第八章组合变形

1、 构件在构件在拉拉伸伸( (压压缩缩) )、剪剪切、切、扭扭转及转及弯弯曲等曲等基本变基本变形形形式下的应力和位移形式下的应力和位移 构件往往同时发生构件往往同时发生两种或两种以上两种或两种以上的基本变形，的基本变形，如几种变形所对应的应力（或变形）属同一数量如几种变形所对应的应力（或变形）属同一数量级，称为级，称为组合变形组合变形 斜弯曲斜弯曲, , 拉弯组合拉弯组合, , 弯扭组合弯扭组合 8.l 概 述1 1、 组合变形组合变形PPPP qFeMAyFByFxBAy对称面向纵1、轴向拉压、轴向拉压2、扭转、扭转3、弯曲、弯曲三三 种种 基基 本本 变变 形形 拉伸和弯曲的组合变形拉伸和弯

2、曲的组合变形钻钻 床床ABPPaMeq拉伸、剪切和拉伸、剪切和弯曲的组合变形弯曲的组合变形拉伸、弯曲、剪切和扭转的组合变形拉伸、弯曲、剪切和扭转的组合变形压弯组合变形压弯组合变形拉弯组合变形拉弯组合变形弯扭组合变形压弯组合变形压弯组合变形应掌握的内容：应掌握的内容：静力学中的力系简化，平衡方程的求解；静力学中的力系简化，平衡方程的求解；截面图形的几何性质截面图形的几何性质: 形心，形心主惯性轴等；形心，形心主惯性轴等；基本变形的内力、应力的分析与计算；基本变形的内力、应力的分析与计算；应力状态的分析与应用，强度理论应力状态的分析与应用，强度理论范畴：小变形范畴：小变形 线弹性线弹性 先将荷载分

3、解成符合基本变形外力条件的外力先将荷载分解成符合基本变形外力条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形时的内力、应系，分别计算构件在每一种基本变形时的内力、应力、然后进行叠加，以确定组合变形情况下的危险力、然后进行叠加，以确定组合变形情况下的危险截面，危险点以及危险点的应力状态，据此选择合截面，危险点以及危险点的应力状态，据此选择合适的适的强度理论强度理论进行强度计算。进行强度计算。2、组合变形的研究方法、组合变形的研究方法 叠加法叠加法3 3、组合变形的分解方法、组合变形的分解方法（1）荷载的等效处理法）荷载的等效处理法 将作用在杆件上的外力进行平移或分解，使之简化后的荷将作用在杆件上的外力

4、进行平移或分解，使之简化后的荷载符合基本变形的外力特征，从而判断组合变形的类型。载符合基本变形的外力特征，从而判断组合变形的类型。 一般地，将横向力向杆件截面形心进行简化，并沿形心主一般地，将横向力向杆件截面形心进行简化，并沿形心主惯性轴方向分解，将纵向力向杆件截面形心进行简化。惯性轴方向分解，将纵向力向杆件截面形心进行简化。例如：例如：（2）截面内力判断法）截面内力判断法根据截面上的内力，判断组合变形的类型。根据截面上的内力，判断组合变形的类型。F1F2XyZNFxMsyFMyMzszF*在横力弯曲时，剪力在实心截面杆上产生的切应力较小，可忽略。在横力弯曲时，剪力在实心截面杆上产生的切应力较

5、小，可忽略。4 4、连接件的近似计算、连接件的近似计算 如桥梁桁架结如桥梁桁架结点处的铆钉点处的铆钉( (或螺或螺栓栓) )连接连接, ,工程实际中，经常需要将构件相互连接。工程实际中，经常需要将构件相互连接。mnmnFFF2F2F 机械中的轴与齿机械中的轴与齿轮间的键连接，轮间的键连接， 以及木结构以及木结构中的榫齿连接等。中的榫齿连接等。 工程实际中工程实际中, ,采用简化计算的方法，计算名采用简化计算的方法，计算名义应力（包括剪切应力、挤压应力）义应力（包括剪切应力、挤压应力），称为称为工工程实用计算法程实用计算法。 铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，

6、统称为连接件。称为连接件。 主要包括主要包括连接件的剪切实用计算连接件的剪切实用计算 、挤压实用、挤压实用计算。计算。 8-2 8-2 两相互垂直平面内的弯曲组合两相互垂直平面内的弯曲组合- -斜弯曲斜弯曲 平面弯曲平面弯曲：只要作用在：只要作用在杆件上的杆件上的横向力通过弯横向力通过弯曲中心曲中心，并，并与一个形心与一个形心主惯性轴方向平行主惯性轴方向平行，杆，杆件将只发生平面弯曲。件将只发生平面弯曲。 斜弯曲：挠曲线斜弯曲：挠曲线不位于不位于外力所在的纵向平面内外力所在的纵向平面内。 -横向力通过弯曲横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯中心，但不与形心主惯性轴平行性轴平行斜弯曲斜弯曲平面弯曲

7、平面弯曲zyFzyFzyzyzFyFzFyFxz平面内的平面弯曲平面内的平面弯曲xy平面内的平面弯曲平面内的平面弯曲xyzFzyFyFzFcos,sinFFFFyzzyyMzyzM中性轴中性轴)(yxM中性轴中性轴)(yxMzyyMC(y,z)yyCIzM1zzCIyM2所以所以zzyyCCCIyMIzMzy21),(zyIyFxIzFxcossin)cossin(zyIyIzFxzyC(y,z)zM组合变形时，通常忽略弯曲剪应力。组合变形时，通常忽略弯曲剪应力。zyF中性轴中性轴 tgIItgyz中性轴的确定：中性轴的确定：0cossinzyIyIz, 0令则则拉拉压压zyII 即即中性轴并

8、不垂直于外力作用面。中性轴并不垂直于外力作用面。zyF中性轴中性轴 拉拉压压,zyII 所以所以中性轴垂直于外力作用面。即外力无论作用在哪中性轴垂直于外力作用面。即外力无论作用在哪个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。zyF中性轴中性轴 拉拉压压对于圆形截面对于圆形截面zyF中性轴中性轴 zyF中性轴中性轴 拉拉压压),( 111zy),(333zy)cossin(11maxzytIyIzPl)cossin(),(zycIyIzPlzy)cossin(33maxzycIyIzPl)cossin(11maxzyIyIzM)cossin(33maxzyIyIzMcos

9、FFysinFFz4LFMyz4LFMzyzzyyWMWMmax32 .692 cmWz3758.70cmWyMPa8 .217 0MPa6 .115max 一般生产车间所用的吊车大梁一般生产车间所用的吊车大梁, ,两端由钢轨支撑两端由钢轨支撑, ,可以简化为简可以简化为简支梁支梁, ,如图示如图示. .图中图中L L4m4m。大梁由。大梁由32a32a热轧普通工字钢制成，许用热轧普通工字钢制成，许用应力应力160MPa160MPa。起吊的重物重量。起吊的重物重量F F80kN80kN，且作用在梁的中，且作用在梁的中点，作用线与点，作用线与y y轴之间的夹角轴之间的夹角5 5，试校核吊车大梁的

10、强度是，试校核吊车大梁的强度是否安全。否安全。F2L2L 跨度为跨度为L L的简支梁，由的简支梁，由32a32a工字钢做成，其受力如图所工字钢做成，其受力如图所示，力示，力F F作用线通过截面形心且于作用线通过截面形心且于y y 轴夹角轴夹角1515，170MPa170MPa，试按正应力校核此梁强度。，试按正应力校核此梁强度。xykN30Fm2m2B015yFz3cm692Wz3cm8 .70WycosFFysinFFz4LFMyz4LFMzyzzyyWMWMmaxMPa152 图示矩形截面梁，截面宽度图示矩形截面梁，截面宽度b b90mm90mm，高度，高度h h180mm180mm。梁在两

11、个互相垂直的平面内分别受有水平力梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F F1 1和铅垂和铅垂力力F F2 2 。若已知。若已知F F1 1800N800N， F F2 21650N1650N， L L 1m1m，试，试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。2F1FzxyLLLFMy21LFMz2zzyyWMWMmax2121626bhLFbhLFMPat979. 9maxMPac979. 9max 图示悬臂梁，承受载荷图示悬臂梁，承受载荷F F1 1与与F F2 2作用，已知作用，已知 F F1 1=800N=800N，F F2 2=1.6k

12、N=1.6kN，l l=1m=1m，许用应力，许用应力 =160MPa=160MPa。试。试分别按下列要求确定截面尺寸：分别按下列要求确定截面尺寸：(1) (1) 截面为矩形，截面为矩形，h h=2=2b b；(2) (2) 截面为圆形。截面为圆形。 解：解：(1) 矩形截面：矩形截面： 2、圆截面、圆截面 F力作用在杆自由端形心处作用线位于力作用在杆自由端形心处作用线位于xy面内，面内，与与x轴夹角为轴夹角为 . LxyF8-3 8-3 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲与弯曲包括：包括： 轴向拉伸轴向拉伸( (压缩压缩) )和弯曲和弯曲 偏心拉（压）偏心拉（压）, ,截面核心截面核心一一.

13、 . 横向力与轴向力共同作用横向力与轴向力共同作用 对于对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略由轴向力引起的弯矩可以略去不计去不计。 可可分别计算分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，的正应力，按叠加原理按叠加原理求其代数和，即得在拉伸求其代数和，即得在拉伸( (压缩压缩) )和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。 F力即非轴向力，也非横向力，所以变形不是力即非轴向力，也非横向力，所以变形不是基本变形。基本变形

14、。Fy=Fsin y为对称轴，引起平面弯曲为对称轴，引起平面弯曲Fx=Fcos 引起轴向拉伸引起轴向拉伸 LxyFx Fy F+Fx FNFx Fy l+Mz FylFN=FxMz=Fy(l x)N对应的应力对应的应力Mz对应的应力对应的应力叠加叠加AFNyIMZZ zyyIMAFzzN 由于忽略了弯曲切应力，横截面上只有正应力，于是由于忽略了弯曲切应力，横截面上只有正应力，于是叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：情况：|zzNWMAF|zzNWMAF|zzNWMAF 中性轴中性轴(零应力线零应力线)发生平移发生平移危险点的位置很容

15、易确定，在截面的最上缘或最危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘下缘由于危险点的应力状态为简单应力状态由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉单向拉伸或单向压缩伸或单向压缩)对于塑性材料：对于塑性材料： 强度条件强度条件 max 对于脆性材料对于脆性材料强度条件强度条件 tmax t C max C 设图示简易吊车在当小车运行到距离梁端设图示简易吊车在当小车运行到距离梁端D D还有还有0.4m0.4m处时，吊车横梁处于最不利位置。已知小车和重物的总处时，吊车横梁处于最不利位置。已知小车和重物的总重量重量F F20kN20kN，钢材的许用应力，钢材的许用应力160MPa160MPa，暂

16、，暂不考虑梁的自重。按强度条件选择横梁工字钢的型号。不考虑梁的自重。按强度条件选择横梁工字钢的型号。AxFAyFBFBxFByFFkN7 .49kNm30B B左截面压应力最大左截面压应力最大zzNWMAFmax zzWM35 .187 cmWz查表并考虑轴力的影响：查表并考虑轴力的影响：a203237cmWz25 .35 cmA MPa6 .140102371030105 .35107 .493623max 一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压力传递给桥墩的压力F F0 01920kN1920kN，桥墩墩帽及墩，桥墩墩帽及墩身的自重身的自重F

17、 F1 1330kN330kN，基础自重，基础自重F F2 21450kN1450kN，车，车辆经梁部传下的水平制动力辆经梁部传下的水平制动力F FT T300kN300kN。试绘出。试绘出基础底部基础底部ABAB面上的正应力分布图。已知基础底面上的正应力分布图。已知基础底面积为面积为b bh h8m8m3.6m3.6m的矩形。的矩形。210FFFFNkN3700kN3700kNmFMT17408 . 5maxkNm1740ZzNIyMAFminmaxMPaMPa229. 0027. 0229. 0027. 0 图示折杆结构，已知材料许用应力图示折杆结构，已知材料许用应力=160MPa，试校核

18、强度。，试校核强度。 10kN D 250 C 500 FC 40 A B FAx 250 500 FAy 10kN 8.5kN 1414N.m 解：（解：（1）求支反力）求支反力 kNFkNFkNFMAyAxCA24,262, 0（2）作内力图，确定危险截面）作内力图，确定危险截面 mkNMkNFN.141410maxmax（3）强度校核）强度校核 9 .1306 .12425. 6maxmaxmaxMPaWMAFN 如图所示构架已知材料许用应力为如图所示构架已知材料许用应力为 =160MPa。试为试为AB梁设计一工字形截面。梁设计一工字形截面。 3m1m30 CBF=45kNA解：解： A

19、B梁受力分析梁受力分析由由AB梁的平衡方程易求得梁的平衡方程易求得FBC=120kN, FAx=104kN, FAx FFAy 30 FBC FAy=15kN， 作内力图作内力图+104kNFN 45kN mMz 显然危险截面为显然危险截面为B截面左侧截面左侧 危险点为危险点为B截面最上缘截面最上缘由强度条件：由强度条件：maxmaxAFWMNz 由于型钢的由于型钢的Wz和和A无一定的函数关系，无一定的函数关系，一个不等式不可能确定两个未知量，因此一个不等式不可能确定两个未知量，因此采用试算的方法来求解。采用试算的方法来求解。试算：试算： 先不考虑轴力先不考虑轴力FN，仅考虑弯矩，仅考虑弯矩M

20、设计截面设计截面maxzWM3663max10281101601045mMWz3281m查型钢表：查型钢表： 22a 工字钢工字钢Wz = 309cm3 A=42cm2 校核校核22a工字钢能否满足弯矩和轴力同时工字钢能否满足弯矩和轴力同时存在时的强度条件。存在时的强度条件。 PaAFWMNz64363maxmax10170104210104103091045170MPa强度不够，选大一号强度不够，选大一号22b Wz = 325cm3 A=46.4cm2 MPa8 .160104 .46101041032510454363%5%5 . 01601608 .160max 可认为安全可认为安全

21、可取可取22b工字钢工字钢 AFWMNzmaxmax 一受拉弯组合变形的圆截面钢轴，若用第三强度理论一受拉弯组合变形的圆截面钢轴，若用第三强度理论设计的直径为设计的直径为d d3 3，用第四强度理论设计的直径为，用第四强度理论设计的直径为d d4 4，则，则d d3 3 _ _ d d4 4。 （填（填“”、“”或或“”）因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，313r224213232221421r22343rr 如图示一矩形截面折杆，已知如图示一矩形截面折杆，已知F F50kN50kN，尺寸如图，尺寸如图所示，所示，3

22、030。（。（1 1）求）求B B点横截面上的应力点横截面上的应力（2 2）求）求B B点点3030截面上的正应力；截面上的正应力；（3 3）求）求B B点的主应力点的主应力1 1、 2 2、 3 3 。mm600mm400mm200mm200mm100FBcosFsinFsinFsin200FAFWMN6cos400sin2002bhFFbhFsinMPa23.1732.1703060cos120MPa9 .120102MPa23.173二二. . 偏心拉伸偏心拉伸( (压缩压缩) ) 当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或

23、偏心压缩压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。 如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。F1F2外力平行轴线，但与轴线不重合。外力平行轴线，但与轴线不重合。 oFA (yF, zF)zyx将将F力向形心简化力向形心简化my=FzFmZ=FyFFzymy xF FB0mz xFmy A (yF, zF) 于是得到一个与原力系静力等效的力系：与轴线重于是得到一个与原力系静力等效的力系：与轴线重合的压力合的压力F和两个作用在互相正交的纵向对称面内的力和两个作用在互相正交的纵向对称面内的力矩矩my, mz。 轴向压力轴向压力F 引起轴向压缩引起轴向压缩 my 引起绕引

24、起绕 y 轴转动的平面弯曲轴转动的平面弯曲 mz 引起绕引起绕 z 轴转动的平面弯曲轴转动的平面弯曲 偏心压缩是轴向压缩与两个互相正交偏心压缩是轴向压缩与两个互相正交平面内的弯曲的组合变形。平面内的弯曲的组合变形。当杆是比较当杆是比较短而粗短而粗的杆，可按的杆，可按叠加叠加原理求解。原理求解。对任意横截面，显然有对任意横截面，显然有FN = F My=FzF (前压，后拉前压，后拉)Mz=FyF (左压，右拉左压，右拉) FN， My ， Mz 不是不是 x 的函数，的函数，即任意横截面上的内力为常数。即任意横截面上的内力为常数。MZ FNzyMy xx对横截面上任意点：对横截面上任意点：zy

25、NMMFyIMzIMAFzzyyN对第一象限的点对第一象限的点E(y, z)yIMzIMAFzzyyNMZ FNzE(y,z) yMy xx由于由于FN， My ， Mz单独作用时，引起的横截单独作用时，引起的横截面上的应力均为正应力，因此，由叠加原理，面上的应力均为正应力，因此，由叠加原理， FN， My， Mz共同作用时引起的应力，应是单独作用时共同作用时引起的应力，应是单独作用时的应力的叠加。由于均为正应力，因此为代数和。的应力的叠加。由于均为正应力，因此为代数和。 对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处。矩形截面杆受偏心拉力的棱角处

26、。矩形截面杆受偏心拉力F作用时，若杆作用时，若杆任一横截面上的内力分量为任一横截面上的内力分量为FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：，则与各内力分量相对应的正应力为：OD2D1 AFyzyOzhbD1D2 FWzFyzyOD2D1 FyFWz按叠加法叠加得按叠加法叠加得中性轴yzOD1 t,maxD2c,maxMZ FNzyMy xxD1 D2 Tmax T C max C zFyFWFyWFzAFmax, cmax, t 危险点处仍为单轴应危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为力状态，其强度条件为: : 不失一般性。我们令第一象限的点的应力为零。不失一般

27、性。我们令第一象限的点的应力为零。yIMzIMAFzzyyNyIFyzIFzAFzFyF1 yIAyzIAzAFzFyF引入惯性半径：引入惯性半径： ,AIiyyAIizz01 2020zFyFiyyizzAF010202yiyzizzFyF 取取 =0 ，以，以y0、z0代表中性代表中性轴上任一点轴上任一点的坐标，的坐标，则可得则可得中性中性轴方程轴方程 显然中性轴为一条显然中性轴为一条直线，作中性轴的平行直线，作中性轴的平行线与截面相切线与截面相切D1，D2即即为最大拉应力和最大压为最大拉应力和最大压应力所在的点。应力所在的点。z(零应力线零应力线)D2 D1 y中性轴中性轴o 中性轴为一

28、条不中性轴为一条不过形心的直线，过形心的直线，它将截面分成受它将截面分成受拉，受压两个区拉，受压两个区. yzA(yF, zF)(零应力线零应力线)中性轴中性轴受拉区受拉区受受 压压 区区o 中性轴在中性轴在y, z轴的截距分别为轴的截距分别为 Fzyyia2(令令z0=0)Fyzzia2(令令y0=0)ay与与yF 符号相反符号相反 偏心力偏心力F的作用点与中性轴分居形的作用点与中性轴分居形心心(坐标原点坐标原点)的两侧。的两侧。 zaz与与zF 符号相反符号相反 一一对应一一对应 偏心力作用点偏心力作用点一条零应力线一条零应力线(零应力线零应力线)ay az yA(yF, zF)中性轴中性

29、轴o 偏心距偏心距只要足够小只要足够小(绝对值绝对值)，中性轴将会在截面，中性轴将会在截面以外。以外。Fzyyia2Fyzzia2由由可知可知偏心力的偏心距与中性轴的截距成反比。偏心力的偏心距与中性轴的截距成反比。图 示 结 构 ，图 示 结 构 ，求底截面上求底截面上A，B，C，D四点的正应四点的正应力，以及最大拉应力，以及最大拉应力和最大压应力力和最大压应力.b=0.4m a=0.2m ABCDyzxP=100KN0.05m解：解： 外力简化外力简化 yP=0.05m zP=0.2m P=100kNmz =PyP =100 0.05=5kN m my =PzP =100 0.4=40kN

30、m b=0.4m a=0.2m ABCDyzxP=100KN0.05m 内力计算内力计算底截面上：底截面上：My= my = 40kN m (前拉，后压前拉，后压)Mz= mz = 5kN m (左拉，右压左拉，右压)FN = P = 100 kNza=0.2mABCDyxFMyMz 应力计算应力计算 截面有关几何容量：截面有关几何容量：A=ab=0.24 0.4=0.08m2443310667. 22 . 04 . 012112mbaIz433310067. 14 . 02 . 012112mabIyza=0.2mABCDyxFMyMzAzzAyyNAyIMzIMAF1 . 010667.

31、21052 . 010067. 1102008. 01010043333aMPaP 37. 41037. 43BzzByyNByIMzIMAF1 . 010667. 21052 . 010067. 1102008. 01010043333aMP 63. 0CzzCyyNCyIMzIMAF1 . 010667. 21052 . 010067. 1102008. 01010043333aMP 87. 6DzzDyyNDyIMzIMAF1 . 010667. 21052 . 010067. 1102008. 01010043333aMP 13. 3Cmax= 6.87MPa lmax= 4.37MP

32、a图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面尺寸截面尺寸h h及此时的最大压应力。及此时的最大压应力。 120kN 30kN 200 150 h 解：（解：（1）内力分析）内力分析 mNMkNFN.60002003015030120（2）最大拉应力为零的条件）最大拉应力为零的条件 0150106000615010150233maxhhWMAFNt解得解得 h=240mm （3）求最大压应力）求最大压应力 MPaWMAFNc33. 8240150106000624015010150233maxMPa75. 8200200103503max2AF11max

33、1zWMAFMPa7 .113 .02 .06503503 .02 .03500002解：解：两柱均为两柱均为压应力压应力 图示不等截面与等截面杆，受力图示不等截面与等截面杆，受力F F=350kN=350kN，试，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）F300200200F200200MFFd三三. . 截面核心截面核心 在截面形心附近将存在这样一个区域：当偏心在截面形心附近将存在这样一个区域：当偏心力作用在该区域以内时，中性轴将在截面以外，当力作用在该区域以内时，中性轴将在截面以外，当偏心力在该区域的边界上时，中性轴将与截面相切，偏心力在该区

34、域的边界上时，中性轴将与截面相切，当偏心力作用在该区域以外时，中性轴与截面相割。当偏心力作用在该区域以外时，中性轴与截面相割。这个这个区域区域称为称为。 对于砖、石或混凝土等材料（如对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩桥墩），由于），由于它们的它们的抗拉强度较低抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。截面核心是很有实际意义的。 为此，应使中性轴不与横截面相交。为此，应使中性轴不与横截面相交。作作一系列与一系列与截面周边相切的直线截面周边相切的直线作为中性轴，作为

35、中性轴，由由每每一条中性轴在一条中性轴在 y、z 轴上的轴上的截距截距ay1、az1，即可求得，即可求得与其与其对应的偏心力作用点的坐标对应的偏心力作用点的坐标( ( y1, z1)。有了一系。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）前面前面偏心拉（压）偏心拉（压）计算的中性轴计算的中性轴截距表达式截距表达式FyzFzyziayia2121,121121zyzyzyaiaiOzyaay1z12211443355圆截面圆截面: : 对于圆心对于圆心 O 是极对称的，截是极对称的，截面核心的边界对于圆心也应是面核心的边界对于圆心也应是极对称的，即为一

36、圆心为极对称的，即为一圆心为 O 的的圆。圆。 11, 2/zyada得得0,82/16/12121zyzydddai 作一条与圆截面周边相切于作一条与圆截面周边相切于A点的直线，将其看作为中性轴，点的直线，将其看作为中性轴，并取并取OA为为y轴，于是，该中性轴轴，于是，该中性轴在在y、z两个形心主惯性轴上的截两个形心主惯性轴上的截距分别为距分别为dzyO8d8d1A1矩形截面矩形截面: : 边边长为长为a和和b的矩形截面，的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心两对称轴为截面的形心主惯性轴。主惯性轴。11, 2/zyaha得得62/12/2121hhhaiyzy 将与将与 AB 边相切的直线边

37、相切的直线看作是中性轴，其在看作是中性轴，其在y、z 两两轴上的截距分别为轴上的截距分别为 012/2121baizyzb66h1AzybhCDB h66bO31344221 同理，分别将与同理，分别将与BC、CD和和DA边相切的直线、边相切的直线、看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界、看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界上点上点2、3、4的坐标依次为的坐标依次为 0,6;6, 03322zyzyhb6, 044bzy 当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条

38、连接点连接点1、2的直线。的直线。 于是，将于是，将1 1、2 2、3 3、4 4四点中相邻的两点连以直线，四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形，央的菱形， 试确定图示试确定图示T字形截面的截面核心边界。字形截面的截面核心边界。图中图中y、z轴为截面的形心主惯性轴。轴为截面的形心主惯性轴。 解解：先求出截面的有关几何性质：先求出截面的有关几何性质 2m6 . 0)m9 . 0m4 . 0()m6 . 0m4 . 0(A2222224343m105 .84/m108/m105 .27m1048AIiAIiIIz

39、zyyzyEH0.45m 0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy 作、作、等等6 6条直线，将它们条直线，将它们看作是中性轴，其中、和看作是中性轴，其中、和分别与周边分别与周边AB、BC、CD和和FG相切，相切，而和则分别连接两顶点而和则分别连接两顶点D、F和和两顶点两顶点G、A。 依次求出其在依次求出其在y、z坐标轴上的截距，坐标轴上的截距，并算出与这些中性轴对应的核心边界并算出与这些中性轴对应的核心边界上上1 1、2 2、等等6 6个点的坐标值。个点的坐标值。 再利用中性轴绕一点旋转时相应的再利用中性轴绕一点旋转时相应的外力作用点移动的轨迹为一直线的关外力作用点移动的

40、轨迹为一直线的关系，将系，将6 6个点中每相邻两点用直线连个点中每相邻两点用直线连接，即得图中所示的截面核心边界。接，即得图中所示的截面核心边界。453216EH0.45m 0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy123456yzdA8d8dO1 求直径为求直径为D D的圆截面的截面核心的圆截面的截面核心. .21day1za22zyii AIy46424dd162dyzyeia2zyzeia2ye8d0zeyzbADCBh21hay1zayzyeia2zyzeia22yiAIybhhb 123122b2ziAIz122h1ye6h1ze016h26b6h346b 确定边长

41、为确定边长为h h和和b b的矩形截面的截面核心的矩形截面的截面核心. .作业：作业：8-1，8-5， 8-7，811，813 8-4 8-4 弯曲与扭转弯曲与扭转以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题为主以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题为主已知圆杆受力已知圆杆受力F，和其许用应力，和其许用应力 ，对其进行强度校核。，对其进行强度校核。 F： 对称面内的横向力对称面内的横向力 引起平面弯曲引起平面弯曲m ： 作用平面为横截面作用平面为横截面 的力偶，引起扭转。的力偶，引起扭转。xlyzFFmFmlxAM = F(l x)T = mFmlxMPl 可以确定危险截面为可以确定危险截面为A右右截面

42、。截面。ABM引起的正应力引起的正应力 T引起的剪应力引起的剪应力 yC1 C2 zyC1 zC2 MyIPTIyC1 zC2 可以确定危险点为可以确定危险点为C1，C2点。点。外表面外表面横截面横截面PWTWM叠加：叠加：C1点点俯视图俯视图PWTWM外表面外表面C1 PWTWMC2点点外表面外表面横截面横截面PWTWM 一般轴多采用塑性材料，一般轴多采用塑性材料，因而可选第因而可选第三三或第或第四四强度理论。强度理论。 C1 r3 = 1 3 )()()(212132322214r求单元体求单元体C1的主应力：的主应力：22minmax)2(2 C1 223)2(202221)2(2WM:

43、注意PWT,323dW而且,163PdWWW2P代入第三、第四强度理论：代入第三、第四强度理论： 上式同样适用于上式同样适用于空心圆截面杆空心圆截面杆，对其它的弯，对其它的弯扭组合，可同样采用上面的分析方法扭组合，可同样采用上面的分析方法。外力分析：外力分析：外力向形心简化并外力向形心简化并分解。分解。内力分析：内力分析：每个外力分量对应的内力方程和每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。内力图，确定危险面。建立强度条件。建立强度条件。2223WTMMzyr75. 02224WTMMzyr弯扭组合问题的求解步骤：弯扭组合问题的求解步骤：图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮图示一钢制实心圆轴，

44、轴上的齿轮 C C 上作用有铅垂上作用有铅垂切向力切向力5kN5kN，径向力，径向力1.82kN1.82kN；齿轮；齿轮 D D 上作用有水平切上作用有水平切向力向力10kN10kN，径向力，径向力3.64kN3.64kN。齿轮。齿轮 C C 的节圆直径的节圆直径d dC C=400mm=400mm，齿轮，齿轮D D的节圆直径的节圆直径d dD D=200mm=200mm。设许用应力。设许用应力 =100MPa=100MPa，试按第四强度理论求轴的直径。，试按第四强度理论求轴的直径。 解解：将每个齿轮上的：将每个齿轮上的切向外力向该轴的切向外力向该轴的截截面形心简化。面形心简化。ABxyzCD

45、5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m 作出轴在作出轴在xy、xz两纵对两纵对称平面内的两个弯矩图以称平面内的两个弯矩图以及扭矩图及扭矩图 对于圆截面杆，通过对于圆截面杆，通过圆轴轴线的任一平面都是圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，可将纵向对称平面，可将My、Mz按矢量和求得总弯矩。按矢量和求得总弯矩。 并用总弯矩来计算该横并用总弯矩来计算该横截面上的正应力。截面上的正应力。 横截面横截面B上的总弯矩最上的总弯矩最大。再考虑扭矩图，得大。再考虑扭矩图，得B截面是截面是危险截面危险截面. . 1kN.m0.22

46、7kN.mM图z0.568kN.m0.364kN.mM图y_T图1kN.mBxyzMyBzBMMzByBMMBByzmN1372100075. 0100036475. 02222224TMMMzByBrmN137244WWMrr323dW 解得解得51.9m1001013723233dMPa7 .351001071636PWTMPa37. 61001050423AF解：解：拉扭组合拉扭组合, ,危险点危险点应力状态如图应力状态如图直径为直径为d d=0.1m=0.1m的圆杆受力如图的圆杆受力如图, ,T T=7kNm, =7kNm, F F=50kN,=50kN, =100MPa,=100MP

47、a,试按试按第三强度理论校核此杆的强度第三强度理论校核此杆的强度。故，安全。故，安全。2234r MPa7 .717 .35437. 622AAFFTT 图示圆轴图示圆轴. .已知已知,F=8kN,M=3kNm,F=8kN,M=3kNm,=100MPa,=100MPa,试试用第三强度理论求轴的最小直径用第三强度理论求轴的最小直径. .FMm5 . 0FLMmaxkNm4kNmT3 224224pzzWTWM22zzzWTWMzzWTM22 22TMWzz35105m332zWd mm8 .79 =100MPa, W=0.1d3, 确定确定d.3kN.m4kN.m试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打“”，错误的打“”（1）杆件发生斜弯曲时，杆变形的总挠度方向一定与中性轴向垂 直