D3_5极值与最值

1、上节内容小结上节内容小结1. 可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上的凹凸分界点机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极值与 最大值最小值 第三三章 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0

2、x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小值极小值 点点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .极大值与极小值统称为极值极值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 (

3、P147例例4)1x为极大值点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小值点 , 12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ).f xx例例oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x25(),()f xf x为函数的极大值，为函数的极大值，146( ),(),()f xf xf x为为函数的极小值，函数的极小值，3()f x不是极值不是极值.定理定理1 1( (必要条件必要条件) ) 设函数设函数( )f x在在0 x处可导处可导,处取得极值处取得极值, 那么那么0 x且在且在0()0.fx(由费马引理可证)注注:可导函数的极值点必定是它的驻点, 但驻点却不一

4、定是极值点.3( ).f xx例例定理定理 2 (第一充分条件第一充分条件),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) )(xf 符号不改变符号不改变 , 则则( )f x在没有极值在没有极值.0 xxyo0 xxyo0 x求极值的步骤求极值的步骤: :(1)( );fx求导数(4).求极值(不是极值点情形不是极值点情形)(2) 求出 的全部驻点与不可导点； f x(3)考察 的符

5、号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是( )fx极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；解解23( )(4) (1).f xxx求出函数的极值35(1)( );31xfxx( )0fx令，1;x 得驻点(1)f极小值33 4. ( 1)f 极大值0,1x 为 的不可导点； f x(, 1) ( )0;fx在在内，内，( 1,1)( )0.fx在在内，内，故不故不可导点 是一极大值点；1x (1,)( )0;fx又在又在内，内，故驻点 是一极小值点；1x 在 内连续， f x(,) 例例1. 定理定理3 (第二充分条件第二充分条件)二阶导数 , 且处具有在点设

6、函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一充分条件知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xx

7、xf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 极值的判别法( 定理1 定理2 ) 都是充分的. 说明说明:当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .例如例如:)(xf, )sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值 ,但不满足定理1 定理2 的条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 12 (2sin)0,xx1cosx

8、在1和1之间振荡11( )2 (2sin)cosfxxxx 二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到

9、.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在 上的最上的最例例3求函数求函数 232fxxx3,4大值与最小值大值与最小值.解解1,2x 3,12,4 ,x 2232,32,xxf xxx23,( )23,xfxx3,12,4 ,x 1,2 .x320,f 内内，的驻点为的驻点为3,4 f x3;2x 在在1,2.x 不可导点为不可导点为由于由于 10,f31,24f 20,f 46,f比较可得比较可得 f x在在3x 处取得它在处取得它在3,4上的最大值上的

10、最大值20，在，在 处取得它在处取得它在 上的最小值上的最小值0.1,2x 3,4( k 为某一常数 )例例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20AB100C解解: 设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小值点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物

11、从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小值点 ,问DKm ,公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd261hbw, )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 从一块半径为从一块半径为 的圆铁皮上挖去一个扇形的圆铁皮上挖去一个扇形做成一个漏斗。问留下

12、的扇形的中心角做成一个漏斗。问留下的扇形的中心角 取多取多大时，做成的漏斗的容积最大？大时，做成的漏斗的容积最大？RR解解 设漏斗高为设漏斗高为 ，h顶面圆半径为顶面圆半径为 ，r则则21,3Vr h222,.rRhRr故故324624,(02 )24RV 令令0,V 得得2 6.3清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于x4 . 18 . 1解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2

13、 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得驻点),0(4 . 2x根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2

14、cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,0 xx 若函数若函数 满足满足32yaxbxcxd条件条件230,bac则函数有无极值？则函数有无极值？4.232yaxbxc 提示提示:22(2 )4 34(3)0,ba cbac 试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f习题习题 1.,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx0求出该极值, 并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的在 1