大工信号与系统考试本科上课课件7

1、第七章 离散时间系统的时域分析7.1采样信号和采样定理 模拟信号的数字处理，要求模拟信号在离散化的过程中不能丧失信息，即应能从采样信号恢复原来的连续信号，这要求采样频率满足一定的条件，信号本身也满足一定的条件。一、采样信号及其频谱 所谓采样就是让连续信号通过一抽样器(开关)，使抽样的输出是原连续信号某些离散点上的值，用以简化的示意图描述如下： 电子开关每隔时间T接通一次，接通时间为，输出一系列脉冲，脉冲串的包络与连续信号的波形相同，用数学表达式描述为：其中s(t)为一开关函数，fs(t)叫做采样信号或抽样信号。 当开关函数s(t)的脉宽很小时，s(t)就可近似看成是一个冲激序列，每个冲激的强度

2、即是脉冲下的面积。假设引进单位冲激序列那么开关函数为离散信号为其频域对应关系为由于是无穷小量，考虑其中：F叫作抽样角频率， 为理想抽样信号的频谱。相对应的理想抽样信号为从上面可以看出，理想抽样信号的频谱在横轴上是原来连续信号频谱的周期延拓，周期大小为抽样角频率s，在纵轴上压缩为原来的1/T倍，其最大特点是周期性。与矩形脉冲序列相乘的抽样叫矩形脉冲抽样，也叫自然抽样；与冲激序列相乘的抽样叫冲激抽样。二、采样定理抽样定理：设x(t)是某一带限信号，在m时，x()=0，如果S2m，其中S2/T，那么x(t)就唯一地由其样本x(nT), n=0,1, 2,所确定。这里，两倍信号所含的最高频率2fm，是

3、最小的抽样频率，称之为奈奎斯特抽样频率，或称香农抽样频率；其倒数称为奈奎斯特抽样间隔，或香农抽样间隔。均匀抽样定理：一个在频谱中不包含有大于频率fm的分量的有限带宽的信号，由对该信号以不大于1/2 fm的时间间隔进行抽样的抽样值唯一地确定。当这样的抽样信号通过其截至频率c满足条件m c S m的理想低通滤波器后，可以将原信号完全重建，这个定理也称为香农抽样定理。抽样定理中要求信号是带限的，因此在A/D转换前加一保护滤波器，以免在抽样过程中产生混迭现象。用低通滤波器恢复原信号，而低通滤波器是不可实现的，因此，实际采用的方法是提高采样率，或提高滤波器的阶数。零阶保持抽样：在一个的抽样瞬间对x(t)

4、抽样，并保持这一样本值直到下一个抽样瞬时为止。三、信号重建 为了由x0(t)重建x(t)，用一个冲激响应为hr(t)，频率响应为Hr()的LTI系统来处理x0(t)，以使r(t)=x(t)。如果h0(t)与hr(t)级联后的特性是一个理想低通滤波器的特性，那么，即可重建x(t)。 内插是一个常用的由样本值来重建某一函数的过程，零阶保持是一种简单的内插过程，另一种是线性内插，即把相邻的样本点用直线连接起来，线性内差又称为一阶保持。r(t)x(t)p(t)h0(t)hr(t)Hr()x0(t)输出r(t)为上式代表了一种内差公式。带限内差：理想低通滤波器的h(t)为所以线性内差：用三角形特性的h(

5、t)恢复x(t)三、频率抽样x() 在时域中有其中：于是如果x(t)是时限的且 ，上式给出的 就由互不重叠、周期重复的x(t)所组成，此时原始信号x(t)就能够用一个低时窗过滤 来予以重建；否那么会出现时域混迭。同样，从 恢复x(t)的低时窗可以看作是X()的频域样本的内差。由于 那么7.2离散时间系统的描述和模拟一、离散时间信号和离散时间系统 离散信号是一个数值序列，其特点是每个数值在序列中的位置、抽样间隔是无关紧要的参数。离散信号通常表示为或K表示序号，x(K)表示序号为K时的函数值序列值，也简化表示为x(K)和y(K) 。序列的运算为：同序号的数值逐项对应相加减同序号的数值逐项对应相乘原

6、序列x(K)逐项依次延时j位原序列x(K)逐项依次向前移j位序列能量定义为：常见的离散时间信号： 1.单位脉冲信号单位样值信号 2.单位阶跃序列3.指数序列收敛；发散。4.矩形序列5.正弦序列0是正弦序列的频率，它反映序列值依次周期性重复的频率。当 为整数时，该值是正弦序列的周期；为有理值时，该正弦序列仍是周期的，只不过周期增大；为无理数时，该序列不是周期的，但仍以0为正弦序列的频率。离散时间系统：通常表示为线性移不变离散系统：1.线性：2.移不变性：3.线性移不变性：离散e(k)y(k)二、离散时间系统的数学模型 描述离散时间系统特性的数学模型是常系数的线性差分方程，一般的数字滤波器习惯采用

7、向后形式的差分方程(x(n)=x(n)-x(n-1)，而在状态变量分析中习惯用向前差分方程(x(n)=x(n+1)-x(n)；分析一个离散系统就是求解这个方程，方法有时域法、Z变换法等。首先看系统模型的建立：例1：一空运控制系统，计算机每隔一秒钟计算一次飞机应有高度x(k)，用雷达实测一次实际高度y(k)，把应有高度x(k)与前一秒的实测高度y(k-1)相比较得一差值，飞机的高度将根据此差值为正或为负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即v=Ax(k)-y(k-1)，那么从第k-1秒到第k秒一秒钟飞机上升的高度为经整理得这就是控制信号x(k)与响应信号y(k)之间关系的差分方程，它描

8、写该空运控制系统的工作。例2：一RC电路如下图，输入为一离散的抽样信号e(t)，请写出描述此系统工作时每隔时间T输出电压uc(k)与输入信号间关系的差分方程。解：以下图所示抽样信号是一有始信号，可以表示为如下冲激序列之和当t趋于kT而该时刻的冲激尚未施加时，输出电压为u(k)。由该时开始的电容电压零输入分量为由第二章知冲激响应是此处，第k个冲激加于电路后电容电压的零状态分量为RCe(t)tkT后总输出电压为该差分方程描述了离散输出电压与输入抽样电压间关系的差分方程。这个结果也可直接从微分方程问题用差分方程近似处理得到。对于e(t)uc(t)，系统的数学模型为对鼓励信号抽样得到e(kT)，简记为

9、e(k)，那么上面的数学模型可近似表示为整理得由此差分方程求出的uc(k)是原连续响应uc(t)的等间隔采样。例3：一电阻网络如下图，其中每一串联臂电阻值同为R，每一个并联臂电阻为aR，a为某一正实数。该网络各个节点对公共节点的电压为u(k),k分别为0,1,2,n。两个边界节点电压为u(0)=E，u(n)=0，求任一第k个节点电压u(k)。解：系统中第k+1个节点的电流关系如左图所示，图中电压电流关系如下：整理得该系统的差分方程再利用两个边界条件，即可解出u(k)。RRRRREu(0)u(1)u(2)u(n-1)u(n)RRu(k+1)u(k+2)u(k)例：假定每对兔子每月可以生育一对兔子

10、，新生的小兔要隔一个月才具有生育能力，假设第一个月只有一对新生小兔子，求第k个月兔子对的数目。解：令y(k)表示第k个月兔子队的数目，y(0)=0,y(1)=1，显然可推知y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5.在第k个月有y(k-2)对兔子有生育能力，因此，到第k个月，这批兔子要从y(k-2)对变成2y(k-2)对，此外，还有y(k-1)-y(k-2)对兔子没有生育能力，所以，到第k个月，应有兔子该数列中，第k个样值y(k)等于前面两个样值之和，这就是著名的费班纳西(Fibonacci)数列，给定不同的初始值，可以得到不同的数列。离散系统的阶数等于方程中响应的最高序号与最低序

11、号的差。n阶离散时间系统的前向差分方程为：三、离散时间系统的模拟离散时间系统中采用的运算单元有三种：加法器、乘法器与连续系统相同和延时器用D或Z-1表示。例：y(k)x(k)Dy(k)x(k)Dy(0)对于n阶离散系统的前向差分方程，与第五章相类似，引入辅助函数q(k)，且可以同理证明，上面两式合起来与前页式子完全等效。y(k)e(k)Dy(k+1)y(k)DDDe(k)在连续系统中允许mn，但在离散系统中不允许mn，因为当mn时，说明k时刻的输出不仅取决于当前及以前的输入，而且还取决于以后的输入，违反了因果性，属于非因果系统，所以我们讨论的系统属于 。例：一离散时间系统的差分方程为试作出此系

12、统的模拟框图。解：因为m不等于零，所以需引进辅助函数q(k)，令那么7.3离散时间系统的零输入响应 求解离散时间系统时，把总响应分成零输入分量和零状态分量两局部。 一般讲，求解常系数线性差分方程的方法有以下几种：1.递推法：该方法只能求得数值解，很难找出封闭表达式。2.时域经典法：与微分方程的时域经典法相似，先分别求出齐次解和特阶，然后代入边界条件求待定系数。3.分别求零输入响应和零状态响应4.变换域法Z变换法：类似于连续系统的拉氏变换法。 因为e(k)=0，所以系统方程为齐次差分方程，即引进移序算子S，其作用是使序列y(k)的序号增加，即那么上面的齐次方程可以写为：方程称为离散系统的特征方程

13、，此时，S作为代数量来处理。特征方程的根称为离散系统的特征根，设有n个不同的单根v1,v2,vn，则有此时，系统的零输入响应为其中，c1,c2,cn由系统的几个初始条件确定。或那么将 代入下面所示齐次差分方程的左端有，所以上式为满足齐次差分方程，以此类推可得其余n-1项也满足。零，说明系统零输入响应的变化模式完全取决于系统本身的特性，当系统给定之后，系统的特征根完全确定，因此零输入响应的模式也就完全确定了，所以零输入响应也是系统的自然响应分量。由于系统是实的，所以差分方程的系数均为实的，这样系统的特征根是实的或是共轭复根。当系统的特征根有重根时，即那么系统的零输入响应为同样，常数由系统的初始条

14、件确定。例1：求一阶系统的 零输入响应。解：的变化模式取决于v=-a0的值，如下所示：例2：有一离散系统，用以下差分方程描述系统的初始条件为y(0)=0,y(1)=1，求零输入响应。解：该系统的齐次方程为特征方程为特征根为所以零输入响应为代入初始条件：7.4离散时间系统的零状态响应一、用卷积和求解离散时间系统的零状态响应 与连续时间系统的时域分析法相似，对于离散时间系统，求解零状态响应同样可以用卷积的的方法，即根据系统的线性和非移变性，将鼓励信号分解成为单元信号和的形式，先求出每个单元信号作用下系统的响应，然后再迭加即是系统对鼓励信号的响应。离散系统中采用的单元信号是单位函数 。 对任一信号都

15、可用 及移序的 的线性组合来表示，即设 作用系统时，系统的零状态响应为 ，称为单位函数响应。上式称为卷积和，它表示系统的零状态响应与激励及单位函数响应之间的关系，记为卷积和性质：1.满足交换律、结合率和分配率；2.任意一信号与 的卷积仍为本身，即3.卷积和的几何含义为翻转、平移、相乘、求和。即则例：计算卷积和也可用序列阵表格计算例：如下两序列求它们的卷积和解：表中的值是e(k)与h(k)相乘的结果，两者的卷积和就是斜线上的数值迭加，即求卷积和还可以通过查表7-1得到。二、单位响应函数的求法 单位函数响应就是激励为单位函数时系统的响应，而单位函数仅在k=0时为1，其他k值均为0，所以当k0时，系统的响应实则是零输入响应，只不过该时系统的初始状态由激励 产生的，这时可通过系统的差分方程求出系统的初始状态，然后在此初始条件基础上求得系统的零输入响应，就是系统的单位函数响应信号。例：例1：一离散时间系统用以下差分方程描写求此系统的单位函数响应。解：由题可知由差分方程得系统的特征方程为特征根为例2：一离散时间系统的转移算子为 此系统的初始条件是y(0)=2，y(1)=4，当系统输入为单位阶跃序