正交设计的方差分析

1、第三章 正交设计的方差分析 计算 判断因素主次 优水平最优组合 第一节 极差分析与方差分析、极差分析2、优点1、极差法概述 直观形象 计算简便，计算量小 优化成果多，能满足一般实际需要3、应用 科研和实际生产中，仍不失为一常用的数据分析方法 筛选因素的初步试验因素较多； 精度要求不高的场合； 试验误差不大的场合； 一般工程问题，实际生产中寻优组合。4、缺点 不能估计试验误差； 无法区别因素效应、交互效应与误差影响； 未能充分利用试验数据提供的信息； 无法确定优化成果的可信度，不能用于回 归分析与回归设计。甲 2.8，2.6，2.0，1.4，1.2，乙 2.8，2.2，2.2，1.6，1.2，

2、R 2 甲 2.0 1.6 0.82/4=0.205乙 2.0 1.6 0.52/4=0.150Analysis of Variance ANOVA )由英国统计学家首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称 F 检验 F test。用于推断多个总体有无差异。 二、方差分析1、概念设有一组相互独立的试验数据 其均值为 。那么差值 称为这组数据的偏差离差或变差。偏差的大小用样本方差均方和，均方 2 来量度。为这组数据 yi 偏差平方和；f 为 S 的自由度。甲 2.8，2.6，2.0，1.4，1.2，乙 2.8，2.2，2.2，1.6，1.2， R 2 甲 2.0 1.6 0.82/4=

3、0.205乙 2.0 1.6 0.52/4=0.1302、方差的意义1不同的方差表示不同的含义 试验误差纯、随机误差。该组数据的总方差或总波动；因素的方差，由因素水平变动引起的波动；交互作用的方差，有交互作用引起的波动；2、方差的意义2不同方差间存在一定关系，反映数据间某种统计规律比较优劣大小，可以了解因素对指标影响的大小，明确进一步改善试验条件的方向。条件因素试验因素总方差3、方差分析 根据 Fizher 的偏差平方和加和性原理； 在偏差平方和分解的根底上； 借助于 F 检验法； 对影响总偏差平方和中的各因素及其交互效应 进行分析。1概念：由试验数据计算各项偏差平方和及其相应的自由度，并算出

4、各项方差估计值。计算并确定试验误差方差估计值 。计算检验统计量 F 值，给定显著性水平 ，将 F 值同其临界值 进行比较。列出方差分析表。2一般程序4、应用估计试验误差并分析其影响；判断试验因素及其交互作用的主次与显著性；给出所作结论的置信度；确定最优组合及其置信区间。方差分析主要解决问题 正交设计的方差分析可以在正交表上直接进行，不必另列方差分析表。 与极差分析法比较，方差分析法计算较复杂，计算量也大，常采用数据简化的方法 。 将每个数据减加去同一个数 a，偏差平方和 S 仍不变； 将每个数据除乘去同一个数 b，相应的偏差平方和 S 缩小扩大b2 倍。数据简化第二节 正交设计方差分析的根本方

5、法、概述1、题解：等水平，无追加，无拟水平，无 赋闲，无重复试验，无并列。2、正交设计方差分析=正交表上进行3、程式 计算 检验 y优极差分析计算值计算值计算极差Rj优水平因素主次顺序最优组合结论方差分析列方差分析表进行F 检验计算各类偏差平方和与自由度分析检验结果3、正交设计方差分析程式 计算 判断 (公式标准化)结论计算偏差平方和及其自由度S-反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的差异越大。因素水平的变化试验误差试验结果有差异1总偏差平方和S 及其相应的自由度f1总偏差平方和S 和及其相应的自由度f A B AB C AC D(1) (2) (3) (4) (5) (6)

6、 (7) 因素试验号 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 212345678yi92 98 94979493869192 2 498 8 6494 4 1697 7 4994 4 1693 3 986 -4 1691 1 12列偏差平方和 Sj 及其相应自由度 fj当b2时， 因素试验号 A B AB C AC D(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 2 2 1

7、 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 21234567892 2 498 8 6494 4 1697 7 4994 4 1693 3 986 -4 1691 1 121 17 7 6 10 14 84 8 18 19 15 11 1717 9 11 13 5 3 9289 81 121 169 25 9 8136.13 10.13 15.13 21.13 3.13 1.13 10.1316.96 4.76 7.10 9.92 4.760.1 0.25 0.25 0.1 0.2536.13 10

8、.13 15.13 21.13 3.13 1.13 10.13 A B AB C AC D(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 因素试验号 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 21234567892 2 498 8 6494 4 1697 7 4994 4 1693 3 986 -4 1691 1 13试验误差偏差平方和 Se 及其自由度 fe 空列偏差平方和表示由试验误差和未被考察的某交互作用或某条件因素所引起

9、的波动。 在正交设计的方差分析中，通常把空列的偏差平方和作为试验误差的偏差平方和。 属于模型误差，一般比试验误差大，但作为试验误差进行显著性检验时，可使试验结果更可靠。 2、显著性检验假设 为因素 A 相应水平下的效应 均方和 是总体方差 的无偏估计。 是一个自由度为 的 分布的随机变量。 试验误差的偏差平方和与总体方差之比 是一个自由度为 的 分布随机变量。 两者相互独立。 是一个自由度为 的F 分布随机变量，FA 称为因素A 的F 比。选取显著性水平，由 分布表查的临界值 ，FA 应使 。 是一个很小的数，因此 是一个小概率事件，在一次试验中一般不应发生。如果在一次试验中居然发生了 的情况

10、，那么，我们就拒绝接受原假设，并认为在显著性水平 下，因素的水平变动对试验指标的显著影响，而作这一结论的置信度为 ，犯错误的可能为 。 F分布表及其查法 进行 F 检验时，要用误差偏差平方和 Se 及其自由度 fe，因此为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列； 当无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差； 误差自由度一般不应小于2，fe 很小，F 检验灵敏度很低，即使因素对试验指标有影响，用F 检验也判断不出来。正交试验方差分析说明如某因素或交互作用所在列的偏差平方和很小，说明其对试验指标的影响也很小，因而可将该列偏差平方和作为试验误差偏差平方和的一局部。36.13 10.13 15.13

11、21.13 3.13 1.13 10.13 A B AB C AC D(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 因素试验号 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 21234567892 2 498 8 6494 4 1697 7 4994 4 1693 3 986 -4 1691 1 1 通常把显著性水平在 0.25的那些因素或交互作用的偏差平方和归入试验误差的偏差平方和，其自由度也一并归入。考察拖拉机在不同作业速度下

12、某些部件对驾驶员耳旁噪声影响，试验因素及水平如表，并要求考虑 ，指标y(dB)，越小越好，用声级计测量，单位为dB，例: 对例3-1的试验结果进行方差分析。 A B C D2 2 2 2AB , AC普通型 越野 闭式 II 2改进型通用加宽 开式 1 风扇 D 轮胎 C驾驶室 B 速度 A(Km/h) 因素 水平 III abc ad acc abba 列 名 7 6 5 4 32 1 列 号 D AC C ABB A因 素 空列：没有安排因素和交互作用的列是空列 估计试验误差A B C D2 2 2 2AB , AC 普通型 越野 闭式 II 2 改进型通用加宽 开式 1 风扇 D 轮胎

13、C驾驶室 B 速度 A(Km/h) 因素 水平 III 编制试验方案 2 普 2 越野 2 闭 2 II 8 1 改 1 加宽 2 闭 2 II 7 1 改 2 越野 1 开 2 II 6 2 普 1 加宽 1 开 2 II 5 1 改 2 越野 2 闭 1 III 4 2 普 1 加宽 2 闭 1 III 3 2 普 2 越野 1 开 1 III 2 1 改 1 加宽 1 开 1 III 1 D 风扇 (7) C 轮胎 (4) B 驾驶室 (2) A 速度 (1) ji二元表：交互作用影响大小的计算工具定义：由交互作用显著的两因素AB各种搭配对应指标平均值列成的表，不显著的不必判断优搭配AC

14、 因素试验号 A B AB C AC D(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 21234567892 2 498 8 6494 4 1697 7 4994 4 1693 3 986 -4 1691 1 121 17 7 6 10 14 84 8 18 19 15 11 1717 9 11 13 5 3 9289 81 121 169 25 9 8136.13 10.13 15.

15、13 21.13 3.13 1.13 10.1316.96 4.76 7.10 9.92 4.760.1 0.25 0.25 0.1 0.25 因素试验号 A B AB C AC D(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 21234567892 2 498 8 6494 4 1697 7 4994 4 1693 3 986 -4 1691 1 121 17 7 6 10 14 8

16、4 8 18 19 15 11 1717 9 11 13 5 3 9289 81 121 169 25 9 8136.13 10.13 15.13 21.13 3.13 1.13 10.1316.96 4.76 7.10 9.92 4.760.1 0.25 0.25 0.1 0.25方差分析表方差来源 偏差平方和 自由度 方差 F比 显著性水平 A SA=36.13 1 B SB=10.13 1 AB SAB=15.13 1 C SC=21. 13 1 D SD=10. 13 1 误 差 Se=4. 26 2 36.13 16.96 10.13 4.76 15.13 7.10 21.13 9.

17、92 10.13 4.76 2.13 总和 S=96.88 7 F0.251，2=2.57 ; F0.11，2=8.53 F0.051，2=18.50.10.250.250.10.25显著性假设 ，称因素在0.01水平上显著高度显著记为 * ；假设 ，称因素在0.05水平上显著显著记为 * ；假设 ，称因素在0.10水平上显著较显著记为* ；假设 ，称因素在0.25水平上显著有影响记为* ；假设 ，称因素不显著，不作记号；方差分析表方差来源 偏差平方和 自由度 均方和 F比 显著性水平 A SA=36.13 1 B SB=10.13 1 AB SAB=15.13 1 C SC=21.13 1

18、D SD=10.13 1 误 差 Se=4.26 2 36.13 16.96 0.1 10.13 4.76 0.25 15.13 7.10 0.25 21.13 9.92 0.1 10.13 4.76 0.25 2.13 三、求最优组合及置信区间 选取显著因素的优水平和显著交互作用的优搭配； 当优水平与优搭配发生矛盾时，应选优搭配； 对于不显著因素，可以兼顾其他要求选取适当水平； 不显著交互作用不予考虑。 因素试验号 A B AB C AC D(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1

19、 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 21234567892 2 498 8 6494 4 1697 7 4994 4 1693 3 986 -4 1691 1 121 17 7 6 10 14 84 8 18 19 15 11 1717 9 11 13 5 3 9289 81 121 169 25 9 8136.13 10.13 15.13 21.13 3.13 1.13 10.1316.96 4.76 7.10 9.92 4.760.1 0.25 0.25 0.1 0.25优水平 A2 B2 C1 D1主次因素 A、C、A

20、B、BD、AC1最优组合试验指标的点估计最优组合：1最优组合试验指标的点估计2区间估计为 为不显著因素与不显著交互作用的自由度之和； 为不显著因素与不显著交互作用的偏差平方和之和； N 为试验总次数，无重复试验时为正交表的试验号 a ； 为显著因素与显著交互作用的自由度之和。 方差分析表 36.13 16.96 0.1 10.13 4.76 0.25 15.13 7.10 0.25 21.13 9.92 0.1 10.13 4.76 0.25 2.13 A SA=36.13 1 B SB=10.13 1 AB SAB=15.13 1 C SC=21.13 1 D SD=10.13 1 误 差

21、Se=4.26 2 均方和 F比 显著性水平方差来源 偏差平方和 自由度 为不显著因素与不显著交互作用的自由度之和； 为不显著因素与不显著交互作用的偏差平方和之和； N 为试验总次数，无重复试验时为正交表的试验号a ； 为显著因素与显著交互作用的自由度之和。 方差分析表 36.13 16.96 0.1 10.13 4.76 0.25 15.13 7.10 0.25 21.13 9.92 0.1 10.13 4.76 0.25 2.13 A SA=36.13 1 B SB=10.13 1 AB SAB=15.13 1 C SC=21.13 1 D SD=10.13 1 误 差 Se=4.26 2

22、 均方和 F比 显著性水平方差来源 偏差平方和 自由度指标真值将在86.3753.47到86.375+3.47之间，即在82.91到89.95之间，此时的置信度为90%。 分析出试验误差大小，确定试验精度； 各因素及交互作用的主次顺序； 对于显著因素，选取优水平并在试验中加以严格控制； 对不显著因素，可视具体情况确定优水平； 对各因素的主要程度给予数量估计。 36.13 16.96 0.1 10.13 4.76 0.25 15.13 7.10 0.25 21.13 9.92 0.1 10.13 4.76 0.25 2.13 A SA=36.13 1 B SB=10.13 1 AB SAB=15.13 1 C SC=21.13 1 D SD=10.13 1 误 差 Se=4.26 2 均方和 F比 显著性水平方差来源 偏差平方和 自由度奉献率是指试