数学预备知识

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011数学预备知识数学预备知识4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 教学目的：了解和掌握金融投资理论中需要用到的数学知识。 教学重点：线性代数的基础知识；数学模型的建立步骤及思想原理；极值求解；效用函数。 教学难点：二次型；欧氏空间；数学建模；拉格朗日乘法；4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 一定要分析挖掘数学公式蕴含的经济金融原理，而非简单的数学问题。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

2、第一节第一节 线性代数基础线性代数基础 线性方程组与矩阵 二次型（quadratic form） 线性变换（linear transform） 欧氏空间（Euclidean space） 矩阵和行列式的微分4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011一、线性方程组与矩阵 n维实向量空间（vector space）如“组合投资风险分散问题” 回顾什么是向量？向量的运算法则？向量空间？线性相关？向量的秩？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 矩阵(matrix) “向量的向量” “组合的组合” 回顾什么是矩阵？矩阵的运

3、算法则？矩阵的秩？矩阵的相似、等价？方阵的性质？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 线性方程组（linear equation system）。“APT套利定价”将使用到。 回顾方程组的一般形式？向量形式？矩阵形式？方程组求解条件？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011二、二次型（quadratic form） 为实对阵方阵， 为列向量。 元函数 称为二次型。它与对称矩阵是一一对应的。()ijn nAa112(,.)Tnnx xxn121111( ,.)nnTnnn nnijijijf x xxAa x x

4、 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 非退化线性替换 、矩阵的合同 、矩阵的规范型 、通过正交矩阵将对称矩阵化为对角形等仅作了解。 注：作为应用工具，很多结论我们只是吸收，并不追根溯源，毕竟不是纯数学理论课程，任何结论都要证明，保证精确严谨性。 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011正定和负定矩阵（求极值的判断条件） 任取向量 ，有 则称二次型为正定（positive）二次型（or负定negative），相应实对称矩阵A称为正定（负定）矩阵。l注意正定负定的判定条件！0),(, 21TnXXXX)0(0)(

5、AXXXfT4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011性质：l对称矩阵A正定 ,C为可逆矩阵，即A合同于E。l设 为任意mn实矩阵，则 正定 A为列满秩， 正定 A为行满秩。CCATnmijaA)(AATTAA4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011三、线性变换 线性变换 （linear transform） 回顾什么是集合？什么是映射？映射和函数有什么关系？ 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 线性变换与矩阵 回顾什么是坐标？什么是基？坐标变换的原则？4251 1001

6、1 0010 1010 1101 0001 0100 1011四、欧氏空间 定义了度量的线性空间，定义了线性变换的向量空间 回顾内积？内积的性质？向量的长度？柯西-布涅科夫斯基不等式 ？三角不等式 ？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 正交变换与正交矩阵（金融市场上的基础资产问题） 回顾什么是标准正交量和正交矩阵？施密正交化法？正交变换？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 向量之间的距离 注意垂线最短的向量表示及其运用（方程组的最小二乘解） 4251 10011 0010 1010 1101 0001

7、0100 1011五、矩阵和行列式的微分 多元函数的梯度向量表示 多元函数的二阶偏导的矩阵表示海森矩阵4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011aaaXXXXTTTAXAXAXXAXXT2几个重要结论：X是向量，A是矩阵4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011第二节第二节 数学模型和模型的建立数学模型和模型的建立 模型（model）和数学模型的概念 数学建模的步骤 建模实例 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011一、模型（model）和数学模型 模型来源于原型，对原型的抽象

8、数学模型需要量化和假设 数学模型表现形式可以是数学公式，包括等式或不等式，也可以是图表 数学模型的最佳结果是数学公式 自然科学中数学公式较多，并且应用效果好 社会科学中数学公式少，且效果差 经济和金融学中有很多数学模型4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011二、数学建模的步骤 一个好的数学模型，需要扎实的专业知识和深厚的数学基础，“专业知识+数学”，数学只是工具，不要为了做模型而建模，必须对实际问题有深入的分析了解及归纳，然后借用数学工具简化问题的分析复杂性。 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 同一个问题，

9、如果建模者关注的侧重点不同，消息不同，甚至偏好不同，都会导致不同的模型。 建模没有固定的模式，但有基本的思路和原则4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 建模准备：了解实际问题的背景 模型假设：对问题进行简化 建立数学模型：用数学方式（公式、图表）表现出实际问题，尽量简单化原则 模型求解：求解出结果，优化求解较多 模型分析：得到结论，做出预测 模型检验和修正：与实际比较，模拟实际4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011三、建模实例 资金总量为M，可投资于 n1种资产 Si(i0，1，n)，0表示存银行 Si的平均

10、收益率为ri，风险损失率为qi 总体风险Si中的最大风险 投资Si的交易费率为pi，低于ui按ui计算 同期银行存款r0=5%，无交易费用和损失 问题：如何总资金M如何投资，使得尽可能收益大，总体风险尽可能小4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011对问题的分析 两个目标：净收益大，风险损失小 两个目标不可能同时满足 限定其中一个目标的范围，另一个尽可能最优 最优解是不唯一的4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011用数学符号和公式表示模型 优化问题的模型最主要的过程：用数学符号表达 决策变量 目标函数 约束条件425

11、1 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 xi表示购买的Si资金量，i=0,1,2n 则xi即为投资中的决策变量选择4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 ci(xi)是交易费，投资于Si的净收益：Ri (xi) rixi ci(xi) 故总净收益：R Ri (xi) 投资于Si的风险损失：Qi (xi) qixi 故总风险损失：Q)(max)(max)0()0(iiniiiniqxxQ4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 投资于Si所需资金：Fi(xi) =xi ci(xi

12、)，所有投资及相关支出不能超过总资金规模 故有约束条件： F（x） （xi ci(xi)）=M4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 交易费用的数学表达式和图形iiiiiiiiiiiuxxpuxupxxc,0,0,0)(4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011几个优化模型 两目标优化模型：属于多目标规划问题 思考还有其他表述方法吗？0,)()()(minxMxFxRxQx4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 单目标优化模型：分三种情况 确定风险不能超过k，求最大收益 确

13、定收益水平不能低于h，求最小损失)(max0,)()(.xRxMxFkxQst)(min0,)()(.xQxMxFhxRst4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 或者假定相对偏好10，)()1 ()(min0,)(xRxQxMxFrr4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 上面模型不容易求解，简化费用的表达式可以将模型简化问题。 假设费用：ci(xi)pixi 资金约束条件变成：F（x） (1+pi)xiM 前面的三个模型都可以变成线性规划问题，对此已经有成熟的方法解决。4251 10011 0010 101

14、0 1101 0001 0100 1011第三节第三节 优化问题的求解优化问题的求解 解决建模后是否有解、如何解的问题 回顾简单（一元）函数求值及判断的方法 ？ 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011多元函数的极值及其判断-无条件极值定理1.1（定理1.2） 一阶偏导数为0（必要条件）， 二阶偏导数，海森矩阵Hessian matrix的正定和负定 正定极小值，负定极大值 回顾前面关于矩阵正定负定的判别？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011二次多项式的极值点推论1.1（推论1.2） 设 为一个二次多项式。 则

15、f(X)在 达到极大（小）值的充分必要条件： f(X)在 处一阶导数为零； 矩阵A是负（正）定的。()Tf XX AXBXCTAA12(,)Tna aaaa4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 如果是凹函数或凸函数，则一阶条件也是充分条件（为什么？）4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011条件极值的拉格朗日乘子法 思想：将条件极值转化为无条件极值! 纽带：拉格朗日乘子！ 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 有3阶连续偏导数 是m个约束条件1,2,()nMf x xx

16、11,2,121,2,231,2,3()()()nnng x xxbgx xxbgx xxbmnmbxxxg),.(2, 14251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 引入m个拉格朗日乘数 构造新函数 12,m ),.(),.,(),.,.,(2, 11212121inimiinmnbxxxgxxxfxxxF4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 定理1.1，定理1.2，推论仍然成立。仅一阶条件转化为：0),.,.,(2121imnxxxxF1,2,i n1,2,12(,)0nmjF x xx 1,2,j m 42

17、51 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011举例：求解收益相同风险最小的投资组合 有n种资产，R是资产的期望收益率向量，W是资产的投资比例向量（需要求解），V是资产协方差矩阵，试问如何分散投资使得组合收益为C0的同时组合风险尽可能的小。 组合风险的衡量： （为什么？）VWWT4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 因此，该问题是下面的优化问题 思考为什么乘以二分之一？VWWTcRWWTT21min0114251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 该优化问题有解的充分必要条件充分必要条件是拉格朗日乘子函数的一阶