考研曲线积分和曲面积分

1、第十章第十章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章 内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(

2、),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线如果曲线 L 的方程为

3、的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中L1是曲线是曲线L在在x轴右侧的那一部分；关于轴右侧的那一部分；关于y轴对轴对称也有类似结论。称也有类似结论。10,( , )( , )2( , ) ,( , )LLf x yyf x y dsf x y ds

4、f x yy当关于 为奇函数；当关于 为偶函数l对称性的应用：1.如果曲线关于x轴对称，函数f(x,y)关于y为奇偶函数，则2.设f(x,y)在曲线连续，曲线L关于原点对称，函数f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数，则其中其中L1是曲线是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分在右半平面或上半平面的那一部分。10,( , )( , )( , )2( , ) ,( , )( , )LLf x yx yf x y dsf x y dsf x yx y当关于为奇函数；当关于为偶函数例1. 计算计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40

5、(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox机动 目录 上页 下页 返回 结束 d d s例2. 计算计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式

6、=syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节第二节1、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质2、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),( 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的

7、反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 计算计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos

8、,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章 LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林

9、公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、 格林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx说明:根据定理2 , 若在某区域内,

10、xQyP则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 真题研讨真题研讨21.(09)2Lxds已知L:y=x (0 x)，则sinsinsinsinsinsin22

11、.(030,0(2)2xxxxLLxxLxyDxedyyedxxedyyedxxedyyedx ）已知D:，L为 的正向边界，试证:(1)23.(99)=(sin()(cos)(2 ,0)2xxLeyb xy dxeyaxLAaaxx求Idy，其中a,b为正的常数, 为从点沿曲线y=到点(0,0)的弧.224.(00)4Lxdyydxxy求I=，其中L是以点（1,0）为中心，R为半径的圆周（R1)取逆时针方向.225.(04)2Lxdyydx设L为正向圆周x +y =2在第一象限中的部分，则26.(08)(0,0)sinsin 22.LLAxxdx设为从点沿曲线y=到点(,0)的弧,则（x -

12、1）dy2222238.(12)243(2 )LLxx ydxxxy dy 已知 是第一象限中从点（0,0）沿x +y = 到点(2,0),再沿x +y = 到点(0,2)的曲线段，计算J=2227.(11)2LLyxzdxxdydz设 是柱面x +y =1与平面z=x+y的交线，从z轴正向看去为逆时针方向，则229. 97()():2Lzy dxxy dzLLxyz（） 求（ x-z)dyx +y =1其 中,从 z轴 正 向 看的 方 向 顺 时 针 .第四节第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动

13、 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章 1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分的概念、性质和计算对面积的曲面积分的概念、性质和计算对称性的应用对称性的应用设关 于 yoz对 称 ， 则若 关于另外两个坐标面有对称性，也有类似结论10,( , , )( , , )( , , )( ,

14、, )f x y zf x y z dSf x y z dSf x y z当关于x是奇函数，当关于x是偶函数例3. 计算计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束