数学建模售货亭的位置选择问题 -

1、售货亭的位置选择问题摘要 本文讨论了售货亭的位置选择问题，首先对学生出行的目的进行了划分，再根据所给的图示以及各个小题的条件对影响售货亭位置的各个因素的进行了讨论分析。我们对问题（1）先进行较完善的模型建立，通过问题（1）中的模型求解问题（2）（3）（4）。对于问题（1），先把单一的因素作为判断指标，从易到难，首先对指标一宿舍到售货亭的最短路程进行求解，得到当售货亭位于点E时，总路程最短为20（百米）。其次，对指标二公平程度进行求解，得到当位于点B时最公平，即每位学生到达售货亭的路程最接近平均水平。再次，对指标三购物人数最大进行求解，取出行目的为购物的人数为200，经计算得到位于点E时的购物人

2、数最多，为900人。然后，对于指标四人流量密度最大进行求解，通过列表计算，得到位于点D的人流量密度最大。最后，通过列表比较分析得出尽可能满足以上四个指标的点E。对于问题（2），采用“0-1规划”对四个指标下的最优组合方式进行求解，通过散点图得出，四个指标下的最优组合分别为，B和D，C和E，B和E、B和G、D和E、D和F四组，D和F。对于问题（3）、（4），我们将条件中男女生购买机会的不同和山路平路的关系分别转换到人数和路程的改变上，修改问题（1）中的模型，求得问题（3）分别在四个指标下的最优选择为E点,G点,E点,D点，综合比较四个指标，得到点E最大程度的满足了以上条件，问题（4）在求解问题（

3、5）之前，我们对模型进行了进一步讨论，采用了离散优化模型，用层次分析法确定了各个指标的权重分别为0.0516，0.0620，0.3742，0.5122，确定了人流量应为主要考虑对象。对于问题（5），我们首先考虑每条路的人流量，根据问题（1）求得的每条路的人流量，确定路段DE为人流量最大的一条路，再在该条路段上建立坐标，取点作图分析出得出当纵坐标为1.8时，此时横坐标为4.44，该点为售货亭位置的最优点。在模型的评价和改进中，我们分析了模型的优点和缺点，对问题（1）中以公平程度为指标的线性函数模型进行改进。最后，我们对该模型进行了简单的推广。关键词：售货亭选址；最短路径；人流量；一、问题的提出和

4、重述1.1问题的提出售货亭的地址选择是否正确，直接决定了售货亭的盈利，而大学校园中的售货亭选择还需要考虑到其他的很多因素，如满足购物需求、分布均衡合理等。图中给出了某大学校园一角的形状，图中给出了人行道、宿舍楼和它们之间的大概距离（单位：百米），图中的六个交叉点为售货亭地址的备选点，要求选择一个交叉点，定为周末售货亭的地址。1.2问题的重述问题1根据图中所给数据或结合自己搜集分析得出的数据，考虑有什么因素影响选址并在六个备选点中选择一个定为售货亭。问题2将售货亭的数量增加一个，重新考虑售货亭位置的选择。问题3假定A和F是女生宿舍，C、D和E是男生宿舍, 并且女生光临售货亭的机会是男生的3/2倍

5、，重新考虑售货亭的位置选择。问题4假定在B和E之间，以及B和G之间有一座小山，从山上行走难度将大于平地行走，比如说，走1米山路相当于走2米平地，这时，重新考虑售货亭的位置选择。问题5不考虑售货亭必须设在交叉点，在路边即可，售货亭位置将发生什么变化。思考是否还有其他影响售货亭位置选择的因素，若有，则加以讨论。二、问题的分析售货亭的位置选择问题属于地址选择性问题，根据所给的图示，和各个小题中的条件对售货亭的位置进行讨论和确定，共设5小题。显然，学生在周末不可能全部集中在宿舍，必定是随机的分布在宿舍以及各条道路上，按照这种思路，模型的构建将会相当繁琐，而换一种思路去考虑，我们发现，实际上只需要假设所

6、以的学生的初始状态都在宿舍，而出行必然带有一定目的，将他们的目的划分为购物和除购物以外的活动。问题（1）：考虑出行目的为购物：由于影响售货亭位置选择的因素很多，我们选择了三个较为重要的因素作为判断指标，从简到繁，分别对单个因素进行建模分析。1、 各宿舍以购物为目的人到售货亭的总路程最小：由于图中所给的数据量较少，我们采用“穷举法”，对每幢楼到各个交叉点路程进行计算，然后将结果列表，得出售货亭选址的最优选择。2、 购物需求的公平程度：考虑尽量使每位大学生到售货点的路程相接近，就必须提出各个学生到售货点路程的平均指标，因此我们采用方差计算原理对该问题进行求解。3、 购物的人数最大化：考虑到要使售货

7、点的盈利，就要保证购物人数最大化，我们对购物人数与路程远近建立函数关系，求出购物人数的最大值所对应的交叉点。考虑出行目的不是购物的学生：对于这部分学生，我们假设每条路上的人数是均匀分布的，然后计算出各点的人流量密度，选择密度最大的点为售货亭。我们再采用“穷举法”对以上四个因素在各个交叉点的结果进行求解，并且列表进行对比，最后确定尽可能同时满足上述四个判断指标的售货亭位置。问题（2）：由于售货亭增加，在问题（1）的基础上结合实际进行模型优化，采用“0-1规划”对该问题进行分析求解。问题（3）、（4）：对于这两个问题，我们考虑到新的条件可以分别转换成为人数和路程的变化，因此我们通过调节问题（1）中

8、的模型的某些项的系数，简化问题，从而对售货亭的位置进行确定。最后，我们建立离散优化模型，采用层次分析法，综合考虑四个因素，选择最优点为售货亭。问题（5）：由于直线上的点是连续，所以我们首先考虑每条路的人流量，选取人流量最大的一条路，再在该条路段上建立坐标，取点作图分析出得出结果。三、模型假设1、 售货亭能提供足够的货源，且在周末学生想要买东西只能前往该售货亭。2、 学生前往售货亭购物时，只能步行，按照图中的路线（即黑线部分）行走，不能穿越除路线外的其他区域。3、 学生的初始状态全部集中在宿舍内，且学生前往售货亭时，只选择最短路线。4、 图中每幢楼外出目的为购物的人数是相等的，且每个学生的购买能

9、力是相同的。5、 对于问题（1）（2）（3）假设每条道路行走的难以程度是相同的。6、 对于问题（1）（2）（4）假设男女同学的购买机会是均等的。7、 学生想要到湖边，必须要到G点，即湖的位置在G点。四、符号说明：交叉路口，=1,2,3,4,5,6分别表示路口B、C、D、E、F、G；：宿舍楼，=1,2,3,4,5分别表示楼A、C、D、E、F；：每幢楼外出目的为购物的学生人数；：每幢楼外出目的不为购物的学生人数；：当售货亭放置在第点，每幢楼以购物为外出目的的人数中实际外出的人数的总和；：每幢楼外出目的为购物的人到第个交叉路口的所走的总路程：每幢楼到第个交叉路口的路程总和：图中第点到第点的距离；：所

10、有宿舍楼到第个路口的平均距离；：参数，代表距离和每幢楼实际出行购物人数的关系系数；：0-1规划的系数，只取0或1；：参数，代表路段中出现山路时，该路段总路程变化的倍数：影响位置选择的第个因素。:层次分析法中的成对比较矩阵五、模型的建立和求解5.1 问题（1）的讨论和求解：5.1.1考虑总路程最小：首先，我们先对问题进行假设，从最简单的因素入手，以各宿舍出行目的为购物的人到售货亭的总路乘最小为判断指标，图中有，即要求出 （1）由于假设了每幢楼以购物为目的人数相同，我们将求（1）转换为求 （2）根据（2）式，我们将五幢宿舍楼所在的点A、C、D、E、F分别到B、C、D、E、F、G六个备选点的路程图汇

11、总至下表，计算出售货亭在各点所对应的总路程。表5.1 备选点到五个宿舍的距离（百米）ACDEFB3454521C7016822D8105721E7650220F8872025G7883127从表中，我们可以看出在备选点E处建立售货亭满足售货亭到各个宿舍的总路程之和最小，因此我们应该选择点E建立售货亭。5.1.2考虑购物需求的公平程度以售货亭必须要满足每位学生到售货亭的距离接近平均水平为出发点，我们采用方差计算的原理。由假设中楼A、C、D、E、F的人数相同均为，则有 （3）在（1）式中，为方差。要使每位学生到售货亭的距离最接近平均水平，要取最小值，根据图中所给的数据，我们取每幢楼外出目的为购物的

12、人数均为，代入上式中，得到在B、C、D、E、F、G六个点的值，从小到大排序，见表5.2表5.2备选点BEGDCF11200013600001648000203200021280002240000位于点B的值最小，即五幢楼到点B的距离最接近平均水平，应选择B点。对于该问题，我们可以做进一步讨论，不考虑人数相等的假设，设楼A、C、D、E、F外出目的为购物的人数分别为，此时（3）式改为： （4）其中代表人数，这些人数的平均值。这样我们就建立了更加合理的模型，只要将每幢楼外出目的为购物的人数取值代入，就可求得最优值对应的值，从而确定对应的交叉点。5.1.3考虑使购物的人数最大化售货亭的建立的主要目的是

13、盈利，我们认为要尽量使购买的人数最多。而实际上，并不是所有以购物为外出目的学生都会外出，他们外出购物的心理会受到某些因素的影响。因此，实际外出的人数应该和售货亭离宿舍的远近存在一定的关系，即售货亭离该宿舍的路程越长，该宿舍实际出行购买的人数越少。我们假设二者存在线性关系，建立最简单的线性模型如下： （5）我们查阅消费行为学以及零售学方面的有关资料，对于值的确定，需要考虑到商店的规模、城市发展程度、交通、天气等因素，无详细的数据信息。因此经过合理的考虑，我们令，代入上式求解结果从大到小排列，如表5.3：表5.3备选点EBDCFG900895895890875865结果显示，售货亭建在点E时，实际

14、出行购买的人数最大为900人，因此，应该选择点E作为售货亭。5.1.4 考虑人流量密度我们定义人流量为单位时间内通过某一个路段的人数总量，人流量密度为单位长度路段上的人流量，不同于5.1.3中的人数最大化，考虑人流量密度时，我们考虑的是不以购物为目的而出行的学生，假设这部分人出行的目的地是除所在寝室外的其余各个寝室以及湖G点。假设从A点出发，去C,D,E,F,G的各有人。从A到C的最短路径为A-B-C,总长为7，则该路段的人流量密度为，从A到E的最短路径为A-B-E，总长为7，则该路段的人流量密度为，同理，我们再根据从A到G,F,D的最短路径算出相应路段的人流量密度分别为，由于A到各点的最短路

15、径都包括了路段AB，则AB上的人流量密度为 ，人流量为 ， 3代表AB的长度。按照这样的算法计算出每段的人流量，如下各表表5.4CDEFGABn/7n/8n/7n/8n/7BCn/7n/8CDn/8DEEFFGGBBE上表为从A宿舍出发，以其他各个宿舍点和湖G为目标，各个路段的人流量密度表5.5ADEFGABn/7BCn/7n/8CDnn/6n/8DEn/6n/8EFFGGBBEn/8上表为从C宿舍出发，以其他各个宿舍点和湖G为目标，各个路段的人流量密度表5.6ACEFGABn/8BCn/8CDn/8nDEn/5n/7n/8EFn/7n/8FGn/8GBBE上表为从D宿舍出发，以其他各个宿舍点

16、和湖G为目标，各个路段的人流量密度表5.7ACDFGABn/7BCCDn/6DEn/6n/5EFn/2n/3FGn/3GBBE上表为从E宿舍出发，以其他各个宿舍点和湖G为目标，各个路段的人流量密度表5.8ACDEGABn/8BCCDn/8DEn/8n/7EFn/8n/7n/2FGn/8nGBn/8BE从F宿舍出发，以其他各个宿舍点和湖G为目标，各个路段的人流量密度由以上各表可得各路段上的综合人流量密度及其人流量，如表5.9表5.9ABBCCDDEEFFGGBBE人流量密度1.2143n0.6607n2.8333n1.3941n1.9940n1.7083n0.4107n0.2857n人流量3.6

17、429n2.6428n2.8333n6.9705n3.9880n1.7083n1.6428n1.1428n根据表5.9，得到各个交叉点的人流量密度排序如下表5.10BCDEFG人流量密度2.5714n3.4940n4.2274n3.6738n3.7023n2.1190n显然，在点D的人流量密度最大，因此售货亭应选择点D。5.1.5 四个因素的综合考虑我们已经在5.1.1至5.1.4针对每个指标用“穷举法”进行了计算求解，现在，我们将上述四个指标进行综合考虑。我们将上述四个指标的结果进行汇总，定义，分别表示上述四个指标，将每个指标按最优点到最劣点排序，如表5.11EB和DCFGBEGDCFEB和

18、DCFGDFECBG要使选择的位置尽可能的满足以上四个指标，我可以从表5.11中看出，E,B,D为较优点，因此我们只需要选择E,B,D三个点进行讨论。若我们考虑以购物为目的学生到售货亭的购物的可能性远远大于另外一部分学生，则需要着重考虑前三项指标，显然，我们应该选择点E；若人流量密度的影响程度很大，考虑第四个指标，可以看出，点E处于也中上位置，综合考虑，点E为售货亭位置选择的最优点。5.2 问题（2）的讨论和求解：售货亭的数量增加一个，我们假设两个售货亭的规模大小是相同的，不存在市场竞争，因此，外出购物的同学只会选择离自己寝室近的售货亭。根据5.1.4中人流量的算法，该条件的改变不影响人流量计

19、算的结果。在问题（1）的基础上，我们对模型进行修改，由于求解变得复杂，我们采用“0-1规划”直接得到每个指标下最优点。以为判断指标，我们将（1）式改写成目标函数 (6)以为判断指标，我们将（3）式改写成目标函数 (7)以为判断指标，我们将（5）式改写成目标函数 (8)目标函数（6）（7）（8）的约束条件均为s.t (9)用MATLAB编程实现，分别做出散点图如下：图5.1 以的判断指标六个交叉点任取两个点共有15种组合方式，在图中表示为15个点，从左到右的每个点依次代表B和C，B和D，B和E，B和F，B和G，C和D，C和E，C和F，C和G，D和E，D和F，D和G，E和F，E和G，F和G,纵坐标

20、为总的最短路程，由图得，从左起的第二个点代表的组合方式为最优组合，即B和D。图5.2以的判断指标同图5.1的分析方法，从左起第7个点代表的组合方式为最优组合，即点C和E。图5.3以的判断指标同理，我们可以看出，从左起第3,5,10,11个点代表的组合方式为最优组合，即点B和E，B和G，D和E，D和F。若考虑以为判断指标，我们选择人流量密度最大的前两个点，由表5.10，我们可以看应选择点D和F。5.3 问题（3）的讨论和求解由题意得，女生光临售货亭的机会是男生的3/2，也就是男生和女生的购买机会不相等的。根据5.1.4中人流量的算法，该条件的改变同样不影响人流量计算的结果。我们可以将这个条件转换

21、为女生宿舍（楼A,F）出行以购买为目的的人数是男生的3/2倍，在问题（1）的基础上，进行修改。以为判断指标，我们将（1）式改为 （10）以为判断指标，我们将（3）式改为(11)以为判断指标，我们将（5）式改为 （12）按照假设中令，用MATLAB重新编写程序，计算结果，加入5.1.3中以为指标的计算结果，同样按照从优到劣的排序如下表：表5.12EBDFCGGEBFCDEB和DCFGDFECBG将该表和表5.11进行比较，从表中我们发现，条件的改变后，点B,D受到了影响，在部分指标下，处于中下水平，而对于点E，影响不大，我们认为应选择点E为售货亭位置。5.4 问题（4）的讨论由题中的条件的题目中

22、设B、E之间及B、G之间有小山，山路和平地存在着一定的关系，如走1米的山路相当于走2米的平地，但是由于山的高度和宽度都是未知，所以我们无法准确的得山路对于原来路程改变的影响程度。因此，我们在B、E及B、G之间的路程长度前加一个系数，用*BE和*BG表示BE和CE的路程长度，现在我们取，所有经过BE及BG的路径的路程都有所增加，见下表：表5.13ACDEFB3454.45.4C70168D81057E7.46502F8.48720G7.48.4831利用MATLAB程序解出得到的结果的最优点与问题（1）中的相同，我们发现，只要的取值在一定范围内不影响最短路径的选择，则模型不需改变。若的值不断增加

23、，我们发现对于某些宿舍到各个交叉的最短路径发生变化，且最短路径的长度发生了变化。经过计算我们得出，当小于1.25时，模型的求解结果不受影响，与问题（1）的相同，当等于1.25时，某些点的到交叉点的最短路径就可能出现多种选择，当大于1.25时，大部分宿舍到交叉点的最短路径发生改变。题中没有明确数据用于推算给出的值，因此，对于等于或大于1.25的情况，我们只需要重新按照问题（1）的思路考虑模型的建立就能确定最优点。5.5 层次分析模型的建立和分析综合考虑影响售货亭位置选择的因素，简单的列表对比无法确定每个影响因素作用的大小，因此我们对模型进一步讨论，采用层次分析模型。该问题中的层次结构如下图：购物

24、总路程公平程度购物人数人流量密度售货亭选址BCDEFG图5.4 售货亭选址的层次结构首先，根据1-9迟度，比较准则层的4个因素对目标层的影响，每次取两个因素进行比较，求其比值。全部比较结果可用成对比较矩阵A来表示：用同样的方法构造方案层对第二层的每一个准则的成对比较，不妨设它们为： 通过MATLAB求解分别得到以上各矩阵的最大特征根和最大特征根所对应的特征向量如下：A：4.0674 0.3184 0.5225 0.5225 0.0286：0.5511 0.0589 0.3324 0.2138 0.0457 0.2547 0.8794：8.1586 0.0259 0.3850 0.8861 0.

25、1193 0.2195 0.0598：6.5315 0.4169 0.2465 0.4187 0.7577 0.1144 0.0539：9.7538 0.0739 0.2291 0.8052 0.3115 0.3857 0.2189 以所对应的特征向量分别与A所对应的特征向量相乘，得到四个数据如下：0.0516，0.0620，0.3742，0.5122，由此可看出因素的比重超过了一半，从而确定以人流量为主要考虑对象。5.6（5）的讨论和求解由于备选点不只是交叉点，此时，线段上的任何一点都为备选点，因此我们将题中所提供的校园一角的图放入X-Y坐标系中，为了方面坐标的确定令BE,GF,CD均垂直于

26、EF，AC平行于EF，如下图：3AB4414512CDEFG0图5.5则A（0,4），B（3,4），C（7,4），D（7,3），E（3,0），F（1,0），G（1,1）。由层次分析可知，因素所占权重值最大，次之，而影响远远小于前两者。因此我们只考虑即可。为简化模型，对于而言，人流量是始终不变的，由5.1.4中的表5.10可得，人流量最大的路段为DE段，从而将范围缩小，直接在此线段上考虑因素。DE的函表达式数为 （13）设DE上所需确定的点为Q（x,y）,则EQ段与QD段的长度分别为 （14） （15）将（13）式代入（14）（15）中得由图可知，A到Q的路径有两条：一条是A-B-E-Q，所走的

27、路程是，另一条是A-B-C-D-Q，所走的路程是；C到Q的路径为C-D-Q，所走的路程为；D到Q的路径为D-Q，所走的路程为；E 到Q的路径为E-Q，所走的路径为；F到Q的路径为F-E-Q，所走的路径为；当时，求得，即当时A到Q选择A-B-E-Q，当时选择A-B-C-D-Q。仍旧利用5.1.3中的式（5），通过MATLAB编程，将以0.01的间距从O取到3，如图：图5.6要使所有的人数最大，有图得出，最高点为最适合的点，此时对应得横坐标为180,对于图5.5而言，纵坐标为180/100=1.8,所以，当纵坐标为1.8时，此时横坐标为4.44，该点为售货亭位置的最优点。六、模型检验对于离散优化模型，我们采用一致性检验的标准。由相关定理，n阶互反矩阵A的最大特征根，而当时A是一致阵。定义一致性指标为，当CI=0时A为一致阵，CI越大A的不一致程度越严重。引入随机一致性指标RI，当此时n=4时查表得RI=0.90。定义一致性比率为CR=CIRI。代入数值计算得CR.，一致性通过，上述可作为权向量。同理，的一致性比率，也检验合格。七、模型的评价和改进模型优点:我们采用逆向思维方式，从将所有学生的杂乱随即的行为归结为最初都是在宿舍，出行带有某一目的性这两大状态进