广义积分二元函数ppt课件

1、=0=0u vuvv u d dd d解解计算计算00cos(sin )xx xxx d dd dd d0cos.xx x 0cosx 00sinsinxxx x d d2 . 反常积分无穷限的反常积分，无穷限的反常积分，d dsin x x 0 , 本节研究无穷限反常积分本节研究无穷限反常积分.dddddd( ),( ),( ).baf xxf xxf xx 设设函函数数在在无无穷穷区区间间上上有有定定义义 且且在在任任何何有有限限区区间间上上可可积积 如如果果存存在在极极限限( ) ,), ,f xaa A 则则称称此此极极限限 为为函函数数在在上上的的简简称称无无穷穷限限积积分分记记作作

2、 d d 并并称称d d否否则则称称d d 发发散散无无穷穷限限反反常常积积分分收收敛敛( ) ,),( ),( ).( ).aaaJf xaJf xxf xxf xx 无穷限反常积分的定义无穷限反常积分的定义d d( )?af xx d dlim( ),AaAf xxJ dddd( )lim( ).AaaAf xxf xx 类类似似地地, ,可可定定义义函函数数在在无无限限区区间间及及上上的的无无穷穷限限积积分分( )(, (,):f xb dddd( )lim( ).AaaAf xxf xx d d( )bf xx d d( ),bBf xx limBd d( )f xx 积分区间的可积分

3、区间的可加性加性dddd( )( )aaf xxf xx a任任意意取取右侧两个积分都收敛时，称右侧两个积分都收敛时，称d d 收收敛敛 ，( )f xx 否则，只要有一个发散，就称否则，只要有一个发散，就称d d 发发散散. .( )f xx 无穷限积分的几何意义 a若若d d 收收敛敛的的几几何何意意义义 曲曲线线直直线线与与 轴轴之之间间向向右右无无限限延延伸伸的的阴阴影影区区域域有有面面积积, ,并并以以d d 极极限限的的值值作作为为它它的的面面积积( )0, ,),( ):( ),lim( ).aAaAf xxaf xxyf xxaxf xx d d例例 计计算算211.xx d

4、dd d2211limAAxxxx 11lim ()AAx 1lim (1)AA 1 . 解解d dd d( )lim( )AaaAf xxf xx 举例d d例例 计计算算211.xx 1d d面面积积211 .xx d d例例 讨讨论论积积分分的的敛敛散散性性22.1xx 解解dddd0022lim11BBxxxx d dd dd d02220,111xxxxxx 0lim arctanBBx arctan0lim arctanBx 0()2 ,2 d dd d2200lim11AAxxxx 0lim arctanAAx lim arctanarctan0Ax,2 d dd dd d022

5、20111xxxxxx 22. d d例例 讨讨论论积积分分的的敛敛散散性性22.1xx d d面面积积2.1xx 二元函数 主要内容:一、二元函数的概念二、二元函数的极限例例1 1hbb( , )0,0,Db h bh()0.f DV V 设设( , )Vf b h bho解解2,b h 体积取决于底面边长和高两体积取决于底面边长和高两个变量的共同作用个变量的共同作用. . 设设有有一一个个长长方方体体，高高为为底底边边为为 的的正正方方形形，其其体体积积为为每每给给定定一一对对数数值值，都都有有唯唯一一确确定定的的值值 与与之之对对应应2,(0,0).( , ).hbVb h bhb hV

6、二元函数的概念二元函数的定义二元函数的定义设设在在某某一一变变化化过过程程中中，有有三三个个变变量量和和的的变变化化范范围围记记作作如如果果对对于于 中中任任意意一一组组值值按按照照一一定定的的对对应应法法则则变变量量 有有唯唯一一的的值值与与之之对对应应，则则称称 是是的的，记记二二元元函函数数自自变变量量因因作作其其中中称称为为， 称称为为， 称称为为该该函函数数的的变变量量定定义义域域,.,., ,( , ).,.x yz x yDDx yfzzx yzf x yx yzD 区域：区域：所有有序数组所有有序数组(x , y)(x , y)构成的集合构成的集合. . 区域是由一条或几条曲线

7、所包围的平面上的区域是由一条或几条曲线所包围的平面上的部分，包围区域的曲线称为该区域的边界部分，包围区域的曲线称为该区域的边界. .边境：一条边境：一条曲线组成曲线组成边境：边境：几条曲几条曲线组成线组成例例1 1求求函函数数的的定定义义域域ln().zxy 解解所求定义域为所求定义域为( , )|0.Dx yxyxyo0 xy二、二元函数的极限点点 的的 邻邻域域00(, )xU x 0 xxx 0 x 0 x 0 x2 回忆一元函数中邻域的概念：回忆一元函数中邻域的概念：到点到点x0 x0的距离小的距离小于于的全体实数的全体实数组成的集合组成的集合. .二元函数中的邻域：二元函数中的邻域：

8、到点到点 的距离小于的距离小于的全体的全体 组成的集组成的集合合. .0 x实实数数点点0P邻域的定义邻域的定义 设设是是平平面面上上一一点点， 是是正正实实数数，我我们们把把平平面面上上满满足足条条件件的的点点的的集集合合叫叫做做点点 的的 邻邻域域000220000(,)()()( , ).P xyPPxxyyP x yP Oxy0P 二元函数的极限二元函数的极限说明：说明：定定义义中中的的方方式式是是任任意意的的；0(1)PP设设函函数数在在点点的的邻邻域域内内有有定定义义（点点可可以以除除外外） 如如果果当当无无限限趋趋近近时时，函函数数无无限限趋趋近近于于一一个个常常数数 ，则则称称

9、当当时时，以以为为极极定定义义 限限，记记作作或或00000000000000000( , )(,)(,).( , )(,)( , )( , )(,)( , )lim( , ),( , )( ( , )(,).xxyyzf x yP xyP xyP x yP xyf x yAP x yP xyf x yAf x yAf x yAP x yP xy 讨讨论论二二元元函函数数当当时时是是否否存存在在极极限限22( , )1,( , )(0,0).f x yxyx y例例2 2解解00lim( , )xyf x y 2200lim(1)xyxy0011.无论以何种路径趋无论以何种路径趋于于(0,0)

10、点，极限都是点，极限都是1.即汇集到即汇集到(0,0,1)点点.(0,0,1)确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：例例3 3 讨讨论论二二元元函函数数当当时时是是否否存存在在极极限限22( , ),( , )(0,0).xyf x yxyx y 解解00lim( , )xyf x y1,2 故二元函数故二元函数f(x,y)f(x,y)在在(0,0)(0,0)的极限不存的极限不存在在220limxyxxyxy 当当沿沿直直线线的的路路径径趋趋于于时时，( , )(0,0)x yyx 00lim( , )xyf x y22201lim.2xxxx 220limxyxxyxy 又又当当沿沿抛

11、抛物物线线线线的的路路径径趋趋于于时时，( , )(0,0)x yyx 2220limxxxx 不同的路不同的路径，极限径，极限值不同值不同yx yx 例例3 3讨讨论论二二元元函函数数当当时时是是否否存存在在极极限限22( , ),( , )(0,0).xyf x yx yxy 沿着沿着y =x趋于趋于(0,0),极限为极限为0.5沿着沿着y = x趋于趋于(0,0),极限为极限为0.5 偏导数及其运算 如如果果函函数数在在定定义义域域内内每每一一点点处处对对或或 的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是 、 的的函函数数，称称其其为为函函数数对对自自变变量量或或

12、的的偏偏导导函函数数，记记作作， ，或或( , )( , )()( , )()( , )(,( , ) .xyzf x yx yxyxyzf x yxyzfzffx yfx yxxyy 也简称偏导数也简称偏导数有关偏导数的说明：有关偏导数的说明：xf 把把 暂暂时时看看作作常常量量, ,而而对对 求求导导数数yxyf 把把 暂暂时时看看作作常常量量, ,而而对对 求求导导数数xyxxyy例例求求函函数数的的偏偏导导数数. .21sin2zxy 提示与分析提示与分析: 分别将分别将x,yx,y暂时看作常数，用一元函数暂时看作常数，用一元函数求导法则，求偏导数求导法则，求偏导数. .解解zx 将将

13、y看作常看作常数数2(sin2 )xyx 2 sin2 ,xy 幂函幂函数的数的求导求导zy 2(sin2 )xyy 22cos2xy正弦正弦函数函数求导求导22cos2 .xy 将将x看作常数看作常数sin2y2()x 例例已已知知求求2sin(),.zzzxxyxy 解解zx 将将y看作常看作常数数 sin()xxyx sin()cos(),xyxxy 乘积的求导法则乘积的求导法则zy sin()xxyy cos().xxy正弦正弦函数函数求导求导将将x看作常数看作常数练习题证证明明极极限限不不存存在在. .00limxyxyxy 1 1提示与分析提示与分析: :证证当当沿沿着着直直线线趋

14、趋于于时时，0( , )0.9(0,0)P x yyxP 取两个不同的路径，得到不同的极限取两个不同的路径，得到不同的极限. .00limxyxyxy 00.90.9lim0.9yxxxxxx 19, 当当沿沿着着直直线线趋趋于于时时，0( , )(0,0)P x yyxP 00limxyxyxy 0limyxxxxxx 0, 不同的路径不同的路径极限值不同极限值不同综综上上，极极限限不不存存在在. .00limxyxyxy 证证明明极极限限不不存存在在. .00limxyxyxy 1 1沿着沿着y=-x趋于趋于(0,0),极限为极限为0沿着沿着y=0.9x趋于趋于(0,0),极限为极限为19.yxyzx求求函函数数e e