函数的和差积商的导数ppt课件

1、 函函 数数 的的和、差、积、和、差、积、商商 的的 导导 数数 一、复习：一、复习：1.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函数数的的增增量量与与自自变变量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求极极限限，得得导导函函数数2.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.3.常见函数的导数公式常见函数的导数公式:公式公式1: .)(0为为常常数数CC

2、公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 公式公式3: .xxcos)(sin 公式公式4: .xxsin)(cos 二、新课：二、新课： 由上节课的内容可知函数由上节课的内容可知函数y=x2的导数为的导数为y=2x,那那么么,对于一般的二次函数对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是它的导数又是什么呢什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则这就需要用到函数的四则运算的求导法则.1.和和(差差)的导数的导数:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导等于这两个函数的导 数的和数的和(差差),即即:.)(vuvu 证证:),()()(xvxuxf

3、y ;)()()()()()()()(vuxvxxvxuxxuxvxuxxvxxuy ,xvxuxy );()(limlim)(limlim0000 xvxuxvxuxvxuxyxxxx 即即:.)(vuvuy 2.积的导数积的导数:法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数 乘第二个函数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数 的导数的导数 ,即即.)(vuvuuv 证证:),()()(xvxuxfy ),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy .)

4、()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy 因为因为v(x)在点在点x处可导处可导,所以它在点所以它在点x处连续处连续,于是当于是当x0时时, v(x+x) v(x).从而从而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000 xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx 即即:.)(vuvuuvy 3.商的导数商的导数:推论推论:常数与函数的积的导数常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数等于常数乘函数的导数,即即:.)(uCCu 法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母等于分子的导数与分母 的积的积,减去分

5、母的导数与分子的积减去分母的导数与分子的积,再除以分母再除以分母 的平方的平方,即即:).0()(2 vvvuvuvu考虑考虑:你能否仿照积的导数的推导过程你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数证明商的导数 公式吗公式吗?有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定而不必从导数定义出发了义出发了.三、例题选讲：三、例题选讲：例例1:求下列函数的导数求下列函数的导数:.cossinco

6、ssin)7(;)1)(1()6(;sin1cos)5(;1)32()4(;tan)3(;1)2(;21)1(33222222xxxxxyxxxyxxxxyxxyxyxxyxxy 答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy ;3sin2cossincos2)5(32322xxxxxxxxxy ;)1()1(321)6(422xxxxy .)cos(sincoscossin1)7(22xxxxxxy 例例2:(1)命题甲命题甲:f(x),g(x)在在x=x0处均可导处均可导;命题乙命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在

7、在x=x0处可导处可导,则甲是乙成立的则甲是乙成立的( ) (A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)必要不充分条件必要不充分条件 (C)充分必要条件充分必要条件 (D)即不充分也不必要条即不充分也不必要条件件 A(2)下列函数在点下列函数在点x=0处没有切线的是处没有切线的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosxxD(3)假设假设 则则f(x)可能是下式中的可能是下式中的( ),1)(2xxf 3321)(2)(1)(1)(xDxCxxBxA B(4)点点P在曲线在曲线y=x3-x+2/3上移动时上移动时,过点过点P的曲线的曲

8、线的的 切线的倾斜角的取值范围是切线的倾斜角的取值范围是( ),432, 0)( 43,2()2, 0)(),43)( 43, 0)( DCBAD例例3:某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解解得得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点. 即即t3-12t2+32t=0,

9、解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.例例4:已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y

10、+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因为两切线重合因为两切线重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4.注注:此题为此题为p.238第第12题题.例例5:在曲线在曲线y=x3-6x2-x+6上上,求斜率最小的切线所对应求斜率最小的切线所对应 的切点的切点,并证明曲线关于此点对称并证明曲线关于此点对称.解解:由于由于 ,故当故当x=2时时, 有

11、最小值有最小值.13) 2( 3112322 xxxyy 而当而当x=2时时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点故斜率最小的切线所对应的切点为为A(2,-12).记曲线为记曲线为S,设设P(x,y)S,则有则有y=x3-6x2-x+6.又点又点P关于点关于点A的对称点为的对称点为Q(4-x,-24-y),下证下证QS.将将4-x代入解析式代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.即即Q(4-x,-24-y)的坐标是的坐标是S的方程的解的方

12、程的解,于是于是QS.这就证明了曲线这就证明了曲线S关于点关于点A中心对称中心对称.练习练习1:已知曲线已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线求曲线C上横上横坐坐标为标为1的点的切线方程的点的切线方程;(2)第第(1)小题中切线与曲线小题中切线与曲线C是是否还有其它公共点否还有其它公共点?如果有如果有,求出这些点的坐标求出这些点的坐标. 解解:(1)把把x=1代入曲线代入曲线C的方程得切点的方程得切点(1,-4). ,所以切线的斜率所以切线的斜率k=12-6-18=-12.故切线方程为故切线方程为y+4=-12(x-1),即即y=-12x+8.xxxy1861223 .32,

13、 2, 1, 0)23)(2() 1(, 04129238124923)2(2234234 xxxxxxxxxyxxxy即即由由).0 ,32(),32, 2( ,)4, 1(:03244923234 切点切点即公共点为即公共点为，求得求得代入代入yxxxy故除切点以外故除切点以外,还有两个交点还有两个交点(-2,32),(2/3,0). 事实上事实上,在曲线在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为是只有横坐标为-a/3的唯一一点的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点其它公共点.而点而点M实际上就是这条三次曲线的对称中实际上就是这条三次曲

14、线的对称中心心.练习练习2:设三次曲线设三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线过原点的切线l1,平行平行 于于l1的另一条切线为的另一条切线为l2. (1)求求l1、l2的方程的方程; (2)当当l1、l2的斜率为的斜率为m时时,求斜率为求斜率为-m的两切线的两切线 l3、l4的方程的方程. (3)求求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积所围成的平行四边形的面积.答案答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.例例6:用求导的方法求和用求导的方法求和:).1() 1(3221) 2();1(

15、321)() 1 (212 xnxnxSxnxxxxPnnnn对对(1)由求导公式由求导公式 可联想到它是另一个和式可联想到它是另一个和式x+x2+x3+xn的导数的导数.,)(1 nnnxx),1(1)1()1(32 xxxxxxxxnn解：解：.)1 () 1(1)1 ()1)()1 ()()1()()(21211132xnxxnxxxxxxxxxxxxxxxPnnnnnnn .)1(2)1()1(2)1( )()2(3121xxnnxnxnnxPSnnnnn 例例7:已知抛物线已知抛物线C1:y=x2+2x和和C2:y=x2+a,如果直线如果直线l 同时是同时是C1和和C2的切线的切线,

16、称称l是是C1和和C2的公切线的公切线,公切公切线线 上两个切点之间的线段上两个切点之间的线段,称为公切线段称为公切线段. ()a取什么值时取什么值时,C1和和C2有且仅有一条公切线有且仅有一条公切线?写写出出 此公切线的方程此公切线的方程; ()若若C1和和C2有两条公切线有两条公切线,证明相应的两条公切线证明相应的两条公切线 段互相平分段互相平分.(2019天津高考天津高考(文文)题题)()()解解: :函数函数y=x2+2xy=x2+2x的导数的导数y=2x+2,y=2x+2,曲线曲线C1C1在点在点P P (x1,x12+2x1) (x1,x12+2x1)的切线方程是的切线方程是y-y

17、-(x12+2x1)=(2x1+2)(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1), (x-x1),即即 y=(2x1+2)x-x12y=(2x1+2)x-x12; ;函数函数y=-x2+a的导数的导数y=-2x,曲线曲线C2 在点在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即即y=-2x2x+x22+a . 如果直线如果直线l是过是过P和和Q的公切线的公切线,那么那么式和式和式式都是都是l的方程的方程. 所以所以 消去消去x2得方得方程程:2x12+2x1+1+a=0. ,222222121 axxxx若判别式若判别式=4=44 42(1

18、+a)=02(1+a)=0时时, ,即即a=-1/2a=-1/2时解得时解得x1=-1/2,x1=-1/2,此时点此时点P P与与Q Q重合重合. . 即当即当a=-1/2a=-1/2时时C1C1和和C2C2有且仅有一条公切线有且仅有一条公切线, ,由由得得公切线方程为公切线方程为y=x-1/4.y=x-1/4. ()()证证: :由由()()可知可知: :当当a-1/2a-1/2时时C1C1和和C2C2有两条公切线有两条公切线. .设一条公切线上切点为设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中其中P在在C1上上,Q在在C2上上,则有则有: x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a.故线段故线段PQ的中点为的中点为: ).21,21(a 同理同理,另一条公切线段另一条公切线段PQ的中点也是的中点也是).21,21(a 所以公切线段所以公切线段PQ和和PQ互相平分互相平分.四、小结：四、小结：五、作业：五、作业：第一次第一次p.235236课后强化训练第课后强化训练第110题题;第二次第二次p.23723