2022年初三数学中考专题复习——新定义综合问题

1、2022年初三数学中考专题复习新定义综合问题一、示范例题1（2022昌平期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQPOPQ且PO2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”已知点O（0，0），Q（1，0）（1）在P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）中是线段OQ的“潜力点”是_；（2）若点P在直线y = x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；（3）直线y = 2x + b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ 的“潜力点”时，直接写出b的取值范围.解析：解：（1） O(0，0)，Q (1，0)， OQ = 1.若 P1 (0，)，则

2、 OP1 = 1，不满足OQOP1；若 P2(，)，则 OP2 = ，P2Q = ， 不满足OP2P2Q；若 P3 (，1)，则 OP3 =，P3Q =， OQP3OP3Q，且OP32. P3是线段OQ的“潜力点”.（2）点P为线段OQ的“潜力点”， OQPOPQ且PO2， OQPO， 点P在以O为圆心，1为半径的圆外. POPQ， 点P在线段OQ垂直平分线的左侧. PO2， 点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内.又点P在直线y = x上， 点P在如图所示的线段AB上（不包含点B）. 由题意可知BOC和AOD是等腰三角形， BC =，AD =， .（3）1b或b-1.提示：由（2）可知，点P

3、为线段OQ的“潜力点”，则满足：OQPOPQ且PO2， OQPO， 点P在以O为圆心，1为半径的圆外. POPQ， 点P在线段OQ垂直平分线的左侧. PO2， 点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内.如图2，当b0时，由，解得：（舍去正数）， 直线y = 2x + b过点(，)时，得：b =， 根据图象，可得：b-1.如图3，当b0时，点M (，0)，N (0，b)， MN =，依题意，得：，即，解得：b = 0（舍去）或b =. 根据图象，可得：1b 综上所述，b的取值范围是：1b或b-1.说明：本题的核心是对定义中符号语言：OQPOPQ且PO2的图形化，即由OQPO可得，点P在以O为圆心，

4、OQ为半径的圆外，由POPQ可得，点P在线段OQ的垂直平分线的左侧，由PO2可得，点P在以O为圆心，以2为半径的圆内部及边界上，这样，就能找出满足定义的点P的平面区域.2（2022东城期末）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到O的弦AB（A，B分别为A，B的对应点），则称线段AB是O的关于直线l对称的“关联线段”例如：在图1中，线段AB是O的关于直线l对称的“关联线段”.（1）如图2，A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数. 在线段A1B1，A2B2，A3B3中，O的关于直线y = x + 2对称的“关

5、联线段”是_；yx1234-1-2-3-4-1-2-3-41234560A1A2A3B3B2B1图2若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在O的关于直线对称的“关联线段”，则m = ；（2）已知直线（b0）交x轴于点C，在ABC中，AC = 3，AB = 1，若线段AB是O的关于直线（b0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长.3（2020海淀期末）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”（1）如图1

6、，图形W是半径为1的O图形W上任意两点间的距离的最大值d为_；在点P1 (0，2)，P2 (3，3)，P3 (，0)中，O的“倍点”是_；（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A(，1)，若点E(，3) 是正方形ABCD的“倍点”，求的值；（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积4（2022平谷期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(0，)，以O为圆心，OA长为半径画圆，P为平面上一点，若存在O上一点B，使得点P关于直线AB的对称点在O上，则称点P是O的以A为中心的“关联点”.（1）如图，点P

7、1 (，0)，P2 (，)，P3 (0，)中，O的以点A为中心的“关联点”是_；（2）已知点P(m，0)为x轴上一点，若点P是O的以A为中心的“关联点”，直接写出m的取值范围；（3）C为坐标轴上一点，以OC为一边作等边OCD，若CD边上至少有一个点是O的以点A为中心的“关联点”，求CD长的最大值.二、试题归类（一）以“与”之间关系为背景1（2012年北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1 (x1，y1)与P2 (x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若，则点P1与点P2的“非常距离”为；若，则点P1与点P2的“非常距离”为.例如：点P1 (1，2)，点P2 (3，5)，因为，所以

8、点P1与点P2的“非常距离”为= 3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）.（1）已知点A (，0)，B为y轴上的一个动点， 若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； 直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y =上的一个动点， 如图2，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； 如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标.2（2021通州一模）在平面直角坐标系xOy中.任意两

9、点P (x1，y2)，Q (x2，y2)，定义线段PQ的“直角长度”为.（1）已知点A (3，2). ；已知点B (m，0)，若，求m的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”. 已知点M (3，3).点D (0，d)（d0），如果OMD为“和距三角形”，求d的取值范围；在平面直角坐标系xOy中，点为直线上一点，点K是坐标系中的一点，且满足CK=1当点C在直线上运动时，点K均满足使OMK为“和距三角形”，请你直接写出点C的横坐标xC的取值范围.3（2021大兴一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M (x1，y2)，N (

10、x2，y2)，若（k为常数且k0），则称点M为点N的k倍直角点根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点A（1，1），若点B（2，3）是点A的k倍直角点，则k的值是 ；在点C（2，3），D（1，1），E（0，2），O（0，0）中是点A的2倍直角点的是 ；若直线y2x+b上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；（2）T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r，若T上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围（二）有关“视角”问题4（2013年）对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得APB = 60，则称P为C 的关联点.已知点D(，)，E(0，-2)，F(，0

11、).（1）当O的半径为1时，在点D，E，F中，O的关联点是_；过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO = 30，若直线l上的点P(m，n)是O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.5（2022密云期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)和点B(5，0). 对于线段AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点. （1） 在点D (，2)、E (1，4)、F (3，)中，使得线段AB的可视角为45的可视点是 ；（2）P为经过

12、A，B两点的圆，点M是P上线段AB的一个可视点. 当AB为P的直径时，线段AB的可视角AMB为_度；当P的半径为4时，线段AB的可视角AMB为_度；（3）已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角ANB最大时，求点N的坐标.6.（2021朝阳一模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在P的内部或P的边上，则P的最小值称为点P对图形Q的可视度如图1，AOB的度数为点O对线段AB的可视度（1）已知点N（2，0），在点，中，对线段ON的可视度为60的点是_.（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）直

13、接写出点E对四边形ABCD的可视度为_； 已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45，求a的值图1 图2（三）对称性问题7（2021丰台二模）对于平面内点P和G，给出如下定义：T是G上任意一点，点P绕点T旋转180后得到点P，则称点P为点P关于G的旋转点下图为点P及其关于G的旋转点P的示意图在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点P（0，-2）（1）在点A（-1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于O的旋转点的是 ；（2）若在直线上存在点P关于O的旋转点，求的取值范围；（3）若点D在O上，D的半径为1，点P关于D的旋转点为点P，请直接写出点P的横坐标P的取值范围8（2

14、020顺义期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于x轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于x轴，直线l的二次对称点例如：点Q（0，1）关于x轴，直线x=1的二次对称点是Q（2，-1）（1）如图1，点A(0，-1)若点B是点A关于x轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 ；点C (-4，1)是点A关于x轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为 ；点D(-1，0)是点A关于x轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为 ；（2）如图2，O的半径为2若O上存在点M，使得点M是点M关于x轴，直线l4：x = b的二次对称点，且点M在射线 (x0)上，求b的

15、取值范围；（3）E(,t)是y轴上的动点，E的半径为2，若E上存在点N，使得点N是点N关于x轴，直线l5:的二次对称点，且点N在x轴上，求t的取值范围 图1 图29. （2020西城二模）对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点.（1）如图， 点P关于点B的定向对称点的坐标是 ； 在点，中， 是点P关于线段AB的定向对称点.（2）直线分别与x轴，y轴交于点G，H，M是以点为圆心，为半径的圆. 当时，若M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求的取值范围； 对于，当时，

16、若线段GH上存在点J，使得它关于M的定向对称点在M上，直接写出b的取值范围. （四）与距离有关问题10.（2020通州期末）如图，在平面内，点Q为线段AB上任意一点，对于该平面内任意的点P，若满足PQAB，则称点P为线段AB的“限距点”.（1）在平面直角坐标系xOy中，若点A (，0)，B(1，0).在点C (0，2)，D (，)，E (0，)中，是线段AB的“限距点”的是 ；点P是直线上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标xP的取值范围.（2）在平面直角坐标系xOy中，点A (t，1)，B (t，)，若直线上存在线段AB的“限距点”，请直接写出t的取值范围.11（2020门头

17、沟期末）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作 d（M，N）若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”（1）当O的半径为2时，如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，O）=_,d（B，O）= _；如果直线与O互为“可及图形”，求b的取值范围；（2）G的圆心G在轴上，半径为1，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果G和CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围12. （2020西城一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W

18、2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N可以重合），使得AM =2BN，则称图形W1和图形W2 满足限距关系. （1）如图1，点C（1，0），D（-1，0），E（0， ），点P在线段DE上运动（点P可以与点D，E重合），连接OP，CP 线段OP的最小值为 ， 最大值为 ；线段 CP的取值范围是 ； 在点O，点C中，点 与线段DE满足限距关系； 图1 图2（2）如图2，O的半径为1，直线与x轴、y轴分别交于点F，G若线段FG与O满足限距关系，求b的取值范围；（3）O的半径为r ( r0 )，点H，K是O上的两个点，分别以H，K为圆

19、心，1为半径作圆得到H和K，若对于任意点H，K，H和K都满足限距关系，直接写出r的取值范围.（五）“倍点”问题13. （2021石景山二模）在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点（1）当的半径为2时，在，三个点中，是的二倍点的是 ；已知一次函数与y轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，求a的取值范围（2）已知点，的半径为2，若线段BC上存在点P为的二倍点，直接写出m的取值范围 14（2020燕山二模）对于平面直角坐标系中的点P和图形，给出如下定义：若图形上存在两个点A，B，使得PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是图形的一个“和谐点”已

20、知直线l：与x轴交于点M，与y轴交于点N，O的半径为r(1) 若n0，在点(2，0)，(0，2)，(4，1)中，直线l的和谐点是 ；(2) 若r2，O上恰好存在2个直线l的和谐点，求n的取值范围；(3) 若n3，线段MN上存在O的和谐点，直接写出r的取值范围15（2021丰台期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ=kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点已知点A（2，2），B（2，2）（1）在点C（1，0），D（0，-2），E（1，1）中，线段AB的2倍等距点是 ； （2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图

21、形的面积； （3）已知直线y=x+b与x轴，y轴的交点分别为点F， G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围 （六）平移问题16（2020燕山期末）对于平面直角坐标系中的点P和图形G，给出如下定义：将点P沿向右或向上的方向平移一次，平移距离为d()个长度单位，平移后的点记为P，若点P在图形G上，则称点P为图形G的“达成点”特别地，当点P在图形G上时，点P是图形G的“达成点”例如，点P(1，0)是直线的“达成点”已知O的半径为1，直线l：(1) 当时，在O(0，0)，A(4，1)，B(4，1)三点中，是直线l的“达成点”的是 ；若直线l上的点M(m，n)是O的“达成点”，求

22、m的取值范围；(2) 点P在直线l上，且点P是O的“达成点”若所有满足条件的点P构成一条长度不为0的线段，请直接写出b的取值范围17.（2021东城期末）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1给出如下定义：记线段AB的中点为M ，当点M不在O上时，平移线段AB，使点M落在O上，得到线段AB(A，B分别为点A，B的对应点).线段AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”(1) 已知点A的坐标为（-1，0），点B在x轴上若点B与原点O重合，则线段AB到O的“平移距离”为_；若线段AB到O的“平移距离”为2，则点B的坐标为_； (2)若点A，B都在直线上，AB=2，记线段AB到O的“平移距离”为

23、d1，求d1的最小值；(3)若点A的坐标为（3，4），AB=2，记线段AB到O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围18（2021东城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知正方形，其中， ，为该正方形外两点，给出如下定义：记线段的中点为，平移线段MN得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点的对应点），线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”（1）如图1，平移线段，得到正方形内两条长度为1的线段 ，则这两条线段的位置关系是_；若分别为的中点，在点中，连接点与点_的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”；（2）如图2，已知点，若都在直线BE上，记线段到

24、正方形的“平移距离”为，求的最小值；（3）若线段MN的中点的坐标为(2，2)，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围（七）弧线型问题19(2020东城期末)在ABC中，CD是ABC的中线， 如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中线弧（1）如图，在RtABC中，AC=1，D是AB的中点如图1，若，画出ABC的一条中线弧，直接写出ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值；如图2，若，求出ABC的最长的中线弧的弧长l 图1 图2（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在ABC中，D是AB的中点求ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围

25、20（2020海淀二模）在平面内，对于给定的ABC，如果存在一个半圆或优弧与ABC的两边相切，且该弧上的所有点都在ABC的内部或边上，则称这样的弧为ABC的内切弧当内切弧的半径为最大时，称该内切弧为ABC的完美内切弧（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系xOy中，A(8,0)，B(0,6).（1）如图1，在弧G1，弧G2，弧G3中，是OAB的内切弧的是 ；（2）如图2，若弧G为OAB的内切弧，且弧G与边AB，OB相切，求弧G的半径的最大值；（3）如图3，动点M(m,3)，连接OM，AM.直接写出OAM的完美内切弧半径的最大值；记中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T点P为弧T上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交x轴和直线AB于点D，E，点F为线段PE的中点，直接写出线段DF长度的取值范围 21（2021海淀期末）如图1，对于PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为PMN关于点P的内联点 图1 图2在平面直角坐标系xOy中：（1）如图2，已知点，点B在直线上