第二章能带理论

1、第二章 能带理论*能带：在完整的晶体中运动的的电子，其能谱值是一些密集的能级组成的带，这种带称能带。能带与能带之间被能量禁区分开。其中，0K时完全空着的最低能带称导带，完全被电子占满的最高能带称价带，二者间的能量禁区称禁带。*能带理论：又称固体能带理论。是关于晶体中电子运动状态的一种量子力学理论。其预言晶体中电子能量总会落在某些限定范围或“能带”中。晶体的电学、光学和磁学等性质都与电子的运动有关，在研究这些问题时，都要用到能带理论。能带理论成功地解释了金属、半导体和绝缘体之间的差别，解释了霍耳效应现象。半导体物理学就是建立在能带理论基础之上的。随着实验技术的发展，人们通过回旋共振、电光、磁光、

2、光谱等手段已成功地测定了许多晶体的电子能带结构。特别是近年来由于计算机技术的广泛应用，在理论上已可以对电子的能带结构进行更为精确的计算。尽管如此，由于能带理论毕竟是经过许多简化后的近似理论，所以其只适于有序晶体，并且即使对于有序晶体，当其结构较为复杂时，能带理论处理起来往往也显得有些困难。§2-1 晶体的薛定谔方程及其近似解一薛定谔方程。晶体由大量原子周期性排列构成，原子由原子核和核外电子组成。由于内层电子不参与晶体的物理过程，因此可认为晶体是由原子最外层电子和失去电子的离子组成的。若用表示电子的位矢、用表示失去电子的离子的位矢，则晶体定态薛定谔方程为： （2-1）式中为波函数，E为

3、能量本征值，是哈密顿算符，且： （2-2）式中 为全部电子的动能算符，m为电子质量，为第i个电子的拉普拉斯算符。 为全部离子的动能算符，为离子质量，为第个离子的拉普拉斯算符。 表示电子之间的相互作用能。 表示离子之间的相互作用能，分别为离子的电荷量。 表示电子-离子之间的相互作用能。 为所有电子和离子在外场中的势能。晶体中原子体密度约为，故上述方程不能严格求解，一般情况下采用单电子近似方法处理。二绝热近似与原子价近似法。1绝热近似：一般地，重粒子（如原子核）与轻粒子（如核外电子）平衡时其平均动能为同一个数量级。由于，故电子速度远大于核运动速度（约2个数量级），从而把晶体中电子的运动同原子核的运

4、动分开加以考虑近似地来说是可以的。这种简化是以原子的整体运动对电子运动的影响比较弱的假定为前提，就好像原子整体运动和电子运动之间不交换能量一样。通常称这种简化为绝热近似。进一步，如果再假设原子核固定不动，这时核坐标不再是变量，而是以的形式出现，表示晶格格点的坐标。这种情况下，核动能为零，而其相互作用能是常数，可选为零。此外，若不存在外场，则有。此时，晶体的薛定谔方程可简化为描述固定核场中的电子运动方程：+ = （2-3）2原子价近似：为进一步简化上述方程，采用了所谓的原子价近似。即：除了价电子外，所有电子都与其原子核形成固定的离子实。三单电子近似哈崔-福克方法：晶体中含有大量的电子，属多电子体

5、系，体系中的每个电子都要受其它电子的库仑作用。因此即使只研究电子运动的问题，也仍然十分复杂。目前，处理多电子问题的最有效方法是所谓的单电子近似法。即：把每个电子的运动分别地单独考虑。单电子近似法也称哈崔-福克法。在该方法中，为了近似地把每个电子的运动分开来处理，采用了适当的简化：在研究一个电子的运动时，其它电子在晶体各处对该电子的库仑作用，按照它们的几率分布，被平均地加以考虑。这种平均考虑是通过引入自洽电子场来完成的。如：对第i个电子，假定借助于外加势场，在任一时刻都能在该电子的位置上施加一个与其它电子的作用相同的势场，记为，则只与i电子的位矢有关，可记为，称自洽电子场。对所有其它电子都作相同

6、处理，则有 （2-4）假定已知，体系哈密顿算符则可写成 = （2-5）故对第i电子，哈密顿算符为： （2-6）式中，为i电子在所有离子场中的势能，为i电子在所有其它电子场中的势能。从而体系本征函数可表示为每个电子波函数的乘积，总能量为每个电子的能量之和： （2-7-1） （2-7-2）其中，和满足单电子的薛定谔方程： （2-8）这样通过引入自洽电子场概念就将多电子问题转化为单电子问题了。由于i电子可以是任何电子，故上述单电子方程可一般地表示为 （2-9）式中， ，这里，是单电子的动能算符，是它的势能算符，包含所有其它电子对它的平均库仑作用能和所有离子（原子实）对它的库仑作用能。对于具体的晶体，

7、只要写出势函数，原则上通过求解薛定谔方程就可找到一系列能量谱值E和相应的波函数。四原子轨道与晶格轨道：晶体中的电子有两种不同类型的单电子波函数，一种称原子轨道，另一种为晶格轨道。在原子轨道中，电子未摆脱原子的束缚，基本上绕原子运动，其波函数只在个别原子附近才有较大值。原子轨道适于晶体中的内电子。在晶格轨道中，电子除了绕每个原子运动外，还在原子之间转移，在整个晶体中作共有化运动，其波函数延展于整个晶体。晶格轨道对于外电子比较适合。通常关心的是晶体中的外电子，一般选择晶格轨道。另外，还认为原子都静止在其平衡位置。故外电子的势能应具有晶格的对称性，特别是周期性。五电子的状态分布：当找到了单个电子的所

8、有可能的能量谱值和运动状态后，如果还知道晶体中的大量电子在这些单电子态中的分布情况，则晶体中电子运动问题也就解决了。电子在状态中的分布问题属于量子统计问题。在热平衡情况下，电子在状态中的分布近似地由费米-狄拉克分布决定。在非平衡情况下也可以找到新的分布函数。§2-2 布洛赫定理晶体中单电子波动方程中的势函数具有晶格的微观对称性，特别是具有晶格的周期性。如一维周期性势场中电子势函数的形式如图2-1所示。 布洛赫定理：若具有晶格周期性，即，则晶体的薛定谔方程的解可以一般地写成下面的布洛赫函数形式 （2-10）其中，为具有晶格周期性的函数。即： 式中，称波矢量，为实数；为晶格矢量。布洛赫定

9、理的另一种常见形式为 （2-11）该式表明周期性势场中的电子波函数经过任意一个晶格矢量平移后，得到波函数，这两个波函数之间只差一模量为1的常数因子。总之，周期性场中电子波函数可一般地表示为一个平面波和一个周期性因子的乘积。平面波的波矢量就是实数矢量，可以用来标志电子的运动状态，不同代表不同状态。因此，同时也起着量子数作用。为了明确起见，以后在波函数和能量谱值（本征值）上附加一个指标，即： （2-12-1） （2-12-2）由上式可知，欲使电子波无阻尼地在整个晶体中传播，波矢只能取实数值。可以给波函数一个粗略解释：平面波因子与自由电子波函数相同，它描述电子在各原胞之间运动；周期性因子则描述电子在

10、单个原胞中的运动，因为它在各原胞之间只是周期性重复着。由于 这一结果表明，电子在各原胞中的相应点上，出现的几率相等。由于晶体中电子的动量算符与不可交换，其波函数不是单纯平面波，还有一个周期性因子。波矢与的乘积具有动量的量纲，对于周期性场中运动的电子，通常把称为电子的“准动量”，用表示：=。准动量也称晶格动量。§2-3 周期性边界条件（玻恩-卡门边界条件） 由布洛赫定理知，周期场中电子的波函数可以表示为一个平面波和一个周期性因子的乘积。当考虑到边界条件后，要受到限制，只能取断续值。实际晶体的大小总是有限的，电子在表面附近的原胞中所处的环境与内部原胞中的相应位置上的环境是不同的，因而周期

11、性被破坏，这给理论分析带来一定的不便。为了克服这一困难，通常采用玻恩-卡门周期性边界条件：假设一无限大晶体是由有限晶体周期性重复而生成的，并要求电子的运动情况以有限晶体为周期在空间周期性重复着。设想所考虑的有限晶体是一个平行六面体，沿方向有个原胞，方向有个原胞，方向有个原胞，总原胞数。根据周期性边界条件，要求沿方向波函数以为周期，即：令，由于，从而有： 为任意整数同理有： 为任意整数从而有： （2-13）即在周期性边界条件下，只能取断续值。从而与这些波矢相应的能量也只能取断续值。由（2-13）式决定的波矢，它们在倒空间的代表点都处在一些以为三条边的平行六面体的顶角上。在倒空间中，每个波矢的代表

12、点所占的体积为 (2-14)式中，V为整个有限晶体的体积。从而单位倒空间中的波矢数为，该值即为的代表点在倒空间中的分布密度。于是每个倒原胞中的的代表点数为 （2-15）即：在每个倒原胞中，的代表点数与晶体的总原胞数N相等。这是由周期性边界条件所导出的一个重要结论。每个波矢代表电子在晶体中的一个空间运动状态（量子态），从而波矢量在范围内的电子状态数为 （2-16）§2-4 能带及其一般特性 一能带：晶体中电子运动的波函数为布洛赫函数 给定一个，则平面波部分就确定下来了。为确定，需解波动方程 （2-17） （2-18）上式为所满足的微分方程，且有。对于给定的问题，是一定的，当给定后，微分

13、方程的形式便确定了。一般来说，对于这种性质的本征方程，可以有很多个分离的能量谱值： （2-19）将这些能量谱值分别代入微分方程，则可解出与其相应的函数： （2-20）这些函数乘上平面波因子就得到相应的波函数： （2-21）以上关系可简写为 （2-22）晶体中电子能谱值具有以下性质：1）， 即具有反演对称性。特别地，对一维情况，为偶函数。 2） 为倒格矢，。这是因为与的物理意义是等价的。因此，晶体中电子运动状态和相应的能量谱值需要用两个量子数n和标志。由于取分立值，故为准连续的能带，即与的变化关系为准连续的。指标n是能带的标号，不同的n，相应于不同的能带；是每个能带中不同状态和能级的标号，每个又

14、由倒空间中一个点来表示，该点就是把矢量的始点置于原点时，其末端所指的点子。对于每个能带而言，倒空间中的一点可代表一个单电子状态和能级，这样的点数目为N个。图2-2给出了一维情况下准自由电子的能带结构：。二能带的一般特性： 1）具有晶格的周期性： 2）具有倒格子的周期性：，为任一倒格矢 3）波函数也具有倒格子的周期性： 4）具有反演对称性： 5）具有晶体宏观点群对称性：，为晶体的任一宏观点群对称操作。这里代表经过转动或转反操作后所得到的另一个波矢量，与它们相应的能量谱值是相等的。应当注意，这里虽然与和相应的能量谱值相等，但波函数一般来说却是独立的。这意味着能带的对称性可以引起能级的简并，但只有那

15、些彼此相差一个倒格矢的和所对应的状态才是一致的。 彼此相差一个倒格矢的波矢量和（=+），标志相同的电子态，称它们是等价的；而彼此被点对称操作联系起来的波矢量和（=），它们对应的能量谱值相等，称它们是对称的。 6）在每个能带中，电子的空间波函数的数目共N个，N为晶体的总原胞数。考虑到电子自旋的两种可能取向后，每个能带的状态数等于晶体原胞总数的两倍，为2N个。 7）由能带的对称性可以推断，能带的极值在倒空间是对称分布的，其波矢之间被对称操作联系着。在倒空间中由能量相等的代表点所组成的曲面称等能面，能量极小值出现的位置称能谷。由可见，在晶体的宏观点对称操作下，倒空间的等能面是彼此重合的。例如：硅的导

16、带极小值附近的等能面为旋转椭球面，如图2-3所示，其具有立方体的点群对称性，因此具有6个彼此对称的能谷。例题1：一个二维晶体的布拉伐格子是二维正方格子，晶格原基矢为，每个格点分布一个原子，a为晶格常数。设晶体中共有个原子，试导出描述晶体中电子态的波矢所可能有的数目，并回答对于一个给定的能带，独立的状态有多少个？解：由题设有：。一个的代表点在倒空间中所占的面积为 一个倒原胞的面积为，故在一个倒原胞中可能的值数为，即可能有的状态数为。对于一个给定的能带，考虑了电子的自旋后，独立的状态数有2。例题2：对于上题，假设N1=3，N2=4，试在倒空间中指出独立的波矢的代表点的位置。解：由题设有， 共12个

17、，如图2-4所示。 §2-5 布里渊区 一布里渊区。能带在倒空间的变化具有一定的对称性，对于那些被晶体宏观点群对称操作联系起来的波矢量，与它们相对应的能量谱值都相等。倒原胞可以用来分析晶体能带的周期性，但用来讨论能带的对称性不合适。因为在倒空间中，被对称操作联系起来的的代表点一般不在同一个倒原胞中。因此有必要用新的方法把倒空间划分成一些既有周期性又有对称性的重复单元布里渊区。 1布里渊区划分法。在倒空间中作原点与所有倒格点之间连线的中垂面。这些平面便把倒空间划分成一些区域，其中距离原点最近的一个区域称第一布里渊区，距原点次最近的若干个区域组成第二布里渊区。以此类推，得到第三、第四布里

18、渊区。也可以说，在原点附近由分界面所围成的区域为第一布里渊区，从原点出发穿过一个分界面进入的区域为第二布里渊区，穿过第(n-1)个分界面后进入的区域为第n布里渊区。布里渊区边界上的代表点都位于倒格矢的中垂面上并满足平面方程： 或 （2-23） 2布里渊区的特性。 1）每个布里渊区的体积相等且均等于一个倒原胞的体积； 2）每个布里渊区的各部分在经过平移适当的倒格矢后，可使其与另一个布里渊区重合； 3）每个布里渊区都以原点为中心对称分布着，且具有正格子和倒格子的点群对称性。 3简约布里渊区。为了寻找每个能带中的独立状态，只要把限制在一个布里渊区中变动就可以了。而第一布里渊区用起来最方便，通常称其为

19、简约布里渊区。二举例。 1二维正方格子。晶格原基矢：，a为晶格常数倒基矢：倒格矢： 中垂线上满足方程： ， ，从而有：=第一布里渊区由的中垂线围成。即：和，由此得的直线围成了第一布里渊区。第二布里渊区由和的中垂线围成。如图2-6所示。第三和第四布里渊区同学自画。 2面心立方格子。取如图所示的坐标系，则 距原点最近的倒格矢为 ，共八个。 设 由 = =得最近倒格矢的中垂面方程为 ，共八个面。距原点次最近倒格矢为 共六个。次最近倒格矢的中垂面方程为 ， 共六个面。面心立方格子的倒格子为体心立方格子，其第一布里渊区为由上述的14个面围成的截角八面体。如图2-8所示。 金刚石和闪锌矿结构的布拉伐格子均

20、为面心立方格子，其倒格子为体心立方格子，故其第一布里渊区均为截角八面体。其主要的对称点、对称轴和对称面的位置有： *布里渊区中心，坐标为（0 0 0） *六个对称的1 0 0轴，*八个对称的1 1 1轴， *十二个对称的1 1 0轴， *1 0 0轴与布里渊区边界的交点，X，坐标为，共6个 *1 1 1轴与布里渊区边界的交点，L，坐标为，共8个 *1 1 0轴与布里渊区边界的交点，K，坐标为，共12个 *两类分界面交线上的中点，U，坐标为，共24个在6个X点中，不等价的有3个；8个L点中，不等价的有4个；12个K点，每个都和2个U点等价，它们彼此相差一个倒格矢，不等价的只有12个。§

21、2-6 电子的平均速度和加速度 单电子近似下，电子彼此独立地在一周期性势场中运动，满足波动方程 其中 ，1电子的平均速度。在量子力学中，电子的速度算符为 （2-24）速度算符与能量算符不可交换。在晶体中运动的电子，当其处于某一稳定状态时，能量有确定值，速度和动量不能确定，只有平均速度和平均动量才有意义。在态中，电子的平均速度为 （2-25）一般地，计算，需知。对于周期场中的电子，将的表示式带入上式，容易推导出 （2-26）（见刘文明半导体物理，489页）式中，表示能量对波矢的梯度。2宏观电流密度。根据量子力学原理，处于状态中的电子，在处所引起的电流密度为 （2-27）这个电子在宏观范围内所引起

22、的电流密度可以用其在晶体中各处的电流密度的平均值表示为 ，V为晶体体积。由于是厄米算符（厄米算符性质：），从而有 = = = （2-28）若把电子当作在晶体中以电荷密度为-e/V而均匀分布的电子云看待，并且这些电子云以电子的平均速度运动。这样一来，一个电子对宏观电流密度贡献的表示式就与经典电流密度公式一致。是一个波矢为的电子对宏观电流密度的贡献。在倒空间中，的代表点均匀分布，密度为。考虑电子自旋的两种取向后，在范围内的状态数为。若一个状态被电子占据的几率为f，则内的电子数为。于是，各状态中电子所引起的总电流密度为 （2-29）3电子的加速度和有效质量。晶体中的宏观电流，总是由外加电场和磁场引起

23、的。当有宏观电流时，晶体中必有外场。晶体中电子在外场力作用下的加速度可表示为 (2-30)式中，外场力 。将（2-30）式与牛顿第二定律比较，只要定义 （2-31）则在形式上，（2-30）式与牛顿第二定律是一致的。这里将由（2-31）式定义的量称有效质量倒数张量。因此，（3-14）式也可写为 = （2-32）式中，m称有效质量，也为张量。（2-32）式说明，晶体中电子的加速度同外力之间的关系，在形式上与牛顿第二定律类似，差别只在于要用电子的有效质量代替惯性质量。之所以如此，是因为晶体中的电子除了受外力作用外，还要受晶体内部的周期性势场的作用，而有效质量就是表达这部分作用的。例：假如所讨论的是能

24、带极小值附近的电子，而且在极小值处，能带是非简并的，既没有两个以上的能带在这里发生重叠。设极小值处波矢为，此时由泰勒展开有若令 则 于是，平均速度 = =有效质量倒数张量 = =加速度 = =§2-7 金属、半导体和绝缘体能带理论成功之处的很重要方面在于它能说明为什么有些元素结合成晶体后，形成良导体，而另一些则形成半导体或绝缘体。导体和绝缘体的物理性质差别非常显著，如在1K温度下，良导体（不包括超导体）的电阻率可低至约，而好的绝缘体的电阻率可高达。金属一般为导体，电导率随温度升高而下降；半导体导电性能较差，电导率随温度升高迅速增加；绝缘体导电性能最差，基本上不导电。利用能带理论可很好

25、地解释它们之间的这些差别。1满带与部分填充的能带。晶体中一个电子对电流密度的贡献为，总电流密度为。由于，故对于处于状态的一对电子而言，它们的速度大小相等，方向相反。因为根据电子平均速度公式有 1）无外场时，电子处于热平衡状态，分布函数f只是能量E的函数，波矢量为的状态，对应的能量相等，因此被电子占据的几率相等。在这一对状态中的电子的速度大小相等，方向相反，故对电流的贡献相互抵消。此时晶体中无电流流动，如图2-9所示。 2）有电场时， a对于满带情况：在电场作用下，电子在布里渊区中的变动如图2-10所示，态同时有电子占据，故对电流的贡献为零。 b对于部分填充情况：此时波矢与电场相反的状态上的电子

26、多，与电场相同的状态上的电子少，或者说与方向相反的电子多，与方向相同的电子少。电子带负电荷，结果使晶体中存在一个净的沿电场方向的电流。2金属、半导体和绝缘体。半导体、绝缘体与金属的区别，关键在于绝对零度时是否有部分填充的不满能带存在。判定晶体是半导体或绝缘体的两个基本条件是：1）电子足够填充整数个能带。如果晶体共有N个原胞，考虑电子的两种取向，每个能带可容纳2N个电子，晶体中总电子数为每个原胞中的电子数乘以原胞数，故该条件可用下面公式表示 即每个原胞中的电子数应为偶数。2）被电子所占据的最高能带同更高能带之间有一能量禁区-禁带存在，不发生能带重叠。如果这一条件不满足，电子则可以填充到彼此重叠的

27、能带中，使它们都不能充满。以上两条件中有一条不被满足，即可能为金属。半导体与绝缘体之间的差别，仅在于前者禁带宽度较窄，一般小于3eV。以上讨论对于大多数晶体都适用，但对于一些过渡金属氧化物不适用。例如，CoO（氧化钴）是一种半导体材料而不是金属。虽然氧化钴的每个原胞中的电子数为奇数，但在这样的材料中涉及到被原子束缚较紧的d电子运动，不能简单地把单电子近似和共有化运动模型应用到这种情况。这说明能带理论是有局限性的。§2-8 电子、空穴和载流子对于半导体和绝缘体而言，当温度从绝对零度升高后，实际上总会有少数的电子，由于热激发，由最高满带跳到邻近的空带中去。这时原来空着的邻近能带中也有了少

28、数电子，它们可以导电。通常称这种最高满带之上的最低空带为导带；原来被充满的最高能带，现在也出现了空状态，电子有了活动的余地，也能导电了。这种最高的满带，由于它们是形成化学键的价电子所占据的能带，所以通常称为价带。在价带中出现的空状态称为空穴。导带中的电子和价带中的空穴都能传导电流，故将其统称为载流子。1空穴。热激发使价带电子中的一部分跳到导带，形成空状态。为了分析问题方便，相应于价带中的空状态，引入一个假想的粒子，并称之为空穴。2空穴电流。满带中的一个空状态所引起的电流密度，即一个空穴的电流密度，同一个相应状态的电子引起的电流密度大小相等，方向相反。若设空穴电流密度为，则有 （2-33）其中，

29、为电子的电流密度。从而空穴电流密度为 （2-34）这相当于空穴携带电荷(+e)，而且以与状态相对应的电子速度运动。即若设空穴的平均速度为，则有 （2-35）3空穴加速度。当有外电场时，电子在倒空间的变动速度 加速度 由于电子具有占据低能状态的趋势，所以空状态都在满带顶附近。下面考虑价带顶附近等能面为球面的情况。此时 （2-36）式中，Ev是价带顶能量，me是电子的有效质量。由于Ev是价带的最大能量值，该点处的二级微商小于零，从而有me小于零。令mh=-me，称空穴有效质量，则有 （2-37） （2-38） 4空穴能量。例题3：硅的导带极小值在布里渊区内部沿100轴的六个对称位置上，在每个极小值

30、附近，等能面为绕主轴旋转的椭球面，三个主轴方向的电子有效质量分别为m1, m2和m3，其中m2=m3。设导带的电子平均分布在六个能谷中，试证明：在电场的作用下，电子的平均加速度证：如图所示，在轴方向上的能量椭球的长轴（旋转轴）与轴一致，在此轴上电子的加速度可表示为 同理在和轴上电子的加速度分别为 从而电子的平均加速度为 证毕§2-9 状态密度 前面已讲过，在倒空间中的代表点均匀分布，密度为。考虑电子自旋的两种取向后，在的倒空间体积元内状态数为。下面进一步考虑能量在一定范围内的电子状态数。对半导体来说，导带电子一般都集中在导带底附近的状态中，价带空穴都集中在价带顶附近的状态中。故只需要

31、考虑导带底和价带顶附近的情况。一 导带状态密度 设想导带有M个彼此对称的能谷，在每个能谷处，能量作为的函数可表示为 （2-39）式中，为导带底能量，（i=1，2，3）为导带底附近的波矢与导带底处波矢的坐标分量之差。在空间中，由能量相等的波矢所构成的曲面称等能面。因此，（2-39）式表示，在半导体的导带底附近，等能面为椭球面。椭球中心在能量极小处，相应的能量为导带底Ec。式中的m1，m2和m3为沿椭球主轴方向上的有效质量分量。椭球的三个半轴长分别为 ，和对于那些能量在Ec到E范围内的电子态，其波矢都在该椭球里面。从而在M个能谷附近能量在Ec到E范围内的电子态数目为 = （2-40）式中，M是能谷

32、数，是倒空间单位体积中的状态数，其余因子是能量椭球的体积。将（2-40）式对能量取微分，并除以晶体体积V，便得到在单位晶体体积中，能量在E到E+dE范围内的电子态数 （2-41）式中，Nc(E)即为电子的状态密度，它表示单位体积晶体中，单位能量间隔内的电子态数。若令 （2-42）则Nc(E)可表示为 （2-43）mdn称导带电子状态密度有效质量。（2-43）式与自由电子的状态密度表示式类似，只是这里用电子状态密度有效质量mdn代替了电子的惯性质量。 如果导带极小值发生在布里渊区中心（GaAs等一些直接带隙半导体材料常常属于这种情况），则导带只能有一个能谷，M=1。对于立方晶系材料，根据能带的对

33、称性，在处的能谷附近，等能面为球面。既有 （2-44）在式（2-39）中，只需令m1=m2=m3=m*和M=1，便可直接得到球形等能面的状态密度 （2-45） 二价带状态密度NV(E) 一些主要的半导体材料，其价带顶都位于布里渊区中心。考虑自旋-轨道耦合作用后，有两个能带（重空穴带和轻空穴带）在处相接触，等能面是扭曲的，但可近似地用球面表示，即有 ，和 （2-46）式中，mh和ml分别是重空穴和轻空穴的有效质量。若用NV（E）表示价带顶附近的状态密度，则其应为两个能带所引起的状态密度之和。利用与前面类似的推导方法，容易得到 + （2-47）若令，称价带空穴状态密度有效质量，则（2-47）可简化

34、为 （2-48）图2-11画出了状态密度与能量的关系曲线。 例题4：设导带底的电子有效质量倒数张量可表示为如下形式试求出导带底附近的能量谱（EK关系式）和有效值量张量。解：（1）导带底附近能谱可表示为 其中， 从而有（1/m）xx=axx，（1/m）yy=ayy，（1/m）zz=azz，（1/m）yz=（1/m）zy =ayz，（1/m）xy=（1/m）xz=（1/m）yx=（1/m）zx=0（2）有效质量张量应满足：ma=I即 例题5：有一薄层晶体样品，其长、宽、厚分别为Lx、Ly和Lz，且LzLx,Ly。样品中的电子可被认为在一势阱中运动，其能量谱值为 其中 试分析能量谱值分布的特点,求出

35、电子的状态密度g(E)并画出g(E)E关系图。解：由和 由于电子在z方向运动受限，假设为无限深势阱，则有其解为： 由边界条件z=0和z=Lz时，3=01) 先求二维情况电子状态密度。此时由 即等能线为半径的圆由于倒空间中，单位面积的状态数为, LxLy=S 故在以k为半径的园面积上的状态数为 从而在能量间隔内的状态数为=，从而单位能量间隔的状态数为：与E无关。2）再讨论三维情况。此时kz只能取断续值/Lz, 2/Lz, 3/Lz, n/Lz=/a，共n个值。n为z方向的原胞数，a为晶格常数。从而在倒空间中的体状态密度为面密度乘以n，即g(E)=ng(E)= n=2) g(E)E关系图，图中=*

36、也可按以下方法求出三维状态密度.即：倒空间三维状态数应等于二维状态数乘以第三维的一维状态数，因此，由 ，有，由于一维情况下，状态的线密度为2Lz /2=Lz/，从而在kz长度上的状态数为，故三维状态密度为=，与前面所得结果一样。§2-10 回旋共振物质由于磁场作用而引起对电磁波的选择性吸收现象统称为磁性共振。磁性共振分顺磁共振、逆磁共振和铁磁共振。回旋共振是一种逆磁共振，磁场引起的磁化强度（磁矩）与磁场的方向相反。本节中采用半经典方法讨论半导体中载流子的回旋共振及其在能带结构研究中的应用。1 一般介绍当半导体样品放于均匀磁场中时，导带电子和价带空穴由于受洛仑兹力的作用而绕磁场作螺旋运

37、动，转动角频率 （2-49）式中，e为电子电荷，为磁感应强度，m*为载流子回旋共振有效质量。对于电子，上式等号右边取+号；对于空穴，则取-号。因此，不论是电子还是空穴，磁矩均与磁场方向相反，产生逆磁性，见图2-12。如果除了稳恒磁场外，再施加一交变电磁场，其电场分量处在垂直于磁场的平面内。则载流子一方面绕磁场做螺旋运动，另一方面又要受到交变电磁场的作用。当载流子绕磁场的转动频率与电磁场的交变频率相同时，就会被交变电磁场不断地加速，从而获得能量，引起共振吸收。这一效应与回旋加速器对电子的加速作用十分相似，通常称载流子的这种逆磁共振现象为回旋共振。回旋共振是研究半导体能带结构的最直接和最有效的一种

38、方法。2非简并化情况通常情况下，半导体导带底的电子能带不发生重叠，是非简并的。因此在导带底附近有 （2-50） （2-51）在磁场中，电子受洛仑兹力作用，产生加速度 = （2-52）由于 = = （2-53） = （2-54-1） = （2-54-2） = （2-54-3） （2-55-1） （2-55-2） （2-55-3） （2-56-1） （2-56-2） （2-56-3）对于频率为的周期性运动，取均正比于并将其代入上述方程，则有 （2-57-1） （2-57-2） （2-57-3）欲使上述三元一次方程组有不完全为零的解，其系数行列式必为零，即 （2-58） 从而，得到的两个允许值，分别

39、为 （2-59-1）和 （2-59-2）*讨论：1） 对于有： ，这表示平行于磁场的匀速运动。2） 则代表电子绕磁场的旋转运动。由于运动方程是线性齐次的，因此在一般情况下，电子的运动应该是以上两种运动的叠加，即绕磁场的螺旋运动，转动角频率由式（2-59-2）式决定。又由于，分别为与能量椭球的三个主轴间的夹角，见图2-13。故有： （2-60）引入， ，则有 （2-61）式中，m*称电子回旋共振有效质量，为磁场与能量椭球三个主轴间的方向余弦，因此有 （2-62）下面以n型Ge为例讨论电子回旋共振问题。Ge的能量极小值发生在布里渊区沿111轴及与其对称的八个方向上，等能面为以这些轴为转轴的旋转椭球面。若取m