Chp_11大学物理

1、2022-6-23P.2/66振动学基础振动学基础2022-6-23为何讨论的重点是简谐运动？为何讨论的重点是简谐运动？振动能量的变化周期？振动能量的变化周期？简谐振动的动力学特征？简谐振动的动力学特征？复杂运动可分解为若干简谐运动复杂运动可分解为若干简谐运动振动的运动学规律？振动的运动学规律？P.3/66振动学基础振动学基础2022-6-23振动振动物质基本运动形式物质基本运动形式周期性运动周期性运动声波、计时器、无线电信号、生物信号等声波、计时器、无线电信号、生物信号等波动光学：波动光学： 研究光的波动性研究光的波动性横跨经典物理各子科：横跨经典物理各子科：机械振动、机械波；机械振动、机械

2、波；电磁振荡、电磁波；量子力学又称波动力学；电磁振荡、电磁波；量子力学又称波动力学；光是电磁波光是电磁波波动波动振动的传播振动的传播P.4/66振动学基础振动学基础2022-6-23第11章 振动学基础 机械振动机械振动(mechanical vibration)：振动振动(vibration)：任何一个物理量任何一个物理量( (物体的位置、电流物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等强度、电场强度、磁场强度等) )在某一定值附近的反在某一定值附近的反复变化。复变化。机械振动的原因：机械振动的原因： 物体所受的回复力和物体所具有的惯性物体所受的回复力和物体所具有的惯性P.5/66振动学基础振

3、动学基础2022-6-23简谐运动简谐运动(simple harmonic motion) 是最基本、最是最基本、最简单的振动，运动规律由余简单的振动，运动规律由余(正正)弦函数描述。弦函数描述。弹簧振子弹簧振子单摆单摆P.6/66振动学基础振动学基础2022-6-23基本特征基本特征 任何复杂的任何复杂的振动都可以认为是由若振动都可以认为是由若干个简单而又基本的简干个简单而又基本的简谐运动所合成的。谐运动所合成的。一般机械振动一般机械振动傅里叶分解傅里叶分解直线运动直线运动简谐运动简谐运动+P.7/66振动学基础振动学基础2022-6-23简谐运动表达式简谐运动表达式)cos(tAxA：振幅

4、振幅(amplitude) 离开平衡位置的最大位移离开平衡位置的最大位移 ：角频率角频率(angular frequency) 2 秒内往复振动的次数秒内往复振动的次数 ：初相初相 系统系统的运动状的运动状态，与初始条件有关态，与初始条件有关 ：频率频率(frequency) 单位单位时间内往复振动的次数时间内往复振动的次数 ：周期周期(period) 往复振动往复振动一次的时间一次的时间T21T周期、频率与角频率关系：周期、频率与角频率关系：TP.8/66振动学基础振动学基础2022-6-23简谐运动的速度简谐运动的速度)2cos()sin(ddmttAtxvv)cos()cos(ddm2t

5、atAtav简谐运动的加速度简谐运动的加速度)cos(tAxP.9/66振动学基础振动学基础2022-6-23振动相位振动相位(phase)的讨论的讨论 t = 0时，相位为时，相位为 ，称振动的，称振动的“初相位初相位”振动的相位振动的相位决定了简谐运动的运动状态决定了简谐运动的运动状态(位置和速度位置和速度)(t00vAxt物体在正向最大处物体在正向最大处物体在平衡位置处物体在平衡位置处max0023vvvxtAxt物体在负向最大处物体在负向最大处物体在平衡位置处物体在平衡位置处)cos(tAx)(sintAvmax02vvxtP.10/66振动学基础振动学基础2022-6-23由初始条件

6、确定振幅和初相位的方法由初始条件确定振幅和初相位的方法：位移方程：位移方程：速度方程：速度方程：(1)设设 t =0时，振动位移：时，振动位移：x = x0振动速度：振动速度：v = v0)(costAxcos0Ax )(sintAvsin0Av222222020)cos(sinAAxv2020vxA振幅振幅：)arctan(00 xv 不是唯一的，与坐标正向有关，需不是唯一的，与坐标正向有关，需要具体分析。要具体分析。初相位初相位：P.11/66振动学基础振动学基础2022-6-23cosAkA kAx 0(2) 若已知若已知t = 0，k为常量，为常量，并已知质点的运动方向，即可得并已知质

7、点的运动方向，即可得有二个值，利用有二个值，利用v的方向可定出的方向可定出 。 总之，只要知道初始条件，即可利用方程总之，只要知道初始条件，即可利用方程(一般为位一般为位移方程和速度方程移方程和速度方程)来求得积分常数来求得积分常数A、 。 (3) 如果已知的不是如果已知的不是 t = 0 时的时的 x、v，同样可以利用位，同样可以利用位移方程，速度方程、加速度方程求移方程，速度方程、加速度方程求A， 。如已知。如已知 t 时刻的时刻的 等。特别要注意利用等。特别要注意利用 ：AmaxvAa2maxttx v,P.12/66振动学基础振动学基础2022-6-23例例11-1: 一轻弹簧，一端固

8、定，另一端连接一定质量一轻弹簧，一端固定，另一端连接一定质量的物体。整个系统位于水平面内，系统的角频率为的物体。整个系统位于水平面内，系统的角频率为6.0s-1。今将物体沿平面向右拉长到。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，处释放，试求：试求：(1)简谐运动表达式；简谐运动表达式；(2)物体从初始位置运动物体从初始位置运动到第一次经过到第一次经过A/2处时的速度。处时的速度。100s0 .6, 0,m0.04vxm04. 00202020 xxAv振振幅幅：m0 . 6cos04. 0tx 得得：0arctan00 xv(为什么为什么 ？)P.13/66振动学基础振动学基础2022

9、-6-23AxttAxarccos)cos()35(321arccos2arccos或或AAt32:tAxAx按按题题意意)3(sin0 . 604. 0sintAv1sm208.0P.14/66振动学基础振动学基础2022-6-23简谐运动的旋转矢量简谐运动的旋转矢量(rotating vector )图示法图示法A 旋转矢量旋转矢量 的模即为简谐运的模即为简谐运动的动的振幅振幅。 旋转矢量旋转矢量 的角速度的角速度 即为即为振动的振动的角频率角频率。A 旋转矢量旋转矢量 与与x轴的夹角轴的夹角 ( t+ )为为简谐运动的简谐运动的相位相位。A t =0时，时， 与与x轴的夹角轴的夹角 即为

10、简谐振动的即为简谐振动的初相位初相位。AtxP P2T周期：周期： 旋转矢量旋转矢量 旋转一周，旋转一周，P点完点完成一次全振动。成一次全振动。A)cos(tAx结论：结论：投影点的运动投影点的运动为简谐运动。为简谐运动。P.15/66振动学基础振动学基础2022-6-23相位差相位差)cos(2tAx)cos(1tAx相位差：相位差：)()()()(ttt当二个振动的频率相同时，相位差为当二个振动的频率相同时，相位差为xAAP.16/66振动学基础振动学基础2022-6-23 一质点沿一质点沿x轴作简谐运动，振幅为轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为，周期为2s。当。当t = 0时时, 位移

11、为位移为6cm，且向，且向x轴正方向运动。求轴正方向运动。求: (1) 振动表达式；振动表达式；(2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度；时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于如果在某时刻质点位于x = -0.6cm，且向，且向x轴负方向运动，轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：1s2Tt = 0 时时， x0 = 0.06m , v0 0m)cos(12.0txm12. 0As2Tx6cm3m)3cos(12. 0tx振动表达式：振动表达式： P.17/66振动学基础振动学基础2022-6-23m/s19.

12、0)3sin(12. 0dds5 . 0s5 . 0s5 . 0tttttxv2s502s50s50m/s01)3(cos120dd.t.ta.t.t.tv(2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度时，质点的位置、速度和加速度m10. 0)3cos(12. 0s5 . 0s5 . 0tttxP.18/66振动学基础振动学基础2022-6-23s6565653223ttx3223t1t232621232(3)如果在某时刻质点位于如果在某时刻质点位于x = -0.6cm，且向，且向x轴负方向运动，轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。求从该位置回到平衡位置所需要的时间。P.1

13、9/66振动学基础振动学基础2022-6-23: 两质点作同方向、同频率的简谐运动，振幅相两质点作同方向、同频率的简谐运动，振幅相等。当质点等。当质点1在在 x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点处，且向左运动时，另一个质点2在在 x2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。处，且向右运动。求这两个质点的相位差。)(cos11tAxA-AOA/2-A/2)(cos22tAx质点质点1：3021tAxv质点质点2：34021tAxv334)()(12ttP.20/66振动学基础振动学基础2022-6-23一、动力学描述一、动力学描述1. 弹簧振子弹簧振子理想模型理想模型根据胡克定

14、律：根据胡克定律：(k为劲度系数为劲度系数)kxF(1) 在弹簧形变不大时，弹性力在弹簧形变不大时，弹性力 F 和位移和位移 x 成正比。成正比。(2) 弹性力弹性力F和位移和位移x恒反向，始终指向平衡位置。恒反向，始终指向平衡位置。回复力回复力：始终指向平衡位置的作用力始终指向平衡位置的作用力P.21/66振动学基础振动学基础2022-6-23振动的条件振动的条件: (1)存在恢复力；存在恢复力；(2)物体具有惯性物体具有惯性振动过程：振动过程：由牛顿第一定律得由牛顿第一定律得xktxmF22dd-AxOAF0dd222xtx简谐运动的微分方程mk2令令: :P.22/66振动学基础振动学基

15、础2022-6-230dd222xtx微分方程的解：微分方程的解： 振动表达式振动表达式(简谐运动位移简谐运动位移)cos(tAx为积分常量，由初始条件确定。为积分常量，由初始条件确定。、A 任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动的微分方程，或遵从余弦简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦或正弦)规律，则规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动。广义地说，这一物理量在作简谐运动。如：交流电压如：交流电压U0dd222UtU为常数为常数P.23/66振动学基础振动学基础2022-6-23Ol mgT22ddsintsmmgls 很很小小又又2

16、2ddsintmlmg2. 单摆单摆(simple pendulum)的讨论的讨论 sin0dd22lgtP.24/66振动学基础振动学基础2022-6-23单摆的振动是单摆的振动是简谐运动简谐运动。lgglT20dd22lgttcos0(1) 为振动角位移，振幅为为振动角位移，振幅为 (2) 、T与与m无关，但无关，但T 2与与l成正比、与成正比、与g成反比。成反比。0P.25/66振动学基础振动学基础2022-6-23: 质量为质量为m的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。的液体中。已知比重计圆管的直径为已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重。试证明，比重计计推动后，推动后，

17、在竖直方向的振动作简谐运动在竖直方向的振动作简谐运动, 并计算周期。并计算周期。解：解：取平衡位置为坐标原点平衡时：平衡时：0BFmg浮力：浮力： VgFB其中其中V 为比重计的排水体积为比重计的排水体积gmWBF(a)(b)222dd2txmgxdVmg据牛顿定律：据牛顿定律：P.26/66振动学基础振动学基础2022-6-23xmgdtx4dd222222dd2txmxdgVgmgxxmgd2gmdT42由式由式(a), (b),有有Vgmg则得则得222dd2txmgxdVmgP.27/66振动学基础振动学基础2022-6-23: 证明图示系统的振动为简谐运动。其频率为证明图示系统的振动

18、为简谐运动。其频率为mkkkk212121 xk1k2 x2211xkxkF设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x221xxxxkkkx2112P.28/66振动学基础振动学基础2022-6-2322ddtxmF 22212122ddtxmxkkkkxkxkkkx2112 xk1k2 xmkkkk)(21210dd212122xmkkkktxmkkkk212121F则得：则得：P.29/66振动学基础振动学基础2022-6-231. 振动系统的能量振动系统的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE)(sin2122k2tkAEkm振子动能：振子动能：振子势

19、能：振子势能：xxov)(cos21212222ptAmkxEP.30/66振动学基础振动学基础2022-6-23)(sin21212222ktAmmEv)(cos21212222ptAmkxE222pk2121kAAmEEEP.31/66振动学基础振动学基础2022-6-23 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。但任一时刻总机械能保持不变。讨论讨论： 位移最大，势能最大，位移最大，势能最大，但动能最小。在振动曲但动能最小。在振动曲线的峰值。线的峰值。 位移为位移为0，势能为，势能为0，但动能最大。在振动曲但动能最

20、大。在振动曲线的平衡位置线的平衡位置。弹簧振子的能量曲线弹簧振子的能量曲线P.32/66振动学基础振动学基础2022-6-232kp21kAEEEEAkkxEAx4122121222p时时：当当: 各占总能量的多少？各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？能和势能各占总能量的一半？EEEE43pk220212121kAkxAAx707. 0210P.33/66振动学基础振动学基础2022-6-232. 坐标原点的选取与振动方程的关系坐标原点的选取与振动方程的关系(1) 取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点220dd)(tymyykmgmgky

21、0ymkty22ddmk)cos(tAy0y 自由端自由端平衡位置平衡位置o oyFgmWP.34/66振动学基础振动学基础2022-6-23(2) 取弹簧的自由端为坐标原点取弹簧的自由端为坐标原点22ddtymmgkykmgy 令令kmgy即即：yy 自由端自由端omkt22dd)(costAmkkmgtAkmgy)cos(结论结论：(1) 振动方程的形式随坐标原点选取的不同而不同振动方程的形式随坐标原点选取的不同而不同( (相差一个相差一个常数常数) )，一般把坐标原点取在平衡位置，其方程形式最简单。，一般把坐标原点取在平衡位置，其方程形式最简单。(2) 弹簧振子的振动频率与振子的放置位置

22、无关。角频率又称弹簧振子的振动频率与振子的放置位置无关。角频率又称“P.35/66振动学基础振动学基础2022-6-23 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其运动表达式分别表示为谐运动，其运动表达式分别表示为)cos(111tAx)cos(222tAx21AAA21xxx)cos(tAx1x2xx1A2A12xAP.36/66振动学基础振动学基础2022-6-23)cos(tAx122122212cos2AAAAA21, 的具体象限要根的具体象限要根据据 确定。确定。2211221112212221coscossinsintan2A

23、AAAAAAAA 一起以一起以 转动，转动，保持相对静止。保持相对静止。AAA,21x1x2xx1A2A12AP.37/66振动学基础振动学基础2022-6-23一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。谐运动，其合成运动仍为简谐运动。结论结论：)cos(212212221AAAAA221122111coscossinsintanAAAA, 2, 1, 02:) 1 (12kk若若212122212:AAAAAAA则则, 2, 1, 0) 12(:) 2(12kk若若212112212:AAAAAAA则则P.38/66振动学

24、基础振动学基础2022-6-23P.39/66振动学基础振动学基础2022-6-23333222111coscoscostAytAytAyxyyxAAAAAtan22tAycos332211coscoscosAAAAx332211sinsinsinAAAAy多个简谐运动的合成多个简谐运动的合成其中：其中：AA1A2A3123xyOP.40/66振动学基础振动学基础2022-6-23: 两个同方向的简谐运动曲线两个同方向的简谐运动曲线( (如图所示如图所示) ) (1) 求合振动的振幅。求合振动的振幅。(2) 求合振动的振动方程。求合振动的振动方程。12120AAA解解: : (1)0cos11

25、A22110cos22A22221A2Ax2A1AxT)(1tx)(2txtOA)3cos(2212tTAAxT223:由由矢矢量量图图(2)P.41/66振动学基础振动学基础2022-6-23解：解：6cos212122AAAAA6cos3102023102022A1A2A6: 两个同方向，同频率的简谐运动，其合振动的两个同方向，同频率的简谐运动，其合振动的振幅为振幅为20 cm，与第一个振动的相位差为，与第一个振动的相位差为 。若。若第一个振动的振幅为第一个振动的振幅为 。则。则(1)第二个振动的振幅为第二个振动的振幅为多少？多少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？两简谐运动的相位差为多少

26、？61cm310cm106sinsin2AA16sin10206sinsin2AA2212P.42/66振动学基础振动学基础2022-6-23x1A2AA1212)cos()cos(22221111tAxtAx 平行四边形形状变化平行四边形形状变化21AA大小变化，不表示谐振动。大小变化，不表示谐振动。振幅随时间变化振幅随时间变化振动项振动项设设,21AAA)2cos()2cos(20121221ttAxxx021相对于相对于 的转动角速度为的转动角速度为122A1AP.43/66振动学基础振动学基础2022-6-23)2cos()2cos(2121221ttAxxx第一项缓慢变化，第二项快速

27、变化：第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍拍(beat)”调制调制221212均很大，均很大，21,但彼此相差很小，但彼此相差很小，)2cos(12t)2cos(212tA振幅振幅 随时间缓慢变化随时间缓慢变化谐振因子谐振因子 快速变化快速变化P.44/66振动学基础振动学基础2022-6-23调制频率调制频率载频载频212212)2cos()2cos(20121221ttAxxx每每多多转转一一周周比比12AA合振动出现一次最强合振动出现一次最强O1A2A1212122122T拍的周期拍的周期拍的频率拍的频率( (简称拍频简称拍频) )212TTP.45/66振动学基础振动学基础2022-6

28、-23P.46/66振动学基础振动学基础2022-6-23)cos(22tAy222sinsincoscosttAy)cos(11tAx111sinsincoscosttAxyx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxP.47/66振动学基础振动学基础2022-6-23两 相 互 垂两 相 互 垂直同频率简谐直同频率简谐运动的合成，运动的合成，其振动轨迹为其振动轨迹为一 椭 圆一 椭 圆 ( ( 又 称又 称“椭圆运动椭圆运动”) )。椭圆轨迹的形椭圆轨迹的形状取决于振幅状取决于振幅和相位差。和相位差。P.48/66振动学基础振动学基础2022-6-23时时12k121

29、2120,AAAAxAAy，斜斜率率；，斜斜率率0221222212AAxyAyAx0221AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxP.49/66振动学基础振动学基础2022-6-231222212AyAx212212k或或)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxP.50/66振动学基础振动学基础2022-6-23 两个互相垂直、不同频率的简谐运动的合成时，如两个互相垂直、不同频率的简谐运动的合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做线

30、，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做。在李萨如图形中：在李萨如图形中：曲线与平行于曲线与平行于x轴的直线的切点数轴的直线的切点数曲线与平行于曲线与平行于y轴的直线的切点数轴的直线的切点数两简谐运动两简谐运动的频率比的频率比= 其中频率为其中频率为1:1的利萨如图为椭圆，在一定的相的利萨如图为椭圆，在一定的相位差条件下，退化为一直线。位差条件下，退化为一直线。P.51/66振动学基础振动学基础2022-6-23P.52/66振动学基础振动学基础2022-6-23vrF为阻尼系数为阻尼系数：振动系统在回复力和阻尼力共同作用下发生：振动系统在回复力和阻尼力共同作用下发生的减幅振动称为的减幅振动

31、称为。 在物体速度较小时，阻尼力在物体速度较小时，阻尼力 的大小与速率成正比，的大小与速率成正比，方向与速度相反。方向与速度相反。rFrFxkFOxxP.53/66振动学基础振动学基础2022-6-2322txmkxddvmmk2,:20令令 称为阻尼称为阻尼(damping)因子因子0220 xxx 动力学方程：动力学方程：02202rr2022022442r微分方程的特征方程为：微分方程的特征方程为：P.54/66振动学基础振动学基础2022-6-23220202irtAtAxttcosecose220方程解：方程解：2202T周期周期:220 阻尼较小时，振动为阻尼较小时，振动为减幅振动

32、，振幅随时间减幅振动，振幅随时间按指数规律按指数规律 迅速迅速减少。阻尼越大，减幅减少。阻尼越大，减幅越迅速。振动周期大于越迅速。振动周期大于自由振动周期。自由振动周期。tAe0P.55/66振动学基础振动学基础2022-6-23202rttAAy202202ee210 阻尼较大时，振阻尼较大时，振动从最大位移缓慢动从最大位移缓慢回到平衡位置，不回到平衡位置，不作往复运动。作往复运动。P.56/66振动学基础振动学基础2022-6-230202rttAAye )(21方程解：方程解： 此 时 为此 时 为 “ 临临界阻尼界阻尼”的情的情况。是质点不况。是质点不作往复运动的作往复运动的一个极限。

33、一个极限。P.57/66振动学基础振动学基础2022-6-23系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。周期性的外力周期性的外力tHFcoss 物体在弹性力、回复力、阻力的作用下的运动物体在弹性力、回复力、阻力的作用下的运动sFrFxkFOxxP.58/66振动学基础振动学基础2022-6-23tHxkxxmcos 令：令：hmHmmk;2;20thxxxocos22 tAtAytcoscose02200在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为一个特解，为P.59/66振动学基础振动学基础20

34、22-6-2300,A 第一项为第一项为，经过一端时间以后趋向于，经过一端时间以后趋向于零，零， 为积分常数，由初始条件确定；为积分常数，由初始条件确定； 第二项为第二项为，即，即 代代入原方程求得入原方程求得 tAycos,A2222204hA22012tantAtAytcoscose02200P.60/66振动学基础振动学基础2022-6-23 受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成。受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成。经一段相当的时间后，阻尼振动衰减到可以忽经一段相当的时间后，阻尼振动衰减到可以忽略不计，这样就成为一余弦振动，其略不计，这样就成为一余弦振动，其，振幅、初相位不仅与初条件有关，振幅、初相位不仅与初条件有关，而且与强迫力的频率和力幅有关而且与强迫力的频率和力幅有关。tAtAytcoscose02200P.61/66振动学基础振动学基础2022-6-23 当策动力的频率接