数学-辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高三上学期10月月考试题和答案

2023—2024学年度上学期高三年级10月月考试题数学一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有2.下列函数中，是偶函数且在(0,+父)上单调递减的是()A.f(x)=x2-|x|B.f(x)=C.f(x)=e|x|D.f(x)=|lnx|A-B.-C.D.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为A.228里B.192里C.126里D.63里5.已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x)，当x=[-3,0)时，f(x)=2x+sin，则f(2023)=()A.-B.-C.D.-+424442(5π)(5π)AπBπCπDπ7.若函数f(x)=lg(1-ax)在区间(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围为()8.给定函数f(x)=(x+1)ex-a(a=R)，若函数f(x)恰有两个零点，则a的取值范围是()第2页/共5页2.2二、多项选择题本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，有选错的得0分，部分9.下列命题中正确的是()222C.已知函数f(2x+1)的定义域为[_1,1]，则函数f(x)的定义域为[_1,3]D.若函数f(_1)=x_3,则f(x)=x2_x_2(x之_1)10.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()2，则ΔABC一定是钝角三角形C.若acosA=bcosB，则ΔABCD.若ΔABC为锐角三角形，则sinA>A.﹣12B.﹣8C.﹣2D.012.已知函数f(x)=exsinx，则下列结论正确的是()A.f(x)是周期为2π的奇函数B.f(x)在(|（_,上为C.f(x)在(_10π,10π)内有20个极值点D.f(x)之ax在0,上恒成立的充要条件是a<114.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和．若_=2000，则数列{an}的公差d＝______.第3页/共5页1315.在平面直角坐标系中，已知点P(3,4)为角C终边上一点，若cos(α+β13cosβ=.βE(0,π)，则{an}的前60项和为.四、解答题满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答（2）将f(x)的图象向上平移1个单位，再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变得到函数g(x)的图象，在‘ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g(A)=,a=2,求‘ABC面积的最大值.（1）求数列{an}的通项公式；（1）若k=1，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；20.如图，‘ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，‘ABC外一点D（D与‘ABC在同一平面 （1）求B；（2）若‘ABC的面积为2，求线段AD的长.第4页/共5页21.已知数列{an}中an>0，其前n项和为Sn，且对任意ne**，都有(an22.已知函数f(x)=3x-+blnx.（1）当b=-4时，求函数f(x)的极小值；]上，使得4x--f(x)<-成立，求b的取值范围.第1页/共21页2023—2024学年度上学期高三年级10月月考试题数学一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有【答案】A【解析】【分析】由题设知B坚A，讨论a+2=3、a+2=a2求a值，结合集合的性质确定a值即可.2=1，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若a=-1，则a2=1，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；故选：A2.下列函数中，是偶函数且在(0,+伪)上单调递减的是()A.f(x)=x2-|x|B.f(x)=C.f(x)=e|x|D.f(x)=|lnx|【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A，由题意可知f(x)的定义域为R,f(-x)=(-x)2--x=x2-x=f(x)，所以f(x)是偶函数且在(0,+伪)上不是单调递减，不符合题意；故A错误；对于B，由题意可知f(x)的定义域为R,f(-x)==调递减，符合题意；故B正确；=f(x)，所以f(x)是偶函数且在(0,+伪)上单第2页/共21页对于C，由题意可知f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x=ex=f(x)，所以f(x)是偶函数且在(0,+伪)上单调递增；不符合题意；故C错误；对于D，f(x)=|lnx|的定义域为(0,+伪)，不是偶函数，不符合题意；故D错误；故选：B.A.-B.-C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【详解】如图所示，因为=3，由向量的线性运算法则,----------因为BM=λBA+μBC----------故选：D.,μ=，所以μ-λ=.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为A.228里B.192里C.126里D.63里【答案】B【解析】【分析】应用等比数列的求和公式可得答案.【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为{an}，其前n项和为Sn，第3页/共21页故选：B.5.已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x)，当xe[-3,0)时，f(x)=2x+sin，则f(2023)=()A.-B.-C.D.-+424442【答案】D【解析】【分析】由题意可得f(x)是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解.【详解】因为f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，所以f(x)是以6为周期的函数，故选：D.(5π)(5π)A.πB.πC.πD.π【答案】D【解析】【分析】先由相邻对称轴间的距离判断出最小正周期，由此得到负=6，再结合正弦函数的对称性运算即可.第4页/共21页且D)在区间(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围为()【答案】C【解析】【分析】利用复合函数的单调性结合函数定义域，求实数a的取值范围【详解】函数f(x)=lg(1一ax)在区间(0,1)上单调递减，由函数y=lgu在定义域内单调递增，则函数u=1ax在区间(0,1)上单调递减，且1ax>0恒成立，可得0<a<1.故选：C.8.给定函数f(x)=(x+1)ex一a(aeR)，若函数f(x)恰有两个零点，则a的取值范围是()C.1e【答案】C【解析】【分析】由函数与方程的思想将函数f(x)恰有两个零点转化成函数g(x)=(x+1)ex与函数y=a图象有【详解】若函数f(x)恰有两个零点，即方程(x+1)ex=a有两个不相等的实数根，即函数g(x)=(x+1)ex与函数y=a图象有两个交点，xx，第5页/共21页在同一坐标系下分别画出两函数图象，如下图所示：由图可知当-<a<0时，函数g(x)=(x+1)ex与函数y=a图象有两个交点故选：C二、多项选择题本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，有选错的得0分，部分9.下列命题中正确的是()222C.已知函数f(2x+1)的定义域为[-1,1]，则函数f(x)的定义域为[-1,3]D.若函数f(-1)=x-3,则f(x)=x2-x-2(x之-1)【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函数求最值判断A，利用全称量词命题的否定是存在量词命题来判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据换元法求解析式可判断D.则a222=2a2-2a+1=2(a-)2122对于选项C，函数f(2x+1)的定义域为[-1,1]，则f(2x+1)中x的范围为[-1,1]，第6页/共21页由抽象函数的定义域可得，f(x)中x的范围为[-1,3]，故函数f(x)的定义域为[-1,3]；所以选项C正确；由f(-1所以f(x)=x2-x-2，x之-1，所以选项D正确.故选：ACD.10.在‘ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()2，则‘ABC一定是钝角三角形‘ABC有两解C.若acosA=bcosB，则‘ABC为等腰三角形D.若‘ABC为锐角三角形，则sinA>cosB【答案】AD【解析】【分析】对于A，利用余弦定理分析判断，对于B，利用正弦定理分析判断，对于C，利用余弦定理统一成边形式化简判断，对于D，利用正弦单调性计算判断.故角C为钝角，A选项正确；所以‘ABC无解，所以B错误；22，故‘ABC为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；第7页/共21页故选：ADA.﹣12B.﹣8C.﹣2D.0【答案】BCD【解析】【分析】先由正弦定理求出a=10，进而得到b⊥c，建立平面直角坐标系，设P(m,0)，0<m<8，表28，求出.)的取值范围，得到答案.所以由正弦定理得，a=bcosC+ccosB，222，故b⊥c，以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，28m28，第8页/共21页2-8=[-8,64]，A错误，BCD正确.故选：BCD12.已知函数f(x)=exsinx，则下列结论正确的是()A.f(x)是周期为2π的奇函数B.f(x)在(|（-,上为增函数C.f(x)在(-10π,10π)内有20个极值点D.f(x)之ax在0,上恒成立的充要条件是a<1【答案】BCD【解析】【分析】A选项，根据函数奇偶性定义得到函数为奇函数，但f(x+2π)牛f(x)，A错误；B选项，求导两种情况，结合放缩法得到结论.【详解】A选项，：f(x)的定义域为R，f(-x)=e-xsin(-x)=-f(x)，:f(x)是奇函数，但是f(x+2π)=ex+2πsin(x+2π)=ex+2πsinx牛f(x)，:f(x)不是周期为2π的函数，故A错误；B选项，当x=(-,0)时，f(x)=e-xsinx，f,(x)=e-x(cosx-sinx)>0，f(x)单调递增，当x=(0,)时，f(x)=exsinx，f,(x)=ex(sinx+cosx)>0，f(x)单调递增，且f(x)在(-,)连续，故f(x)在(-,)单调递增，故B正确；C选项，当x=[0,10π)时，f(x)=exsinx，f,(x)=ex(sinx+cosx)，当x=(-10π,0)时，f(x)=e-xsinx，f,(x)=e-x(cosx-sinx)，令f,(x)=0得，x=+kπ(k=-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10),且以上零点均为变号零点，故均为极值点，因此，f(x)在(-10π,10π)内有20个极值点，故C正确；D选项，由题意得exsinx-ax之0在x=0,上恒成立，令w(x)=exsinx-ax，第9页/共21页xsinx-x，令t(x)=exsinx-x，xe0,，xsin当且仅当x=1时，等号成立，故t(x)=exsinx-x在xe0,上单调递增，xsinx-ax之0在xe0,上恒成立；xsinxsinx-ax在xe0,单调递减，则w(x)<w(0)=0，不合要求，0e0,，使得sin0，0,xsinx-ax在x=x0处取得极小值，且w(x0故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论.三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函第10页/共21页数图像确定条件. 2【解析】##0.5r【分析】根据已知条件结合数量积的运算公式可求出.和c的值，从而根据向量夹角的计算公式即可求r2----aac-aac--故答案为：.14.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和．若一=2000，则数列{an}的公差d＝______.【答案】2【解析】【分析】由等差数列的性质得{}为等差数列后求解.故答案为：21315.在平面直角坐标系中，已知点P(3,4)为角C终边上一点，若cos(α+β13cosβ=.【答案】βe(0,π)，则【解析】第11页/共21页【分析】根据三角函数的定义求出cosa与sina，再结合cos(a+β)及a+β求出sin(a+β)，最后利用余弦差角公式求出答案.所以cosβ=cos[(a+β)-a]故答案为：.{an}的前60项和为.【答案】-420【解析】【分析】先由已知递推式得到a2n+1=a2n-1，a2n+2+a2n=-2n，再对数列分组求和，即可解答.a2n+12n-1cos(-π)=所以a2n+1-a2n-1=0，所以数列{a2n-1}为各项均为1的常数数列，第12页/共21页35592n所以a+a+a+a+a+…2-450，所以数列{an}的前60项和为30-450=-420.故答案为：-420.四、解答题满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答（1）求a的值；（2）将f(x)的图象向上平移1个单位，再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变得到函数g(x)的图象，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g(A)=,a=2,求ABC面积的最大值.【解析】第13页/共21页【分析】（1）先应用两角和差公式结合辅助角公式化简，再应用三角函数最值求参即可；【小问1详解】求出A=，再应用余弦定理结合不等式求面积的最值.【小问2详解】 ,2 ,2 π ππ6 ,3所以2A+=，所以A= ,3 π,6又由余弦定理及a=2,A=得：a2=b2+c2-2bccosA，22-2bcos，所以b2+c2-4=bc（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Tn=（2）若Tn= ++......+SSSanneN*)n4【解析】第14页/共21页【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本量运算求出等差数列的首项和公差，写出通项公式即可；（2）利用等差数列前n项和公式求出Sn，然后利用裂项相消法求得Tn，利用Tn单调性即可求得范围.【小问1详解】因为{an}为等差数列，且a2+a8412成等比数列，得a=a4.a12neN*)；【小问2详解】所以T19.设函数f(x)=+(1-k)x-klnx.（1）若k=1，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；（2）当k>0时，证明：f(x)+k2-2k>0.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数几何意义求切线方程；（2）通过构造新函数求最值即可证明.第15页/共21页【小问1详解】所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y一=0.【小问2详解】)xklnx+k22k之0.k>0时，xe(0,k),f,(x)<0，此时函数f(x)单调递减；xe(k,+伪),f,(x)>0，此时函数f(x)单调递增.x=k时，函数g(x)取得极小值即最小值，)，可得k=1时，函数h(k)取得极小值即最小值，h(1)=0，)上恒成立，所以，当k>0时，f(x)+k2一2k之0成立.【点睛】利用导数证明不等式f(x)>g(x)的方法主要有：①构造函数y=f(x)一g(x)，求解函数的最小值大于零；②分别求解f(x)的最小值和g(x)的最大值可证结论；③利用常见不等式进行放缩证明.20.如图，‘ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，‘ABC外一点D（D与‘ABC在同一平面第16页/共21页（1）求B；（2）若‘ABC的面积为2，求线段AD的长.【解析】的性质即可求解，（2）根据面积公式可得a=2，进而根据余弦定理即可求解.【小问1详解】 即,第17页/共21页【小问2详解】AD2+2042因为AC平分经BAD，所以cos经CAD==，所以AD=4.21.已知数列{an}中an>0，其前n项和为Sn，且对任意ne**，都有(an的前n项和Tn．【解析】差数列，故可得其通项公式，根据等比数列的性质可求出公比q继而可求出{bn}的通项公式2）根据等比数列前n项和公式可得{bn}前n项和Bn，分为n为奇数和n为偶数，利用并项求和可求得{an}的前n项和An，进而可得结果.n1n12，………………②第18页/共21页由①-②得，Sn-Sn-1=1+an)2-1+an-1)2，nn-1故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列.nn=N*.故b1q2n+1-3当n为偶数时，奇数项与偶数项各有项.2n-12=-+