数值积分与数值微分ppt课件实用教案

1、1 1 引引 言言一、数值积分的必要性一、数值积分的必要性本章主要本章主要(zhyo)讨论如下形式的一元函数积分讨论如下形式的一元函数积分badxxffI)()( )( )( )( )baI ff x dxF bF a在微积分里，按在微积分里，按Newton-Leibniz公式公式(gngsh)求定积分求定积分 f x F x F x第1页/共74页第一页，共74页。 F x f x实际实际(shj)问问题题例如例如(lr)函数函数:2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx第2页/共74页第二页，共74页。2 sinf xx这个问题就是要求由函数这个问题就是要求由函数0 x

2、 48x第3页/共74页第三页，共74页。dxxdxxfL48024802)(cos1)(1 由微积分学我们知道由微积分学我们知道(zh do),所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为:Whats the Original function?!Its so complex that we can not get it.第4页/共74页第四页，共74页。3222xx)322ln(21693216332412222xxxxxx第5页/共74页第五页，共74页。 f x f xx1423454.5688.5原来原来(yunli)通过原通过原函数来计算积分有它函数来计算积分有它的局限性。那的局限性。那怎

3、么办呢？怎么办呢？呵呵呵呵这就需要积分这就需要积分的数值方法的数值方法(fngf)来帮忙啦。来帮忙啦。第6页/共74页第六页，共74页。二、数值积分的基本二、数值积分的基本(jbn)思想思想1、定积分的几何、定积分的几何(j h)意义意义badxxffI)()(abxyo f x第7页/共74页第七页，共74页。2、数值积分的理论依据、数值积分的理论依据 f x依据依据(yj)积分中值定理积分中值定理,对于对于(duy)连续函数连续函数 ,在在 内存在内存在(cnzi)一点一点 ,使得使得, a b)()()()(fabdxxffIba称称 为区间为区间 的平均高度的平均高度. f, a b

4、?f第8页/共74页第八页，共74页。3、求积公式、求积公式(gngsh)的构造的构造 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点可得一点(y din)求积公式如下：求积公式如下：左矩形左矩形(jxng)公式：公式：中矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：右矩形公式： I ff aba 2abIffba Iff bba第9页/共74页第九页，共74页。xyOab f x f a左矩形左矩形(jxng)公式：公式： I ff aba第10页/共74页第十页，共74页。xyOab f x2abf2ab中矩形中矩形(jxng)公式：公式： 2

5、abIffba第11页/共74页第十一页，共74页。xyOab f x f b右矩形右矩形(jxng)公式：公式： Iff bba第12页/共74页第十二页，共74页。 若取若取 两点，并令两点，并令 ，则可得梯形，则可得梯形公式（两点求积公式）公式（两点求积公式）, a b 2f af bf 2f af bIfba第13页/共74页第十三页，共74页。xyOab f x f a f b第14页/共74页第十四页，共74页。则可得则可得Simpson公式公式(gngsh)(三点求积公式三点求积公式(gngsh), ,2aba b c 46f af cf bf 若取三点，若取三点， 并令并令 4

6、6f af cf bIfba第15页/共74页第十五页，共74页。 一般一般(ybn)地地 ，取区间，取区间 内内 个点个点, a b1n ,0,1,2,.,ixin ,0,1,.,if xin f处的高度处的高度(god)通过加权平均的方法近似通过加权平均的方法近似(jn s)地得出平均高度地得出平均高度这类求积方法称为这类求积方法称为机械求积机械求积:)()()(0ibaniixfabdxxf第16页/共74页第十六页，共74页。 或写成或写成: :数值积分公式数值积分公式(gngsh)求积系数求积系数(xsh) 求积节点求积节点(ji din) (ji din) )()(0kbankkx

7、fAdxxf第17页/共74页第十七页，共74页。记记0( )()nnkkkIfA f x0( )( )( )( )(),nbnkkakR fI fIff x dxA f x称称为数值为数值求积公式求积公式称为求积公称为求积公式余项式余项(误误差差).第18页/共74页第十八页，共74页。三、求积公式三、求积公式(gngsh)的的代数精度代数精度1、问题、问题(wnt)的提出的提出构造或确定一个求积公式，要讨论构造或确定一个求积公式，要讨论(toln)解决的问题有解决的问题有:(i) 确定求积系数确定求积系数 和求积节点和求积节点 kAkx；(iii)求积公式的误差估计和收敛性分析求积公式的误

8、差估计和收敛性分析.(ii) 判定求积公式精度的衡量标准；判定求积公式精度的衡量标准；第19页/共74页第十九页，共74页。 称求积公式称求积公式 具有具有m次代数精度次代数精度(jn d),如果它满足如下两个条件如果它满足如下两个条件:2、定义、定义(dngy)0( )()nnkkkIfA f x(i) 对所有对所有(suyu)次数次数m次的多项次的多项式式 ,有有)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR(ii)存在存在m+1次多项式次多项式 ,使得使得)(1xPm0)()()(111mnmmPIPIPR第20页/共74页第二十页，共74页。上述定义中的条件上述定义中的条件(tiojin

9、)(i),(ii)等等价于价于:1( )()0miiR x( )()()()0,(0)kkkniR xI xIxkm第21页/共74页第二十一页，共74页。2 2 插值型求积公式插值型求积公式(gngsh)(gngsh)一、定义一、定义(dngy)在积分在积分(jfn)区间区间 上，上， ,a b取取 个节点个节点1n,0,1,2,.,ix in作作 的的 次代数插值多项式次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）（拉格朗日插值公式）: f xnnjjjnxfxlxL0)()()(则有则有)()()(xRxLxfnn其中，其中，)()!1()()(1)1(xwnfxRnnn为插值余项。为插值余项。第

10、22页/共74页第二十二页，共74页。于是于是(ysh)有：有： bajnjbajbanbanbadxxRxfdxxldxxRdxxLdxxf)()()()()()(0取取 babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak0()()nbikaikiikxxAdxxx由由 节点节点 决定，决定，与与 无关。无关。 f x称为称为插值插值型求积公型求积公式式第23页/共74页第二十三页，共74页。第24页/共74页第二十四页，共74页。二、截断误差与代数二、截断误差与代数(dish)精度精度1、截断误差、截断误差0(1)0 ( )() ( )( )()()(1)!nbbkknaaknnbxk

11、akR ff x dxA f xf xLx dxfxxdxn第25页/共74页第二十五页，共74页。2、代数、代数(dish)精度精度0( )nkkkA f x( )bkkaAl x dx推论推论 求积系数求积系数(xsh) 满足满足:0nkkAba 形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数次代数(dish)精精度度 该公式为插值型（即：该公式为插值型（即： ）定理定理kA第26页/共74页第二十六页，共74页。3 Newton-Cotes3 Newton-Cotes公式公式(gngsh)(gngsh)一、一、Cotes系数系数(xsh)取节点取节点(ji din)为等距分布：为

12、等距分布：,0,1,.,ib axa ih hinn 由此构造的插值型求积公式称为由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式公式,此时此时求求积系数：积系数：0()()nxjixj iijxxAdxxx令令htax 00()()( 1)()()!()!n innijijtj hbah dttj dtij hn i niCotes系数系数( ) nkC第27页/共74页第二十七页，共74页。二、二、Newton-Cotes公式公式(gngsh)1、定义、定义(dngy)：记记dtktnjnjCnnjkkjnnj0, 0)()()!( !) 1(则则njCabAnjj, 2 , 1

13、, 0,)()(求积公式求积公式(gngsh)变为变为( )0( )()()nbnjjajf x dxbaCf x称上式为称上式为n阶阶闭型闭型Newton-Cotes求积公式。求积公式。第28页/共74页第二十八页，共74页。dtktnjnjCnnjkkjnnj0, 0)()()!( !) 1(注意注意(zh y):由式由式确定确定(qudng)的的Cotes系数系数(xsh)只与只与 和和 有关有关,jn 与与 和积分区间和积分区间 f x, a b无关，无关，且且满足满足: ( )021nnjjC 1nnkn kCC第29页/共74页第二十九页，共74页。2、截断误差、截断误差Newto

14、n-Cotes公式公式(gngsh)的误差为的误差为:),(,)()()!1()()!1()()(00)1(21)1(badtjtfnhdxxwnffRnnjnnnban与与x有关有关第30页/共74页第三十页，共74页。3、代数、代数(dish)精度精度作为作为(zuwi)插值型求插值型求积公式，积公式，具有具有 次代数次代数(dish)精度，精度，n阶阶Newton-Cotes公式至少公式至少n而实际的代数精度是否可以进一步而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？提高呢？定理定理当阶数当阶数 为偶数时为偶数时,nNewton-Cotes公式公式至少至少具有具有次代数精度。次代数精度。1n第3

15、1页/共74页第三十一页，共74页。证明证明(zhngmng):只需验证只需验证(ynzhng)当当 为偶数时为偶数时,Newton-Cotes公式对公式对的余项为零。的余项为零。n 1nf xx由于由于(yuy) ,所以所以 1nf xx 11 !nfxn即得即得 nnjndtjthfR002)()(引进变换引进变换 ,因为因为 为偶数为偶数,故故 为整数为整数,2ntu2nn于是有于是有 2202)2()(nnnjndujnuhfR据此可断定据此可断定 ,因为上述被积函数是个奇函数因为上述被积函数是个奇函数. 0R f第32页/共74页第三十二页，共74页。4、数值、数值(shz)稳定稳定

16、性性现在讨论舍入误差对计算结果产生现在讨论舍入误差对计算结果产生(chnshng)的影响的影响.设用公式设用公式(gngsh) njjnjnxfCabfI0)()()()(近似计算积分近似计算积分badxxffI)()(时时,其中计算函数值其中计算函数值 有误差有误差则在则在 的计算中的计算中,由由 引起的误差为引起的误差为jf x0,1,2,.jjn没有误差没有误差,中间计算过程中的舍入误差也不考虑中间计算过程中的舍入误差也不考虑, njC计算计算( )nIfj，而，而第33页/共74页第三十三页，共74页。njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()(

17、)()()()(如果如果(rgu) 都是正数都是正数,并设并设 njC0max|jj n 则有则有)(|)(|0)(abCabenjnjn故故 是有界的是有界的,nejba7n n njC即由即由 引起引起(ynq)的误差受到控制的误差受到控制,的的 倍倍,不超过不超过(chogu)保证了保证了数值计算的稳定性数值计算的稳定性。将出现将出现负数负数,而当而当 时时,njnjC0)(|将随将随 增大增大,因而因而不能保证数值稳定性不能保证数值稳定性.故高阶公式不宜采用故高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种有实用价值的仅仅是几种低阶的求低阶的求积公式积公式.第34页/共74页第三十四页，共74

18、页。三、几种常用三、几种常用(chn yn)的低阶的低阶求积公式求积公式(1)(1)0111,22CCn = 1:( ) ( )( )2babaf x dxf af b梯形梯形(txng)公式公式() ()()2!bxafR fxa x b dx/* 令令 x = a+th, h = ba, 用中用中值值(zhn zh)定理定理 */31( ), , ,121bah fa bh 代数精度代数精度 = 1第35页/共74页第三十五页，共74页。n = 2:(2)(2)(2)012121,636CCC2( ) ( )4 ()( )6ba babaf x dxf aff bSimpson 公式公式(

19、gngsh)代数代数(dish)精度精度 = 35(4)1 ( ) ,( , ) ,902baR fh fa bh 第36页/共74页第三十六页，共74页。n = 4: Cotes 公式公式(gngsh) 7(6)8( )945R fh f 01234( )7 ()32 ( ) 12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf x代数代数(dish)精度精度 = 5,4kbaxakh h这里这里(zhl)第37页/共74页第三十七页，共74页。四、复化求积公式四、复化求积公式(gngsh) 高次插值有高次插值有Runge 现象现象(xinxing)，怎么办？，怎么

20、办？可采用分段可采用分段(fn dun)低次插值来解决低次插值来解决高阶高阶Newton-Cotes公式会出现公式会出现数值不稳定数值不稳定。而而低阶低阶Newton-Cotes公式公式有时又不能满足精度要求有时又不能满足精度要求，怎么办？，怎么办？可将积分区间可将积分区间 分成若干小分成若干小区间，在每个小区间上用区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。低阶求积公式计算，然后求和。, a b第38页/共74页第三十八页，共74页。 复化梯形复化梯形(txng)公式：公式：,(0,., )ibahxaihinn在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1iixx111( ) ( )

21、(),0,.,12iixiiiixxxf x dxf xf xin11( )2()( )2nkihf af xf b110( ) ( )()2nbiiaihf x dxf xf x= Tn1321002() ()()1212()( ),( , )12niniiifhhR ffbanhba fa b /*中值定理中值定理*/第39页/共74页第三十九页，共74页。 复化梯形(txng)公式积分法第40页/共74页第四十页，共74页。 复化复化 Simpson 公式公式(gngsh)：),., 0(,nkhkaxnabhk)()(4)(6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 k

22、x1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn)(2180)4(4fhabfR第41页/共74页第四十一页，共74页。 复化Simpson公式(gngsh)积分法第42页/共74页第四十二页，共74页。 复化复化 Cotes公式公式(gngsh)：,(0,., )kbahxak hknn)(7)(32)(12)(32)(790)(14321411kkkkkxxxfxfxfxfxfhdxxfkk101)(7)(32)(12)(32)(790)(432141nkkkkkkbaxfxfxfxfxfhdxxf= Cn),(, )(494

23、5)(2)6(6bafhabfR第43页/共74页第四十三页，共74页。 收敛收敛(shulin)速度与误差估速度与误差估计：计：定义定义(dngy)：若一个积分公式的误差满足若一个积分公式的误差满足 ，0limphR fCh 且且 ，则，则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。0C 246() ,() ,()nnnTO hSO hCO h第44页/共74页第四十四页，共74页。例例:利用利用(lyng)数据表数据表kxkf x01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464计算计算(j

24、 sun)积积分分1*2041Idxx解：解：这个问题这个问题(wnt)有明显的答案有明显的答案*104arctg |3.1415926.Ix第45页/共74页第四十五页，共74页。取取n = 8用复化梯形用复化梯形(txng)公式公式 1872432852212832412812)0(21818fffffffffT= 3.138988494取取n=4 用辛卜生公式用辛卜生公式(gngsh) 1874432854212834412814)0(61414fffffffffS= 3.141592502运算量基运算量基本相同本相同第46页/共74页第四十六页，共74页。复化梯形公式的误差复化梯形公式

25、的误差(wch)估计估计给定精度给定精度 ，如何取，如何取 ?n例如：要求例如：要求 ，如何判断，如何判断 n = ？ |nTI1、误差、误差(wch)先验估计式先验估计式)()(12)()(2fabhfTfIfRn 2max( )a x bMfx 记记则则 222)(12)()(12Mabhfabh第47页/共74页第四十七页，共74页。)()(122 fabhfR ?21()12nkkhfh 22( )( )( )1212bahhfx dxf bf a 上例中若要求上例中若要求 ，则，则6| 10nI T226| |(1)(0)|10126nhhRfff0.00244949h 即：取即：取

26、 n = 409通常采取通常采取(ciq)将区间不断对分的方法，即取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 时，时，T512 = 3.14159202S4 = 3.141592502注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时2211 ( )( ) 1224nnhRff bf aR f214nnITIT)(141)(31222nnnnnTTTTTI可用来判断迭代可用来判断迭代(di di)是否停止。是否停止。2、误差、误差(wch)后验估计式后验估计式第48页/共74页第四十八页，共74页。复化复化Simpson公式公式(gngsh)的误差估计的误差估计1、误

27、差先验、误差先验(xin yn)估计式估计式2、误差、误差(wch)后验估计式后验估计式)(2180)4(4fhabSIfRn4(3)(3)1 ( )( )1802nhR fISfbfa )(141)(1512222nnnnnSSSSSI第49页/共74页第四十九页，共74页。复化复化Cotes公式的误差公式的误差(wch)估计估计1、误差先验、误差先验(xin yn)估计式估计式),(, )(4945)(2)6(6bafhabCIfRn2、误差、误差(wch)后验估计式后验估计式6)5()5(4)()(9452hafbfCIfRn)(141)(6312322nnnnnCCCCCI第50页/共

28、74页第五十页，共74页。四、龙贝格积分四、龙贝格积分(jfn)例例:计算计算(j sun)21410 xdx已知对于已知对于 = 106 须将区间须将区间(q jin)对分对分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202考察考察412 nnTITI由由 来计算来计算 I 效果是否好些？效果是否好些？224414 133nnnnTTITT844133TT= 3.141592502= S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg求积公求积公式式第51页/共74页第五十一页，共74页。 Romberg 算法算法(sun

29、f)： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T第52页/共74页第五十二页，共74页。 理查德森理查德森外推法外推法利用利用低低阶公式产生阶公式产生高高精度的结果。精度的结果。由由Taylor展开展开(zhn ki)得得到：到： i 与与 h 无关无关(wgun)现将现将 对分，得：对分，得：h0h 0Th 230123.ThIhhh230123.2222hhhhTI设对于设对于(duy)某一某一 ，有公式有公式 近似计算某

30、一未知值近似计算某一未知值 。I第53页/共74页第五十三页，共74页。如何如何(rh)将公式精度由将公式精度由 提高到提高到 ？.432112)()(23322020 hhIhTTh 即：即：230021122( )( )( ).21hTT hT hIhh34212( ).T hIhh211222( )( )21hTT h1212( ).mmmThIhh1122( )( )21mhmmmTTh O h2O h第54页/共74页第五十四页，共74页。计算计算(j sun)步步骤：骤：1取取 ，计算，计算0hba00( )( )2hTf af b2对k = 1, 2, 计算(j sun)下列各步

31、12( )(1)00001121222kkkkkihiTTfah第55页/共74页第五十五页，共74页。3对对n = 0, 1, 2, k = n 1, n 2, (1)( )( )11441nkkknnnnTTT4收敛(shulin)控制(0)(0)1kkTT(0)(0)1(0)kkkTTT若若或或则输出积分值则输出积分值 ，否则转否则转3 3。 )0(kT第56页/共74页第五十六页，共74页。Newton-Cotes公式采用公式采用等距节点作为求积节点代等距节点作为求积节点代数精度至多可达到数精度至多可达到 。（ 为偶数）为偶数）1nn那么，在节点个数一定的情那么，在节点个数一定的情况下

32、，是否可以在况下，是否可以在 上自上自由选择节点的位置，使求积由选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高公式的精度提得更高 ？, a b第57页/共74页第五十七页，共74页。例例 ：求形如求形如100111( )()( )f x dxA f xA f x的两点求积公式的两点求积公式(gngsh)(gngsh)。 （1）用梯形公式（即以）用梯形公式（即以x0 = -1，x1 = 1为节点为节点(ji din)的插值型的插值型 求积公式）立即可得求积公式）立即可得 。11( )( 1)(1)f x dxff只具有只具有(jyu)一一次代数精确度！次代数精确度！第58页/共74页第五十八页，共74

33、页。（2）若对求积公式中的四个待定系数）若对求积公式中的四个待定系数A0, A1, x0, x1适当适当(shdng)选取，选取，使求积公式使求积公式(gngsh)(gngsh)对对f (x) = 1f (x) = 1，x x，x2x2，x3x3都准确成立，则都准确成立，则0101,A A x x需满足需满足(mnz)如下方如下方程组：程组：0122001 12233001 13344001 1121314AAbaA xAxbaA xAxbaA xAxba第59页/共74页第五十九页，共74页。xyo f x11AB0 x1x第60页/共74页第六十页，共74页。五、高斯型积分五、高斯型积分(

34、jfn)0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x构造构造(guzo)具有具有2n+1次代数精度的求次代数精度的求积公式积公式将节点将节点 以及以及(yj)系数系数 都作为待定系数。都作为待定系数。0.nxx0.nAA令令 代入可求解，代入可求解， 2211, ,.,nf xx xx得到的公式得到的公式具有具有 次代数精度。次代数精度。21n节点称为节点称为Gauss 点点此公式称为此公式称为Gauss 型求积型求积公式公式第61页/共74页第六十一页，共74页。例：例：求求 的的 2 点点 Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：解：设设 ，应有，应有 3 次代数精度

35、。次代数精度。 101100)()()(xfAxfAdxxfx代入代入 f (x) = 1, x, x2, x3 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 02899. 08212. 01010 AAxx不是线性方程组，不是线性方程组，不易不易(b y)求解。求解。第62页/共74页第六十二页，共74页。定理定理(dngl)： x0 xn 为为 Gauss 点点 与任意与任意(rny)次数不次数不大于大于n 的多项式的多项式 P(x) （带权）正交。（带权）正交。nkkxxxw0)()(证明证明(zhngmng)： “” x0 x

36、n 为为 Gauss 点点, 则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。bankkkxfAdxxfx0)()()(对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数的次数不大不大于于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立精确成立：nkkkmkbamxwxPAdxxwxPx0)()()()()(= 00 求求 Gauss 点点 求求w(x)第63页/共74页第六十三页，共74页。不大于不大于 的多项式的多项式 精确成立精确成立(chngl)，即证明：，即证明：“”要证明要证明(zhngmng) 为为 Gauss 点，点，即要证公

37、式对任意即要证公式对任意(rny)次数次数设设)()()()(xrxqxwxPmbababamdxxrxdxxqxwxdxxPx)()()()()()()(0nkkkxrA0)(nkkmkxPA0)( nkkmkbamxPAdxxPx0)()()(0,.,nxx21n mPx第64页/共74页第六十四页，共74页。 正交多项式族正交多项式族 0, 1, , n, 有性质有性质(xngzh)：任意次数不大于任意次数不大于n 的多项式的多项式 P(x) 必与必与n+1 正交。正交。若取若取 w(x) 为其中的为其中的 n+1，则，则 n+1的根的根就是就是 Gauss 点。点。第65页/共74页第

38、六十五页，共74页。53 a0)(10 dxaxx0),(10 1021102100)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910 cb即：即：22105( )921xxxStep 1：构造：构造(guzo)正交多项式正交多项式2设设cbxxxaxxx 2210)(,)(, 1)( 再解上例：再解上例： 101100)()()(xfAxfAdxxfx第66页/共74页第六十六页，共74页。Step 2：求求 2 = 0 的的 2 个根，即为个根，即为 Gauss 点点 x0 ，x1221/20)9/10(9/1021;0 xStep 3：代入：代入 f (x) = 1, x 以求解以求解(qi ji) A0 ，A1解线性方程组，解线性方程组，简单简单(jindn)。结果与前一方法相同：结果与前一方法相同：2776. 0,3891. 0,2899. 0,8212. 01010 AAxx 利用此公