D6_6一阶和二阶常系数线性差分方程

1、第六节第六节一、一阶常系数齐次线性差分方程的通解一、一阶常系数齐次线性差分方程的通解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 一阶和二阶常系数线性差分方程一阶和二阶常系数线性差分方程三、二阶常系数线性差分方程三、二阶常系数线性差分方程 目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回一、一阶常系数齐次线性差分方程的解法：的等比数列满足的等比数列满足公比为公比为 3, 2 , 1 , 0,31naann：通项公式通项公式, 2 , 1 , 0,)3(0naann（1）（2）（2）是差分方程（）是差分方程（1）的）的解解.（1）是）是差分方程差分方程， 一阶常系数齐次线

2、性差分方程的一般形式为, 2 , 1 , 0, 01nayynn（3）, 2 , 1 , 0,1nayynn与（与（1）进行比较）进行比较得方程（得方程（3）的通解为：）的通解为：, 2 , 1 , 0,)(nacynn目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回二、几种简单的一阶常系数非齐次线性差分方程的解法的的一一个个特特解解，则则是是差差分分方方程程设设)4()(* ny 一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式为, 2 , 1 , 0),(1nnfayynn（4）0)(nf其中其中, 2 , 1 , 0, )(*)(nnyacynn是差分方程（是差分方程（4）的通解）的通解.目录目录上页上页

3、下页下页结束结束返回返回1. ,)(*2120anananylmnknnf2)(nnayy1解解为为时时，可可以以设设它它的的一一个个特特当当1a为为待待定定系系数数，210,aaa),()(*2120anananny解解为为时时，可可以以设设它它的的一一个个特特当当1a为为待待定定系系数数，210,aaa同同次次的的多多项项式式与与)(nf的多项式的多项式的次数大的次数大次数比次数比1)(nf.求求待待定定系系数数的的同同次次幂幂系系数数，解解方方程程代代入入方方程程，比比较较 n.求求待待定定系系数数的的同同次次幂幂系系数数，解解方方程程代代入入方方程程，比比较较 n目录目录上页上页下页下

4、页结束结束返回返回例1. .31的的通通解解求求差差分分方方程程nyynn),()(*10ananny为为，可可以以设设它它的的一一个个特特解解因因1a的多项式的多项式的次数大的次数大次数比次数比1)(nf代代入入原原方方程程，有有解 得得求求待待定定系系数数的的同同次次幂幂系系数数，解解方方程程比比较较,n) 1() 1(120nana3120nnana25,2110aa,2521)(*2nnny的通解为的通解为又又01nnyyccynn1原方程的通解为原方程的通解为.2521)(2cnnny目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回例2. .12221的的通通解解求求差差分分方方程程nyyn

5、n,)(*2120ananany为为，可可以以设设它它的的一一个个特特解解因因1a的多项式的多项式的次数相等的次数相等次数与次数与)(nf代代入入原原方方程程，有有解 得得求求待待定定系系数数的的同同次次幂幂系系数数，解解方方程程比比较较,n2120) 1() 1(anana12 222120nanana5, 4, 2210aaa, 542)(*2nnny的的通通解解为为又又021nnyynnnccy22 原方程的通解为原方程的通解为. 5422)(2nncnyn目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回2. nAdny)(*1, 0,)(ddbdnfnnnayy1解解为为时时，可可以以设设它它

6、的的一一个个特特当当danddabny)(*dabA代代入入方方程程后后，得得解解为为时时，可可以以设设它它的的一一个个特特当当danAndny)(*nnddbny)(*dbA 代代入入方方程程后后，得得目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回2. 1, 0,)(ddbdnfnnnayy1时时，有有特特解解当当danddabny)(*时时，有有特特解解当当dannddbny)(*有通解有通解01nnayynnacy)(有通解有通解从而从而nnnbdayy1)(nynac)(daddabn,nac)(danddbn,目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回例3. .423201的特解的特解满足满

7、足求差分方程求差分方程yyynnn解 ,2)(*nAnynncy)2()(ny原原方方程程的的通通解解为为对应齐次方程的通解为： 代入原方程，有： ,232221nnnAA,43A得得,243)(*nnync)2(,243n413, 40cy得得由由nny)2(413所求满足条件的特解为所求满足条件的特解为,243n目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回三、二阶常系数齐次线性差分方程的解法 二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为, 2 , 1 , 0, 012nqypyynnn（5）差分方程（差分方程（5）的通解为）的通解为02qrpr为差分方程（5）的特征方程特征方程,其根称为特征根特征根

8、.是两个不同的实根时，是两个不同的实根时，21) 1 (rrnnrcrcy2211时时，rrr21)2(差分方程（差分方程（5）的通解为）的通解为nrnccy)(21目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回三、二阶常系数齐次线性差分方程的解法, 2 , 1 , 0, 012nqypyynnn（5）差分方程（差分方程（5）的通解为）的通解为02qrpr为差分方程（5）的特征方程特征方程,是两个不同的实根时，是两个不同的实根时，21) 1 (rrnnrcrcy2211时时，rrr21)2(差分方程（差分方程（5）的通解为）的通解为nrnccy)(210)3(21，irir差分方程（差分方程（5）的通解为）的通解为)sincos(21ncncyn22tan，其其中中目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回例4.05412的的通通解解求求nnnyyy差分方程的通解为差分方程的通解为0542 rr解 特征方程为特征方程为5121rr，nccy)5(21目录目录上页上页下页下页结束结束返回返回例5.05212的的通通解解求求nnnyyy0522 rr解 特征方程为特征方程为irir212121，差分方程的通解为差分方程的通解为)sincos()5(21ncncyn5