第二讲高斯定理

1、第六章第六章 静电场静电场大学物理1高斯高斯（Carl Friedrich Gauss)Carl Friedrich Gauss) 1777-1855 1777-1855?德国数学家和物理学家。长期从事于数学研究并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域.著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见。在CGSCGS电磁系单位制中磁感应强度的单位定为高斯，便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理 1）曲线上每一点曲线上每一点切线切线方向为该点电场方向方向为该点电场方向, 2）通过垂直于电场方向单位面

2、积电场线数为该点通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场强度的大小电场强度的大小.（即，密度代表强度）（即，密度代表强度）SNEEd/d规规 定定ES2一 电场线 （电场的图示法）第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理+3第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理+ +4第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理+ + +5第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理qq26第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理+ + + + + + + + + + + + 电场线

3、特性电场线特性 1 1） 始于正电荷始于正电荷, ,止于负电荷（或来自无穷远止于负电荷（或来自无穷远, ,止止于负电荷；或始于正电荷，去向无穷远）于负电荷；或始于正电荷，去向无穷远）. . 2 2） 电场线不相交电场线不相交. . 3 3） 静电场电场线不闭合静电场电场线不闭合. .7第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理ES 通过电场中某一个面的通过电场中某一个面的电场线数电场线数叫做通过这个面叫做通过这个面的电场强度通量的电场强度通量. . 均匀电场均匀电场 ， 垂直平面垂直平面EES ecoseES 均匀电场均匀电场 ， 与平面夹角与平面夹角EneSEeES8

4、二二 电场强度通量电场强度通量第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理EE 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 sSEdcosdeesSEde0d,2e220d,2e11SEddenddSSe 为封闭曲面为封闭曲面SSdEne1dS2dS22E11E微元分析法：微元分析法：以平代曲；以平代曲；以不变代变。以不变代变。9第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理SSSESEdcosde 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量SEdde 例例1 如图所示如图所示 ，有一，有一个三棱柱体放置在电场强度个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电的匀

5、强电场中场中 . 求通过此三棱柱体的求通过此三棱柱体的电场强度通量电场强度通量 .1CN200iExyzEoESdES10第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理xyzEoPQRNM解解下右左后前eeeeee 下后前eee 0dsSE左左左左ESESsSEcosd enenene左右右右ESESsSEcosd e0 eeeeee下右左后前11第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理niiSqSE10e1d 在真空中在真空中,通过任一通过任一闭合曲面闭合曲面的电场强度通量的电场强度通量,等于等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以该曲面所包围的所

6、有电荷的代数和除以 .0（与（与面外面外电荷无关，闭合曲面称为电荷无关，闭合曲面称为高斯面高斯面）12三三 高斯定理高斯定理请思考：请思考：1）高斯面上的高斯面上的 与哪些电荷有关？与哪些电荷有关？ 2）哪些电荷对闭环曲面哪些电荷对闭环曲面S的的 有贡献？有贡献？ Ee第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理高斯定理的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理Sd+R 点电荷位于球面中心点电荷位于球面中心20 4RqE SSEde0qSSRqd 42013第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理14 点

7、电荷在任意闭合曲面内点电荷在任意闭合曲面内+SdnedS dSrqcosd4d20e20d4rSq00ed4qqrSdd2其中立体角其中立体角第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理15q2dS2E1dS1E+ 点电荷在闭合曲面外点电荷在闭合曲面外0dd111SE0dd222SE0dd21 0SESd第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理16 由多个点电荷产生的电场由多个点电荷产生的电场iqsSdE21EEE SiiSSESEdde （外）内）iSiiSiSESEdd(e(01diiSiiESq内)内)(d0iSiES 外)第六章第六章 静

8、电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理e(01diSiESq)高斯定理高斯定理1）高斯面上的电场强度为高斯面上的电场强度为所有内外电荷所有内外电荷的总电场强度的总电场强度.4）仅高斯面仅高斯面内内的电荷对高斯面的电场强度的电荷对高斯面的电场强度通量通量有贡献有贡献.2）高斯面为封闭曲面高斯面为封闭曲面.5）静电场是静电场是有源场有源场.3）穿进高斯面的电场强度通量为穿进高斯面的电场强度通量为负负，穿出为，穿出为正正.总总 结结17第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理例例 一封闭高斯面内有两个点电荷，电量为一封闭高斯面内有两个点电荷，电量为 +q 和和

9、q，封闭面外也有一带电封闭面外也有一带电 q 的点电荷（如图），则下的点电荷（如图），则下述正确的是述正确的是 （A）高斯面上场强处处为零高斯面上场强处处为零 （B）对封闭曲面有对封闭曲面有 （C）对封闭曲面有对封闭曲面有 （D）高斯面上场强不为零，但仅与面内电荷有关高斯面上场强不为零，但仅与面内电荷有关qqq0dSSE0dSSE18第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理1S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，做如下的三个的静电场中，做如下的三个闭合面闭合面 求求通过各闭合面的电通量通过各闭合面的电通量 . .,321S

10、SSqq讨论讨论 将将 从从 移到移到2qABePs点点 电场强度是否变化电场强度是否变化？穿过高斯面穿过高斯面 的的 有否变化有否变化？2q2qABs1qP* *19第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理 例例 有一边长为有一边长为 的正方形平面，其中垂线上距的正方形平面，其中垂线上距正方形中心正方形中心 点为点为 处有一电量为处有一电量为 的正点电荷的正点电荷, ,则则通过该正方形平面的电通量为：（通过该正方形平面的电通量为：（ ）aoq2a(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)064q06q03q06qoq q2aq qa a0qsdES20第六章第

11、六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性对称性）找到恰当的高斯面找到恰当的高斯面( (对称性对称性) )，使，使 中的中的 能够能够以标量形式提到积分号外，从而简便地求出以标量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。分布。 sSEdEE常见类型：常见类型： 场源电荷分布场源电荷分布球对称性球对称性轴对称性轴对称性面对称性面对称性21四四 高斯定理的应用高斯定理的应用第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理22例例2 均匀带电球面的电场强度均匀带电球面的电场强度 一半径为

12、一半径为R, 均匀带电均匀带电q的薄球壳的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强度求球壳内外任意点的电场强度.+ORq+0iq 0E204 qEr204 qRrRoE解解(1) 0rR，(2),rR对称性分析：对称性分析：球对称球对称21d4SE Sr E22d4SE Sr Eiqqr1Sr2s第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理+oxyz例例3 无限长均匀带电直线的电场强度无限长均匀带电直线的电场强度下底）上底）柱面）(dd dsssSESESE选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷

13、，即电荷线密度为荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处的电场强度.r对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称解解hSSEd柱面）(dsSEneneneE+r23第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理0hrE0 20 2hrhE 柱面）(ddsSSESE+oxyzhneE+r24第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

14、 + + + + + 例例4 无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强度.r选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面02E对称性分析：对称性分析： 垂直平面垂直平面E解解0dSSES底面积底面积+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + SEESSS20SE 25第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理02EEEEExEO)0(26第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理000000讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题27第六章第六章 静电场静电场6-2 6-2 高斯定理高斯定理大学物理总结总结由高斯定理求电场分布的步骤由高斯定理求电场分布的步骤1. 对称性分析对称性分析：电荷分布对称性：电荷分布对称性 电