大学理论力学平面图形上各点的加速度分析

1、aBA7.3 平面图形上各点的加速度分析平面图形上各点的加速度分析取取B动点，则动点，则B点的运动分解为相对运动点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动为圆周运动和牵连运动为平动nBABABAr aaaa于是于是,由牵连平动时加速度合成定理由牵连平动时加速度合成定理 可得如下公式：可得如下公式：reaaaanBABAABaaaa一一. . 基点法基点法 ( (合成法合成法) ) 已知：图形已知：图形S 内一点内一点A 的加速度的加速度 和图形和图形 的的 , a a（某一瞬时）。（某一瞬时）。求：求： 该瞬时图形上任一点该瞬时图形上任一点B的加速度。的加速度。Aa取取A为基点，将平动坐

2、标系固结于为基点，将平动坐标系固结于A点点nBAaBAaAa Ba;aa ; Aeaa aBaBAnBAaBAaAaaB其中：其中： ，方向，方向 AB，指向与，指向与a a 一致；一致；aABaBA ，方向沿，方向沿AB，指向，指向A点。点。2nBAABa即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度。这种求解加速度的方法称为的方法称为基点法基点法，也称为，也称为合成法合成法。是求解平面图形内一点加速。是求解平面图形内一点加速度的基

3、本方法。度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。nBABAaa,nBABAABaaaa由于由于 的大小和方向随的大小和方向随B点的不同而不同点的不同而不同,所以总可以所以总可以在图形内找到一点在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点大小恰与基点A的加速度的加速度 等值反向，其绝对加速度等值反向，其绝对加

4、速度Q点就称为图形在该瞬时的点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心加速度瞬心QAaAa0QanBABA ,aa(1)一般情况下一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点(2)一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关 系式系式. 即一般情况下即一般情况下,图形上任意两点图形上任意两点A, B的加速度的加速度ABBABA)()(aa 二加速度瞬心二加速度瞬心 若某瞬时图形若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动即瞬时平动, 则有则有 即：即：若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬若平面图形在运动过程中某瞬时的角

5、速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等ABBABA)()(aa （3 3）由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，故由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形的角加速度常采用基点法求图形上各点的加速度或图形的角加速度nPOPOOPaaaaRvO/ （） 例例1 半径为半径为R的车轮沿直线作纯滚动的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心已知轮心O点的速度点的速度及加速度及加速度 ,求车轮与轨道接触点求车轮与轨道接触点P的加速度的加速度OvOaP为速度瞬心，为速度瞬心，分析：分析：

6、大小：大小：？a 2方向：方向：？ 解：解：轮轮O作平面运动，作平面运动， RatvRtOOdd1dda（） 由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加的加速度指向轮心速度指向轮心nPOPOOPaaaaRvRvRRaOO222nPO)( nPOPaaynPOaPOaOa a a以以O为基点，为基点， PO,OaRaaxy将将 分别投影到分别投影到x、y轴上，有：轴上，有：nPOPOOPaaaaPOOPaaax=0Rvaa2onPO

7、P由于由于 在任何瞬时都成立，且在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而点作直线运动，故而RvO/(a)BvAv(b)AB杆作平动，杆作平动， aaBABOAO21 式式中中21例例2 已知已知O1A=O2B, 图示瞬时图示瞬时 O1A /O2B 试问试问(a),(b)两种情况下两种情况下 1和和 2，a a1和和a a2是否相等？是否相等？ , BAvv BAaanAanBa,/AOvA11而而;/BOvB22 11,/AOaAa;/BOaB22a解：解：(a)21aanBnAaaAaBa(b)nBaBanAaAa(b) AB杆作平面运动杆作平面运动, 0AB2211/ BOvAOvBAAB

8、AABnAABBABnB)()()()(aaaaaaincossincos1121122222sAOAOBOBO cot22112aa图示瞬时图示瞬时AB杆作瞬时平动杆作瞬时平动, vAvB即即对对AB杆，以杆，以A为基点求为基点求B点的加速度点的加速度nBABAAnABnBaaaaaaAanAaBAaBAvv式中式中0nBAa将上式投影到将上式投影到AB轴上，有：轴上，有：ABBABA)()(aa即BAaaAB作瞬时平动时并由此看出即, 21aa例例3 曲柄滚轮机构，滚子半径曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚，作纯滚动。动。求：当求：当 =60时时 (OA

9、AB),滚轮的滚轮的 ，a a OA杆作定轴转动杆作定轴转动,AB杆和轮杆和轮B作平面运动作平面运动rad/s 32153 /30/1APvAABcm/s 30215 OAvAP为其速度瞬心为其速度瞬心cm/s 3203215321ABBBPv分析分析: 要想求出滚轮的要想求出滚轮的 , a a 先要求出先要求出vB, aBvAvBP1rad/s 2306030/n解：解：研究研究AB杆：杆： ABAB取取A为基点，为基点，2222cm/s60)2(15OAaAnBABAABaaaa222nBA3320)32(153ABABa将上式向将上式向x轴上投影轴上投影nBAB30cosaa30/cos

10、nBABaa2BBBPv/2BBBPa/aP2为其速度瞬心为其速度瞬心P2BAanBAaAaBaAax22cm/s513123/3320.研究轮研究轮B：rad/s25715320./2rad/s778155131./. Ba aB例例43tan3000lrlvABABtan30tan300rvvAAB,0rvA30AB分析分析加速度加速度20raA根据加速度合成定理根据加速度合成定理nBABAABaaaalaABBAa9202lABaABnBA以以A为基点，求为基点，求B点的加速度：点的加速度：202732laB,930cos20nlaaABB角加速度角加速度nBABAABaaaalaABB

11、AaBA202020)273(273lrlraBA20202738)273-33(alaBAAB,ABABaaa30sinBAEDOl45lOAv例例5图示平面机构，滑块图示平面机构，滑块B可沿杆可沿杆AB滑动，杆滑动，杆BE与与BD分别与滑分别与滑块块B铰接，铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速以匀速v沿铅直导轨沿铅直导轨向上运动，杆向上运动，杆BE长为长为 ；图示瞬时杆；图示瞬时杆OA铅直，且与杆铅直，且与杆BE夹角夹角为为 。求该瞬时杆。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。的角速度与角加速度。l245解：解： BE杆作平面运动，杆作平面运动，先求滑块先求滑块B的速度和加速度。的速度和加速度。vBBE杆的速度瞬心为杆的速度瞬心为O点点lvBEvlvBEB BEBE以以E为基点，求滑块为基点，求滑块B的加速度的加速度aBnBEaBEaBanBEBEEBaaaa0EalvBEa22BEnBE2将上式投影到将上式投影到BE轴上：轴上：nBEBcos45aalvaa2nBEB2cos45BAEDOl45lOAvvBBa 由于滑块可沿杆由于滑块可沿杆OA滑动，因此滑动，因此应利用点的合成运动方法求杆应利用点的合成运动方法求杆OA的的角速度及角加速度。角速度及角加速度。以滑块以滑块B为动