第2章2.4-2.5刚体的定轴转动

1、温州大学大学物理学教程2.4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律预习要点预习要点注意描述刚体定轴转动的运动学方法。注意描述刚体定轴转动的运动学方法。领会刚体定轴转动的动能定理的意义。注意区分平动动领会刚体定轴转动的动能定理的意义。注意区分平动动能和转动动能的计算式。注意力矩的功的计算方法。转能和转动动能的计算式。注意力矩的功的计算方法。转动惯量的定义是什么动惯量的定义是什么? ? 转动惯量与哪些因素有关转动惯量与哪些因素有关? ?1.1. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? ? 注意它的注意它的应用方法。应用方法。温州大学大学物理学教程 质点

2、质点运动状态的描述运动状态的描述22kpmv Emv刚体刚体定轴转动运动状态的描述定轴转动运动状态的描述22kLIEI0,0pjpip0,0p温州大学大学物理学教程sinrrmpmvO1 1 质点的角动量质点的角动量( (动量矩动量矩) )Lrprmv大小大小sinLmvr一、质点的角动量和刚体的角动量一、质点的角动量和刚体的角动量ozmvr90 的方向符合右手法则的方向符合右手法则. .L（圆运动）（圆运动）2LrmvmrzmvrLMrF力矩：力矩：温州大学大学物理学教程2 质点角动量定理质点角动量定理()( )()dLd mvd rrmvMdtdtdt Lrprmv3 质点角动量守恒定律质

3、点角动量守恒定律2211ttttdLMdtMdtLL 00ML 温州大学大学物理学教程一一、刚体及刚体定轴转动刚体及刚体定轴转动F刚体：刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。-物体内任意两点的距离不变物体内任意两点的距离不变s刚体是一种理想模型刚体是一种理想模型. .s刚体可以看成是由许多质点构成，每一个质点称为刚体刚体可以看成是由许多质点构成，每一个质点称为刚体的一个质元的一个质元. .刚体是一个特殊的质点组，其刚体是一个特殊的质点组，其特殊性特殊性在于在于在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。 s

4、刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动平动、转动转动。2.5 刚体定轴转动刚体定轴转动温州大学大学物理学教程s特点：特点：各点位移、速度、加速度均相同各点位移、速度、加速度均相同-可视为质点可视为质点F平动：平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变。向始终不变。 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动温州大学大学物理学教程 F转动：转动：刚体的各个质元都绕同一直线刚体的各个质元都绕同一直线( (转动轴转动轴) )作作圆周运动圆周运动s定轴转动定轴转动: : 转轴固定不动的转动转轴固定不动的转动v温州大学大学物理学教程F刚体的一般运动刚体的一

5、般运动 = = 平动平动 + + 转动转动温州大学大学物理学教程固定轴固定轴转动平面转动平面质元质元二、描述刚体定轴转动的运动学方法二、描述刚体定轴转动的运动学方法角量与线量的关系角量与线量的关系 2iiiiinivrararimiv角加速度：角加速度： 22dddtdt角位置：角位置： ( ) trad单位：单位：角速度：角速度： ddt1 1 角速度和角加速度角速度和角加速度irx温州大学大学物理学教程 方向方向: : 右手右手螺旋方向螺旋方向刚体刚体定轴定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示转动的转动方向可以用角速度的正负来表示. .00zz温州大学大学物理学教程2 匀变速转动公式匀

6、变速转动公式刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动. . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比0vvat20012xxv tat22002 ()vva xx0t20012tt22002 () 温州大学大学物理学教程例例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始，如果升降机从静止开始以加速度以加速度a=0.4m/s2匀加速上升，

7、求：匀加速上升，求：(1)(1)滑轮的角加速度滑轮的角加速度; ;(2)(2)开始上升后开始上升后t=5s末滑轮的角速度末滑轮的角速度; ;(3)(3)在这在这5s5s内滑轮转过的圈数内滑轮转过的圈数; ;(4)(4)开始上升后开始上升后t=1s末滑轮边缘上一点的末滑轮边缘上一点的 加速度加速度( (设设缆索与滑轮间不打滑缆索与滑轮间不打滑) )a温州大学大学物理学教程解解 （1 1）升降机的加速度和滑轮边）升降机的加速度和滑轮边 缘上的一点的切向加速度相等缘上的一点的切向加速度相等20.8 rad saarr（2 2）100.8 54.0 rad st（3 3）在这）在这5 秒内滑轮转过的角

8、度为秒内滑轮转过的角度为 a20012ttr10 rad210.8 52在这在这5秒内滑轮转过的圈数为秒内滑轮转过的圈数为 101.62N圈温州大学大学物理学教程(4)(4)为了图示清晰，将滑轮放大为如图所示为了图示清晰，将滑轮放大为如图所示. . nataa20.4m saa22220.32m snarrtora2220.51m snaaa 这个加速度的方向与滑轮边缘的切线这个加速度的方向与滑轮边缘的切线方向的夹角为方向的夹角为 1100.32tantan38.70.4naa温州大学大学物理学教程问：问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于

9、同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有力的作用点的位置对物体的运动有影响吗影响吗？力矩力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响. .圆盘静止不动圆盘静止不动圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动FFFF温州大学大学物理学教程刚体绕刚体绕Oz轴旋转轴旋转, ,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点P, ,且在转动平面内且在转动平面内, , 由点由点O 到力的作用点到力的作用点P的径矢为的径矢为 。 一、力矩一、力矩 Frz

10、OPFrsinMFr: : 力臂力臂ddM对转轴对转轴z的力矩的力矩 FMrFFd大小大小温州大学大学物理学教程刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比成正比，与刚体的转动惯量成反比()zd IMdtMI刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律zzdLMdt温州大学大学物理学教程2、力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的、力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。原因。说明：说明：3、力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方、力矩是矢量，方向沿转轴，对

11、定轴转动只有两个方向，所以用正负号表示方向。向，所以用正负号表示方向。1、 与与 地位相当，地位相当，m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。转动状态的难易程度。MIFma温州大学大学物理学教程如图所示为在如图所示为在Laurence Livermore实验室中的中实验室中的中子实验室设备的重屏蔽子实验室设备的重屏蔽门。它是世界上最重的门。它是世界上最重的安有轴的门。此门的质安有轴的门。此门的质量是量是44000Kg, ,对于通过对于通过其大轴的竖直轴的转动其大轴的竖直轴的转

12、动惯量是惯量是8.7104kg.m2，前面宽是前面宽是2.4m。忽略摩。忽略摩擦，在它的外沿上并垂擦，在它的外沿上并垂直于门加多大的恒定力直于门加多大的恒定力能使它在能使它在30s从静止转过从静止转过9090度角。度角。例例212tMFdI22126 IFNd t温州大学大学物理学教程应用刚体转动定律解刚体定轴转动问题的方法和步骤：应用刚体转动定律解刚体定轴转动问题的方法和步骤：1 1、选取研究对象，采用隔离法，把研究对象从一切和、选取研究对象，采用隔离法，把研究对象从一切和它有牵连的其他物体中它有牵连的其他物体中“隔离隔离”出来出来, ,称之为隔离体。称之为隔离体。3 3、选取坐标系，这是一

13、个重要的步骤，坐标选取正确，、选取坐标系，这是一个重要的步骤，坐标选取正确，可使运算简化。可使运算简化。2 2、分析受力情况，画出受力图，找出对轴力矩、分析受力情况，画出受力图，找出对轴力矩。4 4、列方程求解。根据坐标系分别写出研究对象的运动、列方程求解。根据坐标系分别写出研究对象的运动方程，用牛顿第二定律（对质点），和转动定律（对刚方程，用牛顿第二定律（对质点），和转动定律（对刚体）。方程采取投影式，还应写出必要的辅助方程。体）。方程采取投影式，还应写出必要的辅助方程。5 5、讨论、讨论温州大学大学物理学教程mgmRO如图所示，一质量为如图所示，一质量为m 、半径为、半径为R 的匀质的匀质

14、圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动. . 圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物的物体，求物体下落时的加速度。体，求物体下落时的加速度。例例解解ya1T2T滑轮受到的外力矩为绳的拉力矩，对于轴滑轮受到的外力矩为绳的拉力矩，对于轴O1MTR由刚体的定轴转动定律得由刚体的定轴转动定律得MI212m R1T R对物体应用牛顿第二定律得对物体应用牛顿第二定律得2mgTma12,aR TTT2magmm温州大学大学物理学教程F 对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的

15、刚体：2i iiIm rF 影响转动惯量的三个要素影响转动惯量的三个要素: :(1)(1)总质量总质量 (2)(2)转轴的位置转轴的位置 (3)(3)质量分布质量分布 2r dm转动惯量的计算转动惯量的计算F 对分立的质点组：对分立的质点组：2i iiImr温州大学大学物理学教程xOLAB(1) (1) I 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量2220013LLmIx dmxdxmLL(2) (2) J与转轴的位置有关与转轴的位置有关dxdmx213ImL2112ImLmLABAB2L2Lm温州大学大学

16、物理学教程loR(3) (3) I与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量2222mmrrdrldrR lR20mIR dm2mRdmdV232020122mRmIr dmr drRmRrdr20mRdmOmRdm温州大学大学物理学教程I = mR2+m1R2思考思考1. . 环上加一质量为环上加一质量为m1的质点的质点, , I=? 思考思考2. . 环上有一个环上有一个 x的缺口，的缺口，I=?222mImRxRR xROOmRm1温州大学大学物理学教程三、力矩的功三、力矩的功zPr

17、drFddWF drcosFdsdWMd力矩的功力矩的功F力力 对质元对质元P所做的元功：所做的元功：F21dWMoyxrdPdrFsinMFr又又cossindsrdsindWFrd 温州大学大学物理学教程四、转动动能四、转动动能动能：动能：F在刚体上取一质元在刚体上取一质元 ：ip212kiiiEmv2212i imrF对刚体上所有质元的动能求和：对刚体上所有质元的动能求和：2212ki iEmr2212i iimr2i iiIm r- - 对对转动转动轴的轴的转动惯量转动惯量则刚体的转动动能则刚体的转动动能212kEIirimiv温州大学大学物理学教程五、转动动能定理五、转动动能定理F基

18、本方法：基本方法：质点组动能定理质点组动能定理刚体特性刚体特性刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理int21extkkAAEE质点间无相对位移质点间无相对位移int0A21extkkAEEF刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理：2122211122MdII合外力矩合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量温州大学大学物理学教程mg一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀的均匀细棒细棒, , 棒的一端可绕通过棒的一端可绕通过O点点并垂直于纸面的轴转动并垂直于纸面的轴转动, , 棒的棒的另一端有质量为另一端有质量为m 的小球

19、。的小球。开始时，棒静止地处于水平位开始时，棒静止地处于水平位置置A。当棒转过。当棒转过 角到达位角到达位置置B，棒的角速度为多少，棒的角速度为多少? ?取小球、细棒和地球为系统取小球、细棒和地球为系统, , 在棒转动过程中机械能守在棒转动过程中机械能守恒恒, , 设设A位置为重力势能零点位置为重力势能零点. .oAB例例解解: :,m lmmg1sin2lkApAkBpBEEEE温州大学大学物理学教程0kAPAEEkApAkBpBEEEE212kBEJ12III2221433Imlmlml(sinsin )2pBlEmgmgl 3sin2mgl 22230sin32mlmgl1 23sin(

20、)2glmgoAB,m lmmg1sin2l温州大学大学物理学教程 刚体的重力势能由质心的高度决定！oAB,m l温州大学大学物理学教程一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为别为m和和M的物体，且的物体，且 。 滑轮滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为为 ，半径为，半径为R ，转轴垂直于盘面通，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示。由于轴上有摩擦，过盘心，如图所示。由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦阻力矩滑轮转动时受到了摩擦阻力矩 的作的作用。设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑用。设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动，求物体的加速度

21、及绳中的张力。动，求物体的加速度及绳中的张力。MmM阻m例例mg1TMg2T1a2aM阻RmomM温州大学大学物理学教程受力分析如图所示受力分析如图所示. .对于上下作平动对于上下作平动的两物体，可以视为质点，由牛顿的两物体，可以视为质点，由牛顿第二运动定律得第二运动定律得 1122mTmgmaMMgTMa ：-：若以顺时针方向正，则由刚体定轴若以顺时针方向正，则由刚体定轴转动的转动定律得转动的转动定律得 22112T RT RMJm R解解mg1TMg2T1a2aM阻RmomM12taaaaR据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点

22、的切向加速度和物体的加速度相等，即一点的切向加速度和物体的加速度相等，即 y温州大学大学物理学教程联立以上三个方程，得联立以上三个方程，得 ()2MMm gRamMm阻1(2)2()2mMmMmgRTm gamMm阻2(2)2()2MMmmMgRTM gamMm阻注意：注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时，此有当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时，此有 ，物理学中称这样的滑轮为物理学中称这样的滑轮为“理想滑轮理想滑轮”，称这样的装置为，称这样的装置为阿特伍德机阿特伍德机. . 12TT温州大学大学物理学教程一个飞轮的质量一个飞轮的质量 ，半径，半径 ，正在以转速，正在以转速 转动。现在要制动飞轮，要

23、求在转动。现在要制动飞轮，要求在 内内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力 为多为多大？假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为大？假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为 ，而，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。60kgm 0.25mR 01000r/min5.0st N0.8k例例解解 匀减速转动，角加速度匀减速转动，角加速度 为恒量，方向与角速度方向相反为恒量，方向与角速度方向相反0t20 104.720.9 rad/s5 01000 2104.7 rad/s60其中其中0;5.0st 以角速

24、度方向为正以角速度方向为正f0FmN温州大学大学物理学教程作用于飞轮的对固定转轴的外力矩是作用于飞轮的对固定转轴的外力矩是摩擦力矩摩擦力矩根据刚体定轴转动定律得根据刚体定轴转动定律得MJkNR 因为飞轮的质量均匀分布在轮的外因为飞轮的质量均匀分布在轮的外周上，所以飞轮对转轴的转动惯量周上，所以飞轮对转轴的转动惯量可视为圆环对轴的转动惯量可视为圆环对轴的转动惯量2JmRkJNR 2kkmRmRR 60 0.2520.93920.8N kMfRNR f0FmN温州大学大学物理学教程 在现代柔道中，懂物理学的弱而小的斗士能打败不懂物在现代柔道中，懂物理学的弱而小的斗士能打败不懂物理学的强而大的力士。

25、这一事实表现在最基本的理学的强而大的力士。这一事实表现在最基本的“臂摔臂摔”动动作中，其中一个斗士绕着对手的髋关节转动对手作中，其中一个斗士绕着对手的髋关节转动对手倘若成倘若成功的话功的话并把他摔倒在垫子上。不适当地应用物理学，摔倒并把他摔倒在垫子上。不适当地应用物理学，摔倒对手就需要相当大的力气而且容易失败。对手就需要相当大的力气而且容易失败。温州大学大学物理学教程（1 1）. .如果在你摔倒对如果在你摔倒对手以前，你把对手折弯手以前，你把对手折弯使他的质心（重心）和使他的质心（重心）和你的髋关节重合，此时你的髋关节重合，此时按上述加速度转动对方按上述加速度转动对方所需力所需力F大小为多少？

26、大小为多少？（2）.如果你的对手在如果你的对手在你摔动他之时仍然站你摔动他之时仍然站着，以至他对枢点的力着，以至他对枢点的力臂为臂为0.12m, ,所需力所需力F F的的大小又是多少？大小又是多少？为了把为了把 的对手用基本的对手用基本“臂摔臂摔”摔倒，你打算用一个力摔倒，你打算用一个力F和以你的髋关节为枢点（转轴）、和以你的髋关节为枢点（转轴）、 的力臂拉对手的力臂拉对手的衣服。你想使对手以的衣服。你想使对手以 的角加速度转动。假设对手的角加速度转动。假设对手对枢点的转动惯量为对枢点的转动惯量为 。80kg10.3md 26rad/s215kg m例例温州大学大学物理学教程（1）1FdI解解

27、115 63000.3IFNd（2）12FdmgdI211613mgdIFddN温州大学大学物理学教程mgmRO如图所示，一质量为如图所示，一质量为m 、半径为、半径为R 的匀质的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动. . 圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物的物体，求物体下落时的加速度。体，求物体下落时的加速度。解解ya1T2T滑轮受到的外力矩为绳的拉力矩，对于轴滑轮受到的外力矩为绳的拉力矩，对于轴O1MTR由刚体的定轴转动定律得由刚体的定轴转动定律

28、得MI212m R1T R对物体应用牛顿第二定律得对物体应用牛顿第二定律得2mgTma12,aR TTT2magmm练习练习温州大学大学物理学教程刚体定轴转动的角动量守恒定律应用刚体定轴转动的角动量守恒定律应用dLMdtL 常量则则若若0M 讨论讨论对于绕固定轴转动的刚体，因对于绕固定轴转动的刚体，因J 保持不变，当对轴的合保持不变，当对轴的合外力矩为零时，其角速度恒定。外力矩为零时，其角速度恒定。0,M 当当J 常量常量温州大学大学物理学教程如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒 I

29、 t I t I t 物体系的角动量守恒物体系的角动量守恒 温州大学大学物理学教程温州大学大学物理学教程温州大学大学物理学教程温州大学大学物理学教程温州大学大学物理学教程 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. . 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. . 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量inexMML飞轮飞轮12航天器调姿航天器调姿温州大学大学物理学教程质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动速度速度加速度加速度角速度角速度角加速度角加速度质量质量 m动量动量角动量角动量转动惯量转动惯量

30、2Jr dmLJpmv力矩力矩M力力Fdvadtddtddtdrvdt温州大学大学物理学教程质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律运动定律转动定律转动定律质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能0WMdbaWF dr2/2kEmv2/2kEJ00ttMdtLLMJFma00ttFdtmvmv0,iiiFmv恒恒量量0,iiMJ恒恒量量温州大学大学物理学教程质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚

31、体定轴转动的规律对照质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动能定理动能定理动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒只有保守力作功时只有保守力作功时机械能守恒机械能守恒只有保守力作功时只有保守力作功时kpEE恒恒量量2201122WJJ2201122Wmvmv重力势能重力势能pEmgh重力势能重力势能pCEmghkpEE恒恒量量温州大学大学物理学教程解解: :两个转动惯量分别为两个转动惯量分别为 J1 和和 J2 的圆盘的圆盘A和和B。A是机器上的是机器上的飞轮飞轮, , B是用以改变飞轮转速的离合器圆盘。开始时是用以改变飞轮转速的离合器圆盘。开始时, ,他们他们分别以角速度分别以角速度1

32、 和和2 绕水平轴转动。然后绕水平轴转动。然后, ,两圆盘在沿水两圆盘在沿水平轴方向力的作用下啮合为一体平轴方向力的作用下啮合为一体, , 其角速度为其角速度为, , 齿轮啮合后两圆盘的角速度。齿轮啮合后两圆盘的角速度。求求例例112212()JJJJ112212()JJJJ以两圆盘为系统，在衔接过程中以两圆盘为系统，在衔接过程中有受外力：重力、轴对圆盘支持有受外力：重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力，因此系统角动量守恒内力，因此系统角动量守恒温州大学大学物理学教程哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一

33、个椭圆，如图所示，哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是它距离太阳最近的距离是 , , 速率速率 ；它离太阳最远时的速率；它离太阳最远时的速率 ，这时它离太阳的距离，这时它离太阳的距离 远日远日v近日近日v近近日日r远日远日r108.75 10 mr近日4-15.46 10 m sv近日例例2-19.08 10 m sv远日r远日？温州大学大学物理学教程彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒. . 于于是有是有 rvr

34、v远日远日近日近日， rvrv近日 近日远日远日125.26 10 mr远日代入数据可得代入数据可得解解: :rvrv远日远日近日近日温州大学大学物理学教程以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒. .讨讨 论论o子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计v子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；温州大学大学物理学教程子弹、杆组成一系统，应用角动量守恒子弹、杆组成一系统，应用角动量守恒o一长为一长为l , , 质量为质量为m 的杆可绕支点

35、的杆可绕支点O自自由转动一质量为由转动一质量为 、速率为、速率为v 的子的子弹射入杆内距支点为弹射入杆内距支点为d 处，使杆的偏处，使杆的偏转角为转角为300。问子弹的初速率为多少。问子弹的初速率为多少? ?m30mvd解解例例221()3m vdmlm d2233m vdmlm d射入杆后，以子弹、细杆和地球为系统，射入杆后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒机械能守恒2221 1()2 3mlm d(1 cos30 )(1 cos30 )2lm gdmg 22(23)(2 )(3) 6vgmlm dmlm dm d温州大学大学物理学教程小球的重力与冲击力相比可忽略小球的重力与冲击力相比可

36、忽略例例解解一根质量为一根质量为m1 、长为、长为2l 的均匀细棒，可以在竖直平面内绕的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置。今有一质量为置。今有一质量为m2的小球，以速度的小球，以速度 垂直向下落到了棒垂直向下落到了棒的端点，小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞。试求碰撞后小的端点，小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞。试求碰撞后小球的回跳速度球的回跳速度 及棒绕轴转动的角速度及棒绕轴转动的角速度 。o1mll2muvu由角动量守恒定律得由角动量守恒定律得22m ulIm vl弹性碰撞弹性碰撞其中其中211(2 )

37、12Iml2113ml22222111222m um vI解得解得1212(3)3mm uvmm2126(3)m umm l温州大学大学物理学教程一匀质细棒长为一匀质细棒长为l ，质量为，质量为m，可绕通过其端点，可绕通过其端点O的水平的水平轴在竖直平面内无摩擦地转动。棒在水平位置时释放，轴在竖直平面内无摩擦地转动。棒在水平位置时释放，当它落到竖直位置时与放在地面上一静止的物体相撞。当它落到竖直位置时与放在地面上一静止的物体相撞。该物体的质量也为该物体的质量也为m，与地面的摩擦系数为，与地面的摩擦系数为 。相撞后物。相撞后物体沿地面滑行一距离体沿地面滑行一距离s而停止而停止, ,求碰撞后杆的转

38、动动能。求碰撞后杆的转动动能。这个问题可分为三个阶段进行这个问题可分为三个阶段进行分析。分析。第一阶段第一阶段是棒自由摆落是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不做功，机械能内力与外力都不做功，机械能守恒。取棒在竖直位置时质心守恒。取棒在竖直位置时质心所在处为势能零点。所在处为势能零点。CO解解例例温州大学大学物理学教程用用 表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度, ,则则（1）第二阶段第二阶段是是碰撞过程碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽

39、略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外的外力矩为零，所以，这个系统的对力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。用轴的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度，则表示物体碰撞后的速度，则（2）22211 1222 3lmgIml221133mlmvlml温州大学大学物理学教程第三阶段第三阶段是物体在碰撞后的是物体在碰撞后的滑行过程滑行过程。物体作匀减速直。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为线运动，加速度由牛顿第二定律求得为（3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）

40、与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得（5）mgma202vas（4）亦即亦即22vgs33 2glgsl 212EI233 26mglgs温州大学大学物理学教程 首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解. .定轴转动的动力学问题定轴转动的动力学问题 解题基本步骤解题基本步骤 1.1. 求刚体转动某瞬间的角加速度，一般求刚体转动某瞬间的角加速度，一般转动定律求解转动定律求解。如。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转质点和刚体组成

41、的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，联立求解动定律方程，再列角量和线量的关联方程，联立求解. .2.2. 刚体与质点的碰撞、打击问题，在有心力场作用下绕力心刚体与质点的碰撞、打击问题，在有心力场作用下绕力心转动的质点问题，考虑转动的质点问题，考虑用角动量守恒定律用角动量守恒定律. .另外另外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解分析，分别列出方程，进行求解. .3.3. 在刚体所受的合外力矩不等于零时，比如木杆摆动，受重力在刚体所受的合外力矩不等于零时，比如木杆摆

42、动，受重力矩作用，一般应用刚体转动矩作用，一般应用刚体转动动能定理动能定理或机械能守恒定律求解或机械能守恒定律求解温州大学大学物理学教程练习：练习：温州大学大学物理学教程2()mvdImd213IMl温州大学大学物理学教程习题课温州大学大学物理学教程质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动速度速度加速度加速度角速度角速度角加速度角加速度质量质量 m动量动量角动量角动量转动惯量转动惯量2Ir dmLIpmv力矩力矩M力力Fdvadtddtddtdrvdt温州大学大学物理学教程质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对

43、照运动定律运动定律转动定律转动定律质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能0WMdbaWF dr2/2kEmv2/ 2kEI00ttMdtLLMIFma00ttFdtmvmv0,iiiFmv恒恒量量0,iiMI恒恒量量温州大学大学物理学教程质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动能定理动能定理动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒只有保守力作功时只有保守力作功时机械能守恒机械能守恒只有保守力作功时只有保守力作功时kpEE恒恒量量2201122WII2201122Wmvmv重力势能重力势能pEmgh重力势能重力势能pCEmghkpEE恒恒量量温州大学大学物理学教程 首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理