第25讲 Z变换及脉冲传递函数

1、1u掌握掌握Z Z变换性质、变换性质、Z Z反变换。反变换。u掌握线性差分方程及其求解。掌握线性差分方程及其求解。u掌握脉冲传递函数。掌握脉冲传递函数。 本次课学习要求：本次课学习要求：2p(1) (1) 线性性质线性性质: :满足齐次性和叠加性。满足齐次性和叠加性。3. Z3. Z变换的性质变换的性质( (定理）定理）),()(*11tfZzF若：)()(*22tfZzF)()(*22*11tfatfaZ则)()(2211zFazFa3u连续函数连续函数f(tf(t) )当当t0t0时为零，且具有时为零，且具有Z Z变变换为换为F(zF(z) )，则对于延迟，则对于延迟i i个采样周期的函个

2、采样周期的函数数f(t-iTf(t-iT) )，其，其Z Z变换为变换为p（2 2）延迟定理）延迟定理)()(zFziTtfZi4：nkziT)f(kTiT)f(tZ0 immif(mT)zziT)Zf(t 0mmif(mT)zziT)Zf(t)()(zFziTtfZi 0k)k(z T)k(i-iifz5)f(zF(z)f(f(mT)zzf(mT)zzT)Zf(tmmmm0001 (kT)zfF(z)z f(T)z)f(f(mT)zzf(mT)zzT)Zf(tkkmmmm 1020122202(3) (3) 超前定理超前定理 0101n)(kkk)Tzf(kzT)zf(kTT)Zf(t 10

3、)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ 10)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ6(4) (4) 复位移定理复位移定理)()(aTatzeFtfeZ )()(zFtfZ令：kkakTatzkTfetfeZ )()(0kaTkzekTf )(0则：则：)(aTzeF 7例例 试用复数位移定理计算函数试用复数位移定理计算函数 的的z变换。变换。aTte ttf )(令令2)1()() aTataTaTzeTzezeFteZ（解：解：2)1()( zTztfZ则则根据复数位移定理根据复数位移定理8若极限存在)(limzFz210)2()()0()()(zTfzTffzkTfzF

4、kk)()(zFtfZ令（5 5）初值定理）初值定理则函数的初值则函数的初值)(lim)(lim)0(0zFtffzt)(lim)0()(lim0tffzFtz证明：证明：对上式两边取对上式两边取 的极限的极限则有：则有：z9(6) (6) 终值定理终值定理)()1(lim)()1(lim(lim)(lim111zFzzFzkTftfzzkt ）)()(zFtfZ令 0)()()(kkzkTfzFtfZ)0()()()(0zfzzFzTkTfTtfZkk 证明：证明：两式相减两式相减10 00)()()()0()(kkkkzkTfzTkTfzFzfzzF 0)()(kkzkTfTkTfkzTf

5、TffTf .)()2()0()(kzff )0()(两边取两边取 的极限的极限1z)()1(lim)()1()(111limzFzzFzfzz 11例1：求 对应的f(t)初值和终值aTezzzF )(0) 1(lim)(lim)(1lim)(lim)(lim)0(10aTztaTzztezzztffezzzFtff12(7) (7) 卷积和定理卷积和定理0*)()()(*)()(kTkngkTetgtetc设：设： )()()(zGzEzC 则：则： 积分和设有两个函数),()(21tftfdtfftf)()()(21的卷积分，记为和称为)()(21tftf)(*)()(21tftftf1

6、34.Z4.Z反变换反变换定义：由定义：由Z Z域函数求时间域函数的过程域函数求时间域函数的过程, ,仅能仅能求出采样函数脉冲序列的表达式求出采样函数脉冲序列的表达式, ,即即)()()(*1tftfzFZ14(1) (1) 幂级数展开法幂级数展开法p 用长除法把用长除法把 按降幂展成幂级数，然后求按降幂展成幂级数，然后求得得 ，即，即将将 展成展成 p对应原函数为对应原函数为 ( )F z()f kT101101( ),mmmnnnb zb zbF znma za za( )F z012012( )F zc zc zc z TtcTtctckTf221015解：解：)2)(1(10)(zzz

7、zF21231110zzz5321150703010zzzz321203010zzz432326090302030zzzzz54343140210706070zzzzz54140150zzp对应原函数为对应原函数为 )3(7023010TtTtTtkTf 16(2) (2) 部分分式法部分分式法p 把把 分解为部分分式，再通过查表求出分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列原离散序列。p 因为因为Z Z变换表中变换表中 的分子常有因子的分子常有因子 ，所以通，所以通常将常将 展成展成 的形式，即的形式，即 ( )F z( )F zz( )F z1( )( )F zzF z12112( )( )

8、iiAAAF zzF zzzzzzzz1( )()iiiz zAF z zz其中其中17解：解：)2)(1(10)(zzzzF)(kTf210110)( zzzzzF, 3 , 2 , 1 , 0),21(10)()(1 kzFZkTfk18(3) (3) 反演积分法（留数法）反演积分法（留数法）p在反演积分法中，离散序列在反演积分法中，离散序列 等于等于 各个极点上留数之和，即各个极点上留数之和，即()f kT1( )kF z z11()( )inkzzif kTres F z z表示表示 的第的第 i i 个极点。个极点。 ( )F ziz19p重极点的情况：设重极点的情况：设 有有n n

9、阶重极点阶重极点 ，则，则11 ( )() ( )limiikkzzizzres F z zzz F z z1111()( )1 ( )(1)!limiinnkkizznzzdzzF z zres F z zndzp单极点的情况：单极点的情况：( )F ziz20例例3：( )F z解：解： 有两个极点：有两个极点：z=1和和z=0.5,分别求出其留数分别求出其留数用留数法求用留数法求 的反变换。的反变换。2)1()5 . 0)(1(, 1112 zkzzzzzreszkkkTf5 . 02)5 . 0(2)( 所以所以)5 . 0)(1()(2 zzzzFkzkzzzzzresz5 . 0)

10、5 . 0()5 . 0)(1(, 5 . 05 . 012 21 1312zzzzE 25 . 01zzzzE 作业：试求下列函数E（z）的脉冲序列e*（t）（2） （1） 221.1.差分方程的定义差分方程的定义 )2()1()()2()1()(21021kxbkxbkxbkxakxakxrrrccc对于一般的线性定常离散系统，对于一般的线性定常离散系统，k k时刻的输出时刻的输出x xc c(k(k) )不但不但与与k k时刻的输入时刻的输入x xr r(k(k) )有关，而且还与有关，而且还与k k时刻以前的输入时刻以前的输入x xr r(k-1)(k-1)，x xr r(k-2)(k

11、-2)，有关，同时还与有关，同时还与k k时刻以前的输出时刻以前的输出x xc c(k-1)(k-1)，x xc c(k-2)(k-2)，有关，这种关系可用有关，这种关系可用n n阶向后差分阶向后差分方程来描述：方程来描述：232.2.差分方程的解法差分方程的解法（1 1） 迭代法迭代法若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以利用利用递推关系递推关系，逐步地，逐步地算出输出序列算出输出序列。 首先要对差分方程两端取首先要对差分方程两端取Z Z变换，并利用变换，并利用Z Z变换的变换的位移定理，得到以位移定理，得到以z z为变量的代数方程，然后

12、对代为变量的代数方程，然后对代数方程的解数方程的解 取取Z Z反变换，求得输出序列反变换，求得输出序列)(zXc)(kTxc（2 2）Z Z变换法变换法24初始条件：初始条件：x xc c(0)=0, x(0)=0, xc c(1)=1(1)=1 0)(2) 1(3) 2(kxkxkxccc10)()()(ikkiizkTfzzFziTtfZ例例 1 1 求解求解251. 1. 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义在初始条件为零的采样和数字系统中，环节或系在初始条件为零的采样和数字系统中，环节或系统输出脉冲序列的统输出脉冲序列的Z Z变换与输入脉冲序列的变换与输入脉冲序列的Z Z变换之变换之比

13、，称为该环节或系统的脉冲传递函数。记比，称为该环节或系统的脉冲传递函数。记( )( )( )( )( )ccrrXzx kZW zXzx kZ输出脉冲序列的 变换输入脉冲序列的 变换26W(s)(txr)(*txr)(txc)(txc)(zW)()()(sWsXsXrc p离散化)()()(sWsXsXrcpZ Z变换变换)()()(zWzXzXrc)()()(zXzXzWrc27 (1) (1) 串联各环节之间有采样开关的情况串联各环节之间有采样开关的情况2.2.开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数)()()(12zXzWzXcc)()()()()(21zWzWzXzXzWrcu 两个串

14、联环节间两个串联环节间有采样开关有采样开关时，其脉冲传递函数等时，其脉冲传递函数等于这于这两个环节的脉冲传递函数的乘积两个环节的脉冲传递函数的乘积。)()()(12zXzWzWr28(2) (2) 串联各环节之间无采样开关的情况串联各环节之间无采样开关的情况12( )( )( )( )( )crXzW zZ W s W sXz)()()()(21sWsWsXsXrc)()()()(21sWsWZzXzXrcu两个相串联环节间两个相串联环节间无采样开关无采样开关时，脉冲传递函数等于这时，脉冲传递函数等于这两个环节两个环节传递函数乘积的传递函数乘积的Z Z变换变换。29例例1：开环离散系统如图，试

15、求开环脉冲传递函数：开环离散系统如图，试求开环脉冲传递函数 zGTezzsZ2222 TezzsZ5555 TTezezzsZsZ522105522 zG解解: (a) TTTTezezeezssZzG52523105522(b)30（3 3）并联环节脉冲传递函数）并联环节脉冲传递函数)(1sW)(2sW)(txr)(2txr)(txc)(1txr)()()()()(21zWzXzWzXzXrrc)()()()()(21zWzWzXzXzWrcu 并联环节之间并联环节之间均有采样开关均有采样开关，则总的脉冲传递函数等，则总的脉冲传递函数等于各并联环节脉冲传递函数的代数和。于各并联环节脉冲传递函

16、数的代数和。31 11( )( )( )1( )cBrWzXzWzXzW H z（1 1）具有负反馈的线性离散系统）具有负反馈的线性离散系统 4. 4. 闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数32( )( )( )( )( )1( )( )CBrXzD z W zWzXzD z WH z（2 2）具有数字校正装置的闭环离散系统）具有数字校正装置的闭环离散系统 33（3 3）具有有扰动信号输入的闭环离散系统）具有有扰动信号输入的闭环离散系统 )(2sW)(txr)(txc)(sE)(sE)(1sW)(sN0)(txr令0)(sN令)(1)()(212zWWzNWzXc)(1)()()()(2121zWWzWWzXzXzWrcBp 不能得出对扰动的脉