统计建模(假设检验、方差分析、协方差、一元多元回归)

1、-数学建模基地系列课件数学建模基地系列课件-数学建模数学建模 概率统计专题概率统计专题华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地专题板块系列专题板块系列统计专题统计专题1优化专题优化专题2模糊方法专题模糊方法专题3微分方程专题微分方程专题华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地统计专题统计专题Part1:方差分析方差分析一元回归一元回归协方差分析协方差分析统计建模统计建模Part2:多元统计多元统计华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地Part1 假设检验方差分析等假设检验假设检验方差分析方差分析协方差分析协方差分析一元线性非线性回归一元线性非线性回归华中农业大学数学建

2、模基地华中农业大学数学建模基地两个总体均值和方差的检验两个总体均值和方差的检验 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地两个总体均值和方差的检验两个总体均值和方差的检验华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地两个总体均值和方差的检验两个总体均值和方差的检验vSAS/STAT模块的模块的ttest过程可以对相互独立的过程可以对相互独立的两个总体的方差和均值进行检验，即使在总体方两个总体的方差和均值进行检验，即使在总体方差不相等的前提下，也可以检验两个总体均值是差不相等的前提下，也可以检验两个总体均值是否相等。否相等。v例例 某小麦品种经过某小麦品种经过4代选育，从第代选育，从第5

3、代和第代和第6代代中分别抽出中分别抽出10株得到它们株高的观测值分别为株得到它们株高的观测值分别为66，65，66，68，62，65，63，66，68，62和和64，61，57，65，65，63，62，63，64，60，试检验株高这一性状是否已达到稳定，试检验株高这一性状是否已达到稳定(0.05)？华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地两个总体均值和方差的检验两个总体均值和方差的检验v解解 性状是否已达到稳定要取决于第性状是否已达到稳定要取决于第5代和第代和第6代株高的代株高的方差和均值是否相等。编写方差和均值是否相等。编写SAS程序并输入在程序编程序并输入在程序编辑窗口辑窗口;vd

4、ata ex;input c$ x; cards; a 66 a 65 a 66 a 68 a 62 a 65 a 63 a 66 a 68 a 62vb 64 b 61 b 57 b 65 b 65 b 63 b 62 b 63 b 64 b 60v;vproc ttest;class c;var x; vrun; 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地两个总体均值和方差的检验两个总体均值和方差的检验华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地联列表分类标志的独立性检验联列表分类标志的独立性检验v例例 抽取两批各抽取两批各500人分别使用及不使用某种预人分别使用及不使用某种预防

5、感冒的措施，分类统计的结果如下：防感冒的措施，分类统计的结果如下：试检验这种预防感冒的措施是无效的。试检验这种预防感冒的措施是无效的。华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地联列表分类标志的独立性检验联列表分类标志的独立性检验v解解 原假设原假设H0为是否使用预防措施于患感冒情况为是否使用预防措施于患感冒情况相互独立。相互独立。v编写程序如下：编写程序如下：vdata ex;do a=1 to 2;do b=1 to 3; input f ;output;end;end; vcards;v224 136 140 252 145 103v;vproc freq;weight f;vtab

6、les a*b/chisq;run; 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地联列表分类标志的独立性检验联列表分类标志的独立性检验华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地联列表分类标志的独立性检验联列表分类标志的独立性检验华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 在试验中，有可能影响试验指标并且在试验中，有可能影响试验指标并且有可能加以控制的试验条件称为有可能加以控制的试验条件称为因素因素。通。通过试验的设计，在试验中只安排一个因素过试验的设计，在试验中只安排一个因素有所变化、取不同的状态或水平，而其余有所变化、取不同的状态或水平，而其余的因素都在设计的状态或水平下保持

7、不变的因素都在设计的状态或水平下保持不变的试验称为的试验称为单因素试验单因素试验。 单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地因素因素A的水平的水平 观测值观测值12111121221222121 , , ,rnnrrrnAxxxAxxxAxxx (n1+n2+nr= n)单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地,11injijiixnx设设 riiirinjijxnnxnxi11111 在单因素试验中，假设有在单因素试验中，假设有r 个编号为个编号为i =1至至r的正态总体，它们分别服从的正态总体，它们分别

8、服从N( (i, ,2) )分布，分布， 单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 当当i及及2未知时，要根据取自这未知时，要根据取自这r个正态总个正态总体的体的r个相互独立且方差相同的样本检验原假设个相互独立且方差相同的样本检验原假设H0：各：各i(i=1至至r)相等相等，所作的检验以及对未知，所作的检验以及对未知参数的估计称为参数的估计称为方差分析方差分析。 称为总平均值称为总平均值. .单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地总离均差平方和的分解总离均差平方和的分解对对总总平平均均值值考考虑虑全全体体

9、样样本本观观测测值值ijx的离均差平方和的离均差平方和 ix,)(112 rinjijixxSST,)(112rinjijixxSSE记记单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地结论结论1 1）SST=SSE+SSA； rinjijixxSST112)( rinjiiijixxxx112)()( rinjirinjiijiixxxx112112)()( rinjiiijixxxx11)(2单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 rinjiiijixxxx11)(而而. 0 )()(11 rinjiijii

10、xxxx.SSASSESST单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地结论结论2 2）);(rnSSE22 结论结论3 3）当当H0为真时，为真时， );(122rSSA 结论结论4 4）当当H0为真时，为真时，SSE、SSA相互独立；相互独立； 单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地结论结论5 5）当当H0为真时，为真时，时，时，rnSSEMSErSSAMSA,1), 1(rnrFMSEMSAF.), 1(01HrnrFF时拒绝时拒绝当当单因素方差分析单因素方差分析理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业

11、大学数学建模基地 例例1.11.1切胚乳试验切胚乳试验用小麦种子进行切胚用小麦种子进行切胚乳试验，设计分乳试验，设计分3 3种处理，同期播种在条件较为种处理，同期播种在条件较为一致的花盆内，出苗后每盆选留一致的花盆内，出苗后每盆选留2 2株，成熟后测株，成熟后测量每株粒重量每株粒重( (单位：单位：g)g)，得到数据如下：，得到数据如下： 处理处理 未切去胚乳未切去胚乳 切去一半胚乳切去一半胚乳 切去全部胚乳切去全部胚乳 每株粒重每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,2621,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 2

12、0,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26 24,22,28,25,21,26单因素方差分析单因素方差分析-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地单因素方差分析单因素方差分析-计算计算data ex；do a=1 to 3；input n ；do i=1 to n； input x ；Output；end；end；Cards；8 21 29 24 22 25 30 27 2610 20 25 25 23 29 31 24 26 20 216 24 22 28 25 21 26；proc anova; class a;model

13、 x=a；means a/duncan cldiff；run;华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地单因素方差分析单因素方差分析-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地方差来源方差来源 A 误差误差 总和总和 平方和平方和 6.77223.73230.50自由度自由度 2 21 23均方和均方和 3.39 10.65 F值值 0.32显著性显著性 N单因素方差分析单因素方差分析-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 例例1.21.2药剂处理药剂处理用用4 4种不同的药剂处理种不同的药剂处理水稻种子，发芽后观测到苗高水稻种子，发芽后观测到苗高( (

14、单位：单位：cm)cm)如下：如下： 处理处理 1 2 3 4 苗苗 高高 19, 23, 21, 13 21, 24, 27, 20 20, 18, 19, 15 22, 25, 27, 22单因素方差分析单因素方差分析-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地datadata ex;do a=1 1 to 4 4;do i=1 1 to 4 4 ;input x ;output;end;end;cards;19 23 21 13 21 24 27 20 20 18 19 15 22 25 27 22;procproc anovaanova; class a;model x=

15、a;means a/duncan cldiff;runrun;单因素方差分析单因素方差分析-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地单因素方差分析单因素方差分析-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地方差来源方差来源 A 误差误差 总和总和 平方和平方和 104 118 222自由度自由度 3 12 15均方和均方和 34.67 9.83 F值值 3.53显著性显著性 *单因素方差分析单因素方差分析-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 通过试验的设计，在试验中只安排两通过试验的设计，在试验中只安排两个因素有所变化、取不同的状态或水平，个因

16、素有所变化、取不同的状态或水平，而其他的因素都在设计的状态或水平下保而其他的因素都在设计的状态或水平下保持不变的试验称为双因素试验。持不变的试验称为双因素试验。 双因素方差分析双因素方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用-理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 可设双因素试验的一个因素为可设双因素试验的一个因素为A，共有，共有A、A、A等等r个水平，另一个因素为个水平，另一个因素为B，共有，共有B、B、B等等s个水平。个水平。 这两个因素的水平互相搭配各安排一次这两个因素的水平互相搭配各安排一次试验，其中试验，其中A因素的因素的A水平与水平与B因素的因素的B水水平搭配安排试验

17、所得到的样本为平搭配安排试验所得到的样本为X，相应，相应的观测值为的观测值为x 。双因素方差分析双因素方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用-理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2)(xxSSTijij2)(xxxxSSEjiijij2)(xxSSAiij2)(xxSSBjij双因素方差分析双因素方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用-理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地MSEMSBFB服从 F(s-1,(r-1)(s-1)分布。 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方和均方和 F值值显著性显著性 A B 误差误差 总和总和 SSA SSB SSE

18、 SST r-1 s-1(r-1)(s-1) rs-1 MSA MSB MSE FA FBMSEMSAFA服从F(r-1,(r-1)(s-1)分布。 双因素方差分析双因素方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用-理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素方差分析双因素方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地datadata ex;do a=1 1 to 4 4;do b=1 1 to 5 5;input x ;output;end;end;cards;53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63

19、 54 57 58 45 52 42 41 48;procproc anovaanova;class a b;model x=a b;means a b/duncan cldiff;runrun;双因素方差分析双因素方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素方差分析双因素方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素方差分析双因素方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素方差分析双因素方差分析-考虑交互作用考虑交互作用-

20、理论理论 可设双因素试验的一个因素为A，共有A1、A2、Ar等r个水平，另一个因素为B，共有B1、B2、Bs等s个水平。这两个因素的水平互相搭配各安排m次试验，其中A因素的A水平与B因素的B水平搭配安排试验所得到的样本为X，相应的观测值为x。华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地ijkjikxxSST2)(ijijkjikxxSSE2)(iijkxxSSA2)(ijjkxxSSB2)(ijijjikxxxxSSAB2)(双因素方差分析双因素方差分析-考虑交互作用考虑交互作用-理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地MSEMSAFA服从F(r-1,rs(m-1)分布 M

21、SEMSBFB服从 F(s-1,rs(m-1) )分布 MSEMSABFAB服从 F(r-1)(s-1),rs(m-1)分布 双因素方差分析双因素方差分析-考虑交互作用考虑交互作用-理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地方差方差来源来源平方平方和和自由度自由度均方和均方和 F值值显著性显著性 A B AB 误差误差 总和总和 SSA SSBSSAB SSE SST r-1 s-1 (r-1)(s-1)rs(m-1) rsm-1 MSA MSB MSAB MSE FA FB FAB双因素方差分析双因素方差分析-考虑交互作用考虑交互作用-理论理论华中农业大学数学建模基地华中农业大

22、学数学建模基地双因素方差分析双因素方差分析-考虑交互作用考虑交互作用-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地datadata ex;do a=1 1 to 4 4;do b=1 1 to 3 3;do i=1 1 to 2 2;input x ;output;end;end;end;cards;58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.849.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.4 60.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.775.8 71.5 58.2 51 48.7 41.4;procproc anovaanova;class a

23、 b;model x=a b a*b;means a b/duncan cldiff;runrun;双因素方差分析双因素方差分析-考虑交互作用考虑交互作用-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素方差分析双因素方差分析-考虑交互作用考虑交互作用-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素方差分析双因素方差分析-考虑交互作用考虑交互作用-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 如果在单因素、双因素或多因素试验如果在单因素、双因素或多因素试验中有无法控制的因素中有无法控制的因素x影响试验的结果影响试验的结果Y，且且x可以测量、可以测量、x

24、与与Y之间又有显著的线性回之间又有显著的线性回归时，常常利用线性回归来矫正归时，常常利用线性回归来矫正Y的观测值、的观测值、消去消去x的差异对的差异对Y的影响。的影响。 例如，研究施肥对苹果树产量的影响，例如，研究施肥对苹果树产量的影响，由于苹果树的长势不齐，必须消去长势对由于苹果树的长势不齐，必须消去长势对产量的影响。又如，研究饲料对动物增重产量的影响。又如，研究饲料对动物增重的影响，由于动物的初重不同，必须消去的影响，由于动物的初重不同，必须消去初重对增重的影响。初重对增重的影响。协方差分析协方差分析华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 这种不是在试验中控制某个因素，这种不是在

25、试验中控制某个因素，而是在试验后对该因素的影响进行估计，而是在试验后对该因素的影响进行估计，并对试验指标的值作出调整的方法称为并对试验指标的值作出调整的方法称为统计控制统计控制，可以作为试验控制的辅助手，可以作为试验控制的辅助手段。以统计控制为目的，综合线性回归段。以统计控制为目的，综合线性回归分析与方差分析所得到的统计分析方法，分析与方差分析所得到的统计分析方法，称为称为协方差分析协方差分析，所需要统计控制的一，所需要统计控制的一个或多个因素，例如苹果树的长势，又个或多个因素，例如苹果树的长势，又如动物的初重等等称为协变量。如动物的初重等等称为协变量。协方差分析协方差分析华中农业大学数学建模

26、基地华中农业大学数学建模基地单因素协方差分析-理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地单因素协方差分析-理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地单因素协方差分析-理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地单因素协方差分析-理论华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地单因素协方差分析单因素协方差分析-计算计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 施用三种肥料的产量矫正后有极显施用三种肥料的产量矫正后有极显著的差异著的差异 单因素协方差分析-计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地data ex; do a= ex; do a=1

27、to to 3;do i=;do i=1 to to 8; ;input x y ;output ;end;end;input x y ;output ;end;end;cards;cards;47 54 58 66 53 63 46 51 49 56 56 66 54 61 44 50 52 54 53 47 54 58 66 53 63 46 51 49 56 56 66 54 61 44 50 52 54 53 53 64 67 58 62 59 62 61 63 63 64 66 69 44 52 48 58 46 53 64 67 58 62 59 62 61 63 63 64 66

28、 69 44 52 48 58 46 54 50 61 59 70 57 64 58 69 53 6654 50 61 59 70 57 64 58 69 53 66 ; ; proc glm;class a;model y=x a/solution;class a;model y=x a/solution;lsmeans a/stderr pdiff;lsmeans a/stderr pdiff;run; ;单因素协方差分析-计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地单因素协方差分析-计算华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素协方差分析双因素协方差分析-不考虑交互作

29、用不考虑交互作用 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度 均方和均方和 F值值 显著性显著性 A QA r-1 MQA FA B QB s-1 MQB FB 误差误差 QErs-r-s MQE 总和总和 QT rs-华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素协方差分析双因素协方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 datadata ex;do a=1 1 to 3 3 ;do b=1 1 to 5 5 ;input x y ;output; end; end;cards;8 2.85 10 4.24 12 3.00 11 4.94

30、10 2.8810 3.14 12 4.50 7 2.75 12 5.84 10 4.0612 3.88 10 3.86 9 2.82 10 4.94 9 2.89;procproc glmglm;class a b ;model y=x a b/solution;lsmeans a b/stderr pdiff;runrun;双因素协方差分析双因素协方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素协方差分析双因素协方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 方差来源方差来源平方和平方和自由自由度度 均方和

31、均方和 F值值 显著性显著性 A0.6046 2 0.3023 2.49 N B7.1245 4 1.781114.66 * 误差误差0.8502 7 0.1215 总和总和8.5793 13各小区的产量矫正后没有显著的差异，各品各小区的产量矫正后没有显著的差异，各品种的产量矫正后有极显著的差异。种的产量矫正后有极显著的差异。双因素协方差分析双因素协方差分析-不考虑交互作用不考虑交互作用华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素协方差分析双因素协方差分析-考虑交互作用考虑交互作用 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度 均方和均方和 F值值 显著显著性性 A QA r-1 MQA

32、 FA B QB s-1 MQB FB AB QAB(r-1)(s-1) MQAB FAB 误差误差 QErs(m-1)-1 MQE 总和总和 QT rsm-华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素协方差分析双因素协方差分析-考虑交互作用考虑交互作用华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 方差来源方差来源 平方和平方和自由度自由度 均方和均方和 F值值 显著性显著性 A277.43485 3 92.4782866.51 * B 2.845259 3 2.845259 0.20 N AB 12.848100 1 4.282700 0.30 N 误差误差 99.441171

33、 7 14.205882 A与与B的交互作用矫正后不显著，促生长剂之间的交互作用矫正后不显著，促生长剂之间的差异极显著，试验批次间的差异不显著的差异极显著，试验批次间的差异不显著 双因素协方差分析双因素协方差分析-考虑交互作用考虑交互作用华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地data ex; do a= ex; do a=1 to to 4; do b=; do b=1 to to 2; ;do i=do i=1 to to 2;input x y;output;end;end;end;input x y;output;end;end;end;cards;cards;14.6 97.

34、8 12.1 94.2 19.5 113.2 18.814.6 97.8 12.1 94.2 19.5 113.2 18.8110.1 13.6 100.3 12.9 98.5 18.5 119.4 110.1 13.6 100.3 12.9 98.5 18.5 119.4 18.2 114.7 12.8 99.2 10.7 89.618.2 114.7 12.8 99.2 10.7 89.618.218.2122.2 16.9 105.3 12.0 102.1 12.4 103.8 122.2 16.9 105.3 12.0 102.1 12.4 103.8 16.4 117.2 17.2

35、117.916.4 117.2 17.2 117.9proc glm; class a b;model y=x a bproc glm; class a b;model y=x a ba a* *b/solution;lsmeans a b/stderr pdiff;b/solution;lsmeans a b/stderr pdiff;run;run;双因素协方差分析双因素协方差分析-考虑交互作用考虑交互作用华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地双因素协方差分析双因素协方差分析-考虑交互作用考虑交互作用华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 1. 1. 一元线性回归的基本

36、概念一元线性回归的基本概念 一元线性回归可用来分析自变量一元线性回归可用来分析自变量x取值与因取值与因变量变量Y 取值的内在联系，不过这里的自变量取值的内在联系，不过这里的自变量x是是确定性的变量，因变量确定性的变量，因变量Y Y是随机性的变量。是随机性的变量。进行进行n n次独立试验，测得数据如下：次独立试验，测得数据如下：nnyyyYxxxX2121一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地由回归方程可以推出由回归方程可以推出 ,iiixY), 2 , 1(ni)., 0(2Ni相相互互独独立立且且都都式式中中的的 根据样本及其观测值可以得到根据样本及其观测值

37、可以得到、及及2 2的估计量及估计值的估计量及估计值 ，和2, 得到回归方程的估计式或经验回归方程得到回归方程的估计式或经验回归方程 ,xy一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地有多种确定回归方程也就是确定未知参数有多种确定回归方程也就是确定未知参数 ，和和2, 的方法，其中最常用的是最小的方法，其中最常用的是最小二乘二乘法，即求出法，即求出 使及iibxayba,niiiyyQ12)(niiibxay12)(一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地的值最小，所求出的的值最小，所求出的a a称为经验截距，简称称为经验截距，简称为

38、为截距截距，b b称为经验回归系数，简称为称为经验回归系数，简称为回归回归系数系数，而，而 的无偏估计。是222nQ一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2. 2. 总体中未知参数的估计总体中未知参数的估计 根据最小二乘法的要求由根据最小二乘法的要求由 得, 0, 0bQaQ,)(,1xxniiilYxxbxbYa一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 F F检验法检验法： ),(222nSSE当当H H0 0为真时，为真时， );(122SSE且且SSR与与SSE相互独立；因此，当相互独立；因此，当H0为真时，为真时， ),

39、()(212nFnSSESSRF当当FFFF1-1-(1,n-2)(1,n-2)时应该放弃原假设时应该放弃原假设H H0 0。3 3 一元回归方程检验一元回归方程检验一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地(2) (2) t检验法检验法： ),(),(2222nSSElNbxx当当H H0 0为真时，为真时， ),()(22nTnSSElbtxx当当|t|t1-0.5(n-2)时应该放弃原假设时应该放弃原假设H0。 一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地(3) (3) r r检验法检验法： 根据根据x与与Y的观测值的相关系数的观

40、测值的相关系数 ,yyxxxyyyxxxylllrlllr22可以推出可以推出.SSTSSRr2当当H H0 0为真时，为真时，),()()(212122nFnrrF一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 当当FFFF1-1-(1,n-2)(1,n-2)或或|r|r|r|r(n-2)(n-2)时应该放时应该放弃原假设弃原假设H H0 0，式中的，式中的 )(),(),()(22121211nnFnFnr可由可由r r检验用表中查出。检验用表中查出。 ,SSTSSRr2 因此，因此，r常常用来表示常常用来表示x与与Y的线性关系的线性关系在在x与与Y的全部关系中所

41、占的百分比，又称为的全部关系中所占的百分比，又称为x与与Y的观测值的决定系数。的观测值的决定系数。一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 4. 4. 利用回归方程进行点预测和区间预测利用回归方程进行点预测和区间预测 若线性回归作显著性检验的结果是放弃H0，也就是放弃回归系数0的假设，便可以利用回归方程进行点预测和区间预测，这是人们关注线性回归的主要原因之一。 当xx0时， 的观测值预测用000Ybxay称为点预测。0y),()(000YExyE由于Y0的观测值y0的点预测是无偏的。 一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 当当

42、xx0时，用适合不等式时，用适合不等式PY0(G,H)1-的统计量的统计量G和和H所确定的随机区间所确定的随机区间(G,H)预测预测Y0的取值范围称为区间预测，而的取值范围称为区间预测，而(G,H)称称为为Y0的的1-预测区间。预测区间。 若若Y与样本中的各与样本中的各Y相互独立，则根据相互独立，则根据ZY0-(a+bx0)服从正态分布，服从正态分布，E(Z)0， ),)()(xxlxxnZD20211),(222nSSE及及Z与与SSE相互独立，相互独立，一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地可以导出可以导出 ).()(211220ntlxxnnSSEZtx

43、x因此，因此，Y0的的1-预测区间为预测区间为 a+bx0(x0)， . )()()(.xxlxxnnSSEntx2050101122一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 例例1.11.1吸附方程吸附方程某种物质在不同温度下某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质，如果温度可以吸附另一种物质，如果温度x x( (单位：单位：) )与与吸附重量吸附重量Y(Y(单位：单位：mg)mg)的观测值如下表所示：的观测值如下表所示： 温度温度x 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 重量重量y 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 1

44、2.4 13.1 13.6 15.3 试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验，试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验，若若x02，求，求Y0的的0.95预测区间。预测区间。 解：根据上述观测值得到解：根据上述观测值得到n n9 9， 一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地data ex;input x y ;cards;1.5 4.8 1.8 5.7 2.4 7 3 8.3 3.5 10.9 3.9 12.4 4.4 13.1 4.8 13.6 5 15.3 2 .;proc gplot;plot yproc gplot;plot y* *x;symbol

45、 i=rl v=dot;proc reg;model x;symbol i=rl v=dot;proc reg;model y=x/cli;y=x/cli;run;run;一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元线性回归一元线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元非线性回归一元非线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地data ex;input x y ; ex;input x y

46、 ;x1=x1=1/x;lx=log(x);ly=log(y);/x;lx=log(x);ly=log(y);cards;cards;1 1.85 2 1.37 3 1.02 4 0.75 4 0.561 1.85 2 1.37 3 1.02 4 0.75 4 0.566 0.41 6 0.31 8 0.23 8 0.176 0.41 6 0.31 8 0.23 8 0.17; ;proc gplot; ;plot yplot y* *x; x;symbol i=spline v=star;symbol i=spline v=star;proc reg;model y=x1;model y=x

47、1;proc reg;model ly=lx;model ly=lx;proc reg;model ly=x;model ly=x;run; ;一元非线性回归一元非线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元非线性回归一元非线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元非线性回归一元非线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元非线性回归一元非线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元非线性回归一元非线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地一元非线性回归一元非线性回归华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地

48、计算剩余平方和计算剩余平方和Qdata ex;input x y ; ex;input x y ;x1=x1=1/x;lx=log(x);ly=log(y);/x;lx=log(x);ly=log(y);y1=y1=0.1159+ +1.9291* *x1;q1+(y-y1)x1;q1+(y-y1)* * *2; ;y2=exp(y2=exp(0.9638- -1.1292* *lx);q2+(y-y2)lx);q2+(y-y2)* * *2; ;y3=exp(y3=exp(0.9230- -0.3221* *x);q3+(y-y3)x);q3+(y-y3)* * *2; ;cards;car

49、ds;1 1.85 2 1.37 3 1.02 4 0.75 4 0.561 1.85 2 1.37 3 1.02 4 0.75 4 0.566 0.41 6 0.31 8 0.23 8 0.176 0.41 6 0.31 8 0.23 8 0.17; ;proc print;var q1-q3;var q1-q3;run; ;华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地计算剩余平方和计算剩余平方和Q华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地人的人的体重体重与与身高、胸围身高、胸围血压值血压值与与年龄、性别、劳动强度、饮食年龄、性别、劳动强度、饮食习惯、吸烟状况、家族史习惯、吸烟状况

50、、家族史糖尿病人的糖尿病人的血糖血糖与与胰岛素、糖化血红蛋胰岛素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三脂白、血清总胆固醇、甘油三脂射频治疗仪定向治疗脑肿瘤过程中，脑射频治疗仪定向治疗脑肿瘤过程中，脑皮质的皮质的毁损半径毁损半径与辐射的与辐射的温度温度、与照射的、与照射的时间时间华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地YXXXTT1)(拟合优度公式拟合优度公式YYYXSSTSSRRTT2回归参数的检验公式回归参数的检验公式) 1()(12knt

51、XXTiiTii参数估计公式参数估计公式多元回归分析的几个公式多元回归分析的几个公式华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地多元回归的假设检验多元回归的假设检验华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地实例：湖北省油菜投入与产出的统计分析实例：湖北省油菜投入与产出的统计分析 1投入指标（1）土地（S）。土地用播种面积来表示。农作物播种面积是指当年从事农业（2）劳动（L）。劳动用劳动用工数（成年劳动力一人劳动一天为一个工）来表示。劳动用工中包含着直接和间接生产用工。（3）资本（K）。资本用物质费用来表示。物质费用包含直接费用和间接费用。主要有种子秧苗费、农家肥费、化肥费、农药费、畜

52、力、固定资产折旧费和管理及其他费用等。华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2 产出指标 产出指标用湖北省历年油菜生产的总产量（Y）来表示。Y.S的资料均来自湖北农村统计年鉴（历年）的取值是依据湖北农村统计年鉴（历年）中的湖北省油菜每亩平均投入量乘以播种面积得到。 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地SLK)t (AYSLKeAYt0SlnLlnKlntAlnY华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地data exdata ex；input y k s l t input y k s l t ；x1=log(k)x1=log(k)；x2=log(s)x2=log(

53、s)；x3=log(l)x3=log(l)；y1=log(y)y1=log(y)；cardscards；70.897270.897240076.5884 40076.5884 825.1305825.130515347.4273 15347.4273 1 183.750683.750648008.769048008.7690915.1500915.150015832.095015832.09502 270.862770.862744593.842544593.8425801.6150801.615013306.809013306.80903 378.345178.345143460.32294

54、3460.3229783.2100783.210013314.570013314.57004 498.074998.074972657.263372657.2633923.8050923.805014596.119014596.11905 5134.8767134.8767146108.3421146108.34211282.89001282.8900 20911.107020911.10707 7147.5315147.5315162433.3500162433.35001244.70001244.7000 18670.500018670.50008 8154.7607154.7607166

55、979.6325166979.63251330.51501330.5150 18627.210018627.21009 9159.9743159.9743190395.5262190395.52621505.46001505.4600 20775.348020775.34801010198.4942198.4942205914.6645205914.66451738.41001738.4100 22599.330022599.33001111194.7943194.7943189762.7335189762.73351677.09001677.0900 20963.625020963.6250

56、1212187.1013187.1013193461.5610193461.56101761.94501761.9450 21936.215321936.21531414235.1184235.1184183768.4035183768.40351779.15001779.1500 19606.233019606.23301515；proc regproc reg；model y1=x1 x2 x3 t model y1=x1 x2 x3 t ；runrun；华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 Sum of Mean Source DF Squares Square F Valu

57、e Pr F Model 4 2.15231 0.53808 148.95 |t| Intercept 1 0.93016 1.91920 0.48 0.6409 x1 1 0.24781 0.09610 2.58 0.0327 x2 1 1.28223 0.57122 2.24 0.0550 x3 1 -0.82102 0.55591 -1.48 0.1780 t 1 -0.00168 0.02437 -0.07 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地 Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr F Model 3 2.15229

58、 0.71743 223.29 |t| Intercept 1 0.87950 1.67253 0.53 0.6117 x1 1 0.24554 0.08518 2.88 0.0181 x2 1 1.24568 0.20239 6.15 0.0002 x3 1 -0.78798 0.26689 -2.95 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地Lln.Sln.Kln.Yln643284017218512441890 DW=2.537 F=404.25 R2=0.988K，S。L的的t值分别为（值分别为（3.366） (6.647) (-10.316) 643284017218512441890.LSKY华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地年数年