方程的解tStLRSAeIAeIiii 00 )(iLSIA例例7 电路如图电路如图a所示，已知电感电流所示，已知电感电流iL(0-)=0。 t=0闭合开关，求闭合开关，求t

33、 0的电感电流和电感电压。的电感电流和电感电压。 0)0(Li解：开关闭合后的电路如图解：开关闭合后的电路如图(b) .电感电流不能跃变，即电感电流不能跃变，即 0)0()0(LLii 将图将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时间常数为所示电路。由此电路求得时间常数为 s05. 0s84 . 0oRLA)e1 (5 . 1)(20Ltti可以得到可以得到 )0(V12eVe205 . 14 . 0dd)()0(A)e1 ( 5 . 1)(202020LttiLtuttittLLt 假如

34、还要计算电阻中的电流假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图，可以根据图(b)电路，电路，用欧姆定律求得用欧姆定律求得 A)e5 .05 .1 (24Ve12V3624)(V36)(2020Ltttuti三、电源为正弦激励的三、电源为正弦激励的零状态响应零状态响应)tcos(URidtdiLumLL iLK(t=0)us+uRL+uLR、iL(0-)=0求求: 电感电感iL( t ) 、uL( t )?已知已知:)tcos(Uuums tLRAei )tcos(I im )tcos(U)tcos(RI)tsin(LIummm 系数比较法：系数比较法：LR22)L(RZ 等式左边等式左边=

35、)tsin(ZL)tcos(ZRZIm )tsin(sin)tcos(cosZIm )tcos(ZIm )tcos(U)tcos(ZIumm ZUImm u )tcos(ZU ium tumAe)tcos(ZUi 0)0(i)0(iLL :再由初始值再由初始值)cos(ZUAum tumume )cos(ZU)tcos(ZUi tumume )cos(ZU)tcos(ZUi 强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)讨论几种情况：讨论几种情况：1）合合开关开关 时时，有，有u = ，则，则2） u = /2 即即 u - = /2cos()mmuUUAZZ cos()tmmUUi

36、wteZZcos()0muUAZ 0i cos()2mUiiwtZ故开关闭合后，电路中不发生过故开关闭合后，电路中不发生过渡过程而立即进入稳定状态。渡过程而立即进入稳定状态。0t(s)稳态响应稳态响应暂态响应暂态响应cos()muUwtZ cos()tmuUeZ 稳态（强制稳态（强制）暂态暂态i(t) tumume )cos(ZU)tcos(ZUi 由图示曲线还可以看出在时间常数由图示曲线还可以看出在时间常数 较大时，由于暂较大时，由于暂态响应衰减较慢，电感电流全响应的最大值可能接近态响应衰减较慢，电感电流全响应的最大值可能接近2Im，出现过电流的现象。出现过电流的现象。 全响应全响应：非零初

37、始状态的电路受到激励时电路中产生的响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应一一. 一阶电路的全响应及其两种分解方式一阶电路的全响应及其两种分解方式iK(t=0)US+uRC+uCRSCCUutuRC dd稳态解稳态解 uC = US解答为解答为 uC(t) = uC + uCuC (0-)=U0非齐次方程非齐次方程 =RC tSCeUu A 1. 全解全解 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)暂态解暂态解 tCeu AuC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由起始值定由起始值定A7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应强制分量强制分量(稳态

38、解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)0)(0 teUUUutSSC uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U0iK(t=0)US+uRC+ uCR=uC (0-)=0+uC (0-)=U0C+ uCiK(t=0)+uRR2. 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0全响应全响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应自由响应分量自由响应分量强

39、制响应强制响应自由响应自由响应稳态响应稳态响应暂态响应暂态响应等幅部分等幅部分减幅部分减幅部分响应的分解响应的分解二、三要素法二、三要素法响应由响应由初始值初始值、特解特解、时间常数时间常数决定决定三要素三要素 te)(f)0(f)(f)t (f 不用列微分方程，可直接由三要素写出响应表达式。不用列微分方程，可直接由三要素写出响应表达式。稳态值稳态值初始值初始值时间常数时间常数直流电源激励时，特解和特解初始值均为稳态值直流电源激励时，特解和特解初始值均为稳态值f() te)0( f)0(f)t ( f)t (f 特解特解初始值初始值特解初始值特解初始值时间常数时间常数三要素：三要素： 初始值初

40、始值f(0+) 终值终值f( ) 时间常数时间常数 =RC或或LR(1) uc(0+) 与与 iL(0+) 按换路定则求出按换路定则求出 C视作开路视作开路iL(0+)= iL(0-)(2)其它电路变量其它电路变量的初始值的初始值1初始值初始值f(0+)的计算的计算应画出应画出t=0+的等效电路，然后按电阻电路计算的等效电路，然后按电阻电路计算L视作短路视作短路uc(0+)= uc(0-)在在t的等效电路中，因为直流作用的等效电路中，因为直流作用电感视作电感视作短路短路2稳态值稳态值f()的计算的计算当当t，作出，作出t的等效电路，的等效电路，然后按电阻电路计算然后按电阻电路计算电容视作电容视

41、作开路开路所以所以3时间常数时间常数的计算的计算RC电路电路RL电路电路Ro为为换路后换路后的电路，从动态元件两端的电路，从动态元件两端看进去的看进去的戴维宁戴维宁等效电阻。等效电阻。=L / R0=R0Cteffftf)()0()()(当正确求出当正确求出 f(0+)， f()及及三要素后，三要素后，即可按上式写出变量的完全响应。即可按上式写出变量的完全响应。注意标注注意标注单位单位4三要素法求完全响应三要素法求完全响应s(t=0)Cu电容电容C=0.1F，求，求S闭合后电容两端的电压闭合后电容两端的电压uC和电流和电流i。解：利用三要素法先求出解：利用三要素法先求出uC1、求初值、求初值V

42、uuCC5)0()0(例例8：is(t=0)Cu2、求终值、求终值VuC75010525)(10V25uCs(t=0)Cu3、求时间常数、求时间常数Ro=2/5=10/7SCR711 . 07100R0254、tCCCCeuuuu)()0()(Vet7)7505(750s(t=0)Cuii =dtduCC-71.5teA 电流电流 i 也可以通过也可以通过三要素法直接求得三要素法直接求得s(t=0)Cui换路后的电路换路后的电路10V25uCi10V25uCii 的初值的初值V5)0(Cui1i2A5 . 2)0(1iA1)0(2iA5 . 1)0(ii 的终值的终值0)(iteiiii)()

43、0()(A5 . 17teS(t=0)Lii求电路中的电流求电路中的电流 i和和iL。解：解：1、求初值、求初值AiiLL2)0()0(2、求终值、求终值AiL3)(例例9：S(t=0)Lii3、求时间常数、求时间常数SRL22404、tLLLLeiiii)()0()(Aet5 . 053Lii 2A555 . 0 te3V3V1 1 2 5Habi(t)iL(t)(a)K例例1010：如图电路原处于稳态，如图电路原处于稳态，t=0t=0时刻时刻K K由由a a转转向向b b，用三要素法求，用三要素法求t0t0时时i i(t)(t)及及 i iL L(t(t) )，并，并作出其波形。作出其波形

44、。3V3V1 1 2 5Habi(t)iL(t)(a)K3V1 1 2 -1.2Abi(0+)iL(0+)(b) 0+等效图等效图解解：（1）求初始值）求初始值iL(0+)和和 i(0+)-326(0 )= -1 + (2 /1 )215LiA +-6(0 )=(0 )=5LLiiA 作作0+等效图（等效图（b)1 i(0+)+2 i(0+)-(-1.2)=3 i(0+) =1/5 A（2） 求终值求终值iL( )和和 i( ) （图（图c）3V1 1 2 bi( )iL( )(c) t= 等效图等效图26()= ()1+25LiiA 1 1 2 (d) 求求 时时等效图等效图R00LR （3

45、） 时间常数时间常数（图（图d）05=1(2/1)3R 等效内阻，从动态元件两端看出去等效内阻，从动态元件两端看出去05=3( )5 / 3LsR -(t)= ()(0 )()tffffe （4） 由由Ai59)1/2(13)(33666612( )=()()(0)55555ttLiteeAt 3391998( )=()()(0)55555tti teeAt （5） 波形（图波形（图e）ti(t)09/56/51/5-6/5(A)iL(t)例例11：如图：如图(a)电路，电路，uc(0-)=2V，t=0时时K闭合，试闭合，试用三要素法求用三要素法求t0时时uc(t)及及i1(t)。-+6 12

46、VUsK2i1+-2 1Fi1(t)uc(t)+-(a)-+6 12VUsK2i1+-2 i1(0+)(b) 0+图图+-2V解解： （1）求初始值）求初始值uc(0+)及及i1(0+)uc(0+)= uc(0-)=2V，作，作0+图图(b)有：有：6i1(0+)-2i1(0+)=12 i1 (0+)=3A（2） 求终值求终值uc( )及及i1( )-+6 12VUsK2i1+-2 i1( )(c) t= 等效等效图图uc( )+-6i1( )-2i1( )=12 i1 ( )=3Auc ( )= -2 i1 ( )= -6V6 2i1+-2 i1(d) 求求 时时等效等效图图+-U0I0（3

47、）求时间常数）求时间常数 =R0C设用外加电源法（设用外加电源法（图图d）U0=2I0-2i16i1=2i1 i1 =0U0=2I0故：故： 等效内阻等效内阻R0=U0/I0=2 时间常数时间常数 =R0C=21=2(s)（4）uc (t)= -6+2-(-6)e-t/2= -6+8e-t/2 (V) t0i1 (t)= 3+(3-3)e-t/2= 3 (A) t0 例例122A2i1+-i144+-8V0.1H2uL+-iL12S开关合在开关合在1时已达稳定状态。时已达稳定状态。t=0时，开关由时，开关由1合向合向2， 求求t0+时的电压时的电压uL?解：解：AA)(i)(iLL42800

48、再求电感两端戴维宁等效电路再求电感两端戴维宁等效电路2A2i1+-i14420.1HuL+-iL开关打到开关打到2点电路点电路uoc2uL0.1H+-iLReq+-Aiiiuoc224111 Vuoc12 112) 44 (iiu101 iuRoceq2i1+-i1442u-+A.)(iL211012 s.RLeq010 12V2uL0.1H+-iL10+- tLLLLe)(i)(i)(ii 0 Ae).(.i.tL01021421 A)e.(itL1002521 tLedtdiLu10052 1.定义定义 0)( 10)( 0)(ttt t ( t )01一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数7-

49、7 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应2.波形波形相当于相当于0时刻接入电路的单位电流源或单位电压源时刻接入电路的单位电流源或单位电压源若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：K K：阶跃信号：阶跃信号强度强度。10（V）1010（t t）（）（V V）K K（V V）KK（t t）（）（V V），），例如例如 ：3.实际意义实际意义4. 4. 延迟单位阶跃信号延迟单位阶跃信号 )( 1)( 0)(000tttttt t ( t-t0)t0015阶跃信号的单边性阶跃信号的单边性 （截取信号的特性）（截取信号的特性）若用若用（t t）去乘任何信号，都

50、使其在）去乘任何信号，都使其在t0t0时为零，时为零，而在而在t t0 0时为原信号。时为原信号。利用此信号可描述许多信号。利用此信号可描述许多信号。)()(0tttff(t)0tt0tt0tof(t)to)()(0tttf0t)2()()(tttf例：例：)3() 1(4)(3)(ttttfto1to-1例：例：tototo3- 41阶跃信号表示：阶跃信号表示：例例 用用 ( t )函数函数描述开关动作描述开关动作K+uCUsRCi t = t0+uCUs ( t - t0 )RCi单位阶跃响应单位阶跃响应：电路在：电路在零状态零状态条件下，由条件下，由单位阶跃函单位阶跃函数引起的响应。记为

51、数引起的响应。记为s(t)线性时不变线性时不变零状态电路零状态电路单位阶跃单位阶跃信号信号单位阶跃单位阶跃响应响应s(t)( ) t当电路的激励为单位阶跃函数，当电路的激励为单位阶跃函数， V，或，或 A时，相时，相当于将电路在当于将电路在t=0时接通电压值为时接通电压值为1V或电流源为或电流源为1A的直流的直流电流源。因此单位阶跃响应与直流激励的响应相同。电流源。因此单位阶跃响应与直流激励的响应相同。( ) t( ) t0( )( )su tUt0( )U s t0( )( )si tIt0( )I s t电路的零状态电路的零状态响应响应二二 阶跃响应的分析阶跃响应的分析uC (0-)=0i

52、C+uCR)(t )( 1 t)e()t (uRCtC )( 1)( teRtiRCt tuc1t0R1i例例1：求如图：求如图RL电路在矩形脉冲电路在矩形脉冲us(t)作用下的响应作用下的响应电流电流i(t)，并作其波形。，并作其波形。1us(t)0t(s)t0R=1 -+us(t)L=1Hi(t)法一：分区间应用三要素法法一：分区间应用三要素法 =L/R=1/1=1(s)i(0-)=0i(0+)= i(0-)=00t t0时：时：i稳态稳态=1/R=1(A)故故i(t)=1+(0-1)e-t=1- e-t (A) 0t t000()=1(A)ti te t0 t 时是以时是以i(t0)为初

53、值的放电过程为初值的放电过程0()0( )= ()+ ()- ()tti tii tie 0()0=0+ ()-0)tti te 000()()0= ()=(1) (A)ttttti teee 1i(t)0t(s)01te t00()0()tti te 1- e-t法二：法二： 利用阶跃响应利用阶跃响应1U(t)0t(s)R=1 -+us(t)L=1Hi(t)（1）电路的单位阶跃响应）电路的单位阶跃响应s(t)=1- e-t t00 t0（2）输入信号）输入信号us(t)= s (t)i(t)= s (t) -s(t-t0) -s (t-t0)（3） 故故us(t)作用下零状态响应：作用下零状

54、态响应：0( )()ttt( ) t0()tt(1) ( )tet0-(t-t )-t0=(1-e ) (t)-1-e (t-t ) (A) i(t)= s(t) -s(t-t0)()t 1i(t)0t(s)01te t0s(t)-s(t-t0)i(t)注注 （1）注意各阶跃响应的时间区间。注意各阶跃响应的时间区间。 （2）方法二只适合于零状态时，若有初始储能，总）方法二只适合于零状态时，若有初始储能，总 响应应加上零输入响应。响应应加上零输入响应。)()()0()()(teffftft求解方法：求解方法：三要素法三要素法 例例2：求阶跃响应求阶跃响应i。写出写出i(t)表达式表达式 I1 I

55、2解：解：由由 t=o+等效电路，等效电路，0)(ouc有有 i (o+)=0.8A由由 t= 等效电路，等效电路，i ( )=0.5AIUR 45sRC1teiiiti)()0()()(Atet)()3 . 05 . 0(iIUiiIIU2)(Ii41例例3：图示电路，已知：图示电路，已知：iL(o-)=0，求求uL (t)、 i (t) 。提示：提示：先求单位阶跃响应，再将先求单位阶跃响应，再将u u用阶跃信号表用阶跃信号表 示，最后利用线性时不变电路性质求响应。示，最后利用线性时不变电路性质求响应。0)0()0(iiVuL5 . 0)0(mAi5)(0)(Lu100RmsRL1)()1

56、(5)(mAtetit)(5 . 0)(VtetutL)(2()1 (100) 1()1 (200)()1 (100)(21mAtetetetittt)(2(10) 1(20)(10)(21VtetetetutttL当当 时时当当 时时) 2( 20) 1 ( 40) ( 20tttu解：当解：当 时时 )(tu1. 单位脉冲函数单位脉冲函数 p(t) )()(1)( tttp 1d)( ttp面积（强度）：面积（强度）：2. 单位冲激函数单位冲激函数 (t) 1 0)()(lim0ttp )2()2(1)( tttp 1/ tp(t)0 / 21/ tp(t)- / 2令：令：7-8 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应定义定义 1d)(d)(00tttt t (t)(1)0 1d)()( 0)(000ttttttt t (t-t0)t00（1）3. 单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟 ( t-t0) 0)( 00)( 0)(ttt 0+）0-）幅度趋于幅度趋于面积仍为面积仍为14 4、 函数性质函数性质 （1）与）与(t)的关系的关系)(d)()(00tfttttf 同理有：同理有： tttfd)()( ) 0 (d)() 0 (fttf ttdttdtt)(100 tdtt0 （2）筛分性质）筛分性质t 0-t 0+)(